2022年《应用数理统计》作业题及参考答案 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载第一章数理统计的基本概念P26 1.2 设总体X的分布函数为F x，密度函数为fx，1X，2X， ，nX为X的子样，求最大顺序统计量nX与最小顺序统计量1X的分布函数与密度函数。解：12nninFxP XxP XxXxXxF x， ，. 1nnnfxFxn F xfx. 1121inFxP XxP XxXxXx， ，. 121nP Xx P XxP Xx121111nP XxP XxP Xx11nF x1111nfxFxnF xfx. 1.3 设总体X服从正态分布124N，今抽取容量为5 的子样1X，2X，5X，试问：（i）子样的平均值X大于 13 的概率为多少？（ii）子

2、样的极小值（最小顺序统计量）小于10 的概率为多少？（iii ）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15 的概率为多少？解：12 4XN，5n，4125XN，. （i）1213121312131131111.1210.86860.1314444555XP XP XP. （ii）令min12345minXXXXXX，max12345maxXXXXXX，. minmin125101101101010P XP XP XXX， ，5551111011101110iiiiP XP XP X. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

3、- - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载120 12XYN，121012121011222XXP XPPP Y111110.84130.1587P Y. 5min10110.158710.42150.5785P X. （iii ）55maxmax1251151151151515115115iiP XP XP XXXP XP X， ，. 5max1510.9331910.70770.2923P X. 1.4 试证：（i）22211nniiiixaxxn xa对任意实数a成立。并由此证明当ax时，

4、21niixa达到最小。（ii）22211nniiiixxxnx，其中11niixxn。证明：（i）22221112nnniiiiiiixaxxxaxxxxxaxa222211122nnniiiiiixxxaxxn xaxxxanxnxn xa221niixxn xa. 当ax时，2222111nnniiiiiixaxxn xxxx达到最小。（ii）222222222111111222nnnnnniiiiiiiiiiiiixxxx xxxxxnxxx nxnxxnx. P27 1.5 设1X，2X，nX为正态总体2XN，的样本，令11niidXn，试证2E d，221D dn。证明：2XN，则

5、20iXN，. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1111nniiiiE dEXE Xnn. 2222222222220012 12 12222yyyiyE Xy edyyedyed222022ye. 112122niE dnnn. 222iiiE XD XEX. 22222221iiiD XEXEX. 2222211111112211nnniiiiiiD dDXDXD Xn

6、nnnnn. 1.6 设总体X服从正态2N，1X，2X，nX为其子样，X与2S分别为子样均值及方差。又设1nX与1X，2X，nX独立同分布，试求统计量111nXXnYSn的分布。解：由于1nX和X是独立的正态变量，2XNn，21nXN，且它们相互独立. 110nnE XXE XE X. 2111nnnD XXD XDXn. 则2110nnXXNn，. 1011nXXnNn，. 而2221nSn，且22nS与1nXX相互独立，则211211111nnXXnXXnnSTt nnnSn. 1.7 设Tt n，求证21TFn，. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

7、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载证明：又t分布的定义可知，若01UN，2Vn，且U与V相互独立，则UTt nV n，这时，22UTV n，其中，221U. 由F分布的定义可知，221UTFnV n，. 1.9 设1X，2X，1nX和1Y，2Y，2nY分别来自总体21N，和22N，且相互独立，和是两个已知常数，试求122222112212122XYn Sn Snnnn的分布，其中1221111niiSXXn，2222121niiSYYn。解：21

8、1XNn，222YNn，1X与2Y相互独立，2110XNn，2220YNn，222212120XYNnn，12221201XYNnn，. 2211121n Sn，2222221n Sn，且21S与22S相互独立，222112212222n Sn Snn. 12221212221122122222XYnnt nnnSn Snn，即121222221122121222XYt nnn Sn Snnnn. 第二章参数估计（续）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

9、4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载P68 2.13 设总体X服从几何分布：11kP Xkpp，12k， ， ，01p，证明样本均值11niiXXn是E X的相合、无偏和有效估计量。证明：总体X服从几何分布，1EXp，21pDXp. 11111111nniiiiE XEXEXnE Xnnnpp. 样本均值11niiXXn是E X的无偏估计量。222221111111nniiiippD XDXDXnnnnpnp. 1111lnln1ln1 ln 1；XfXppppXp. 111ln111111fXpXXppppp；. 211222ln111fXpXppp

10、；. 211122222ln111111fXpXXIpEEEppppp；12222221111111111111pEXpppppppp2221111111pppp ppppp. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2422111111nppepD Xn Ipnnppp. 样本均值11niiXXn是E X的有效估计量。3证法一：21limlim0nnpDXnp，01p. 样本均值

11、11niiXXn是E X的相合估计量。证法二：211npeD Xn Ip，21pD Xn Ip. 21limlim0nnpD Xn Ip. 样本均值11niiXXn是E X的相合估计量。证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，即对于任给0，有lim0nPXEX. 因此，样本均值11niiXXn是E X的相合估计量。综上所述，样本均值11niiXXn是E X的相合、无偏和有效估计量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 1

12、5 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2.14 设总体X服从泊松分布P，1X，2X，nX为其子样。试求参数2的无偏估计量的克拉美劳不等式下界。解：2. 2g. 2g. !kP Xkek. 01 2， ，k111lnlnln!；fXXX. 11ln1；fXX. 21122ln；fXX. 2111122222ln1；E XfXXXIEEE. 参数2的无偏估计量的克拉美劳不等式下界为：2223322441gnInnn. 2.19 设总体X服从泊松分布P，0，1X，2X，nX为来自X的一个样本。假设有先验分布， 其密度为000eh，求在平方损失下的贝叶斯估计量。解：X服从泊松

13、分布!ixiPex，1 2， ，ixn. 的先验分布密度为000eh，. 给定，样本的分布列为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载11212111 20!00， ， ；， ， ，niixnnxnninnniiiieexnx xxg xxxP xx的后验概率密度为：1212120000， ， ， ，nnng xxxhgxxxg xxxhd从而在平方损失下，的贝叶斯估计为：12?

14、， ， ，nExxx120120120， ， ， ，nnng xxxhdgxxxdg xxxhd. 011101001!nxnnnnxiinxnnnxniieedxedeededx（* ）其中，11110011nnnxnxedd en11110011nnnxnxeedn1100110111nnnxnxnxnxedednn （* ）将（ * ）式代入（ *）式得：101210111?1nnxnnnxnxednxnExxxned， ，即为在平方损失下的贝叶斯估计量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

15、- - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载第三章假设检验P131 3.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差100（小时）的正态分布，试在显著水平0.05 下确定这批元件是否合格。解：本题需检验0H：0，1H：0. 元件寿命服从正态分布，0已知，当0H成立时，选取统计量00Xun，其拒绝域为Vuu. 其中950X，01000，25n，0100. 则95010002.510025u. 查表得0.051.6

16、45u，得0.05uu，落在拒绝域中，拒绝0H，即认为这批元件不合格。3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布2N， 其中40（kg / cm2） 。现从一批这种钢索的容量为9 的一个子样测得断裂强度平均值为X，与以往正常生产时的相比，X较大 20（kg / cm2） 。设总体方差不变，问在0.01下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验0H：0，1H：0. 钢索的断裂强度服从正态分布，0已知，当0H成立时，选取统计量00Xun，其拒绝域为1Vuu. 其中040，9n，020X，0.01. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精

17、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载则201.5409u. 查表得10.990.012.33uuuu，得0.99uu，未落在拒绝域中，接受0H，即认为这批钢索质量没有显著提高。3.5 测定某种溶液中的水分。它的10 个测定值给出0.452%X，0.035%S。设总体为正态分布2N，试在水平5%检验假设：（i）0H：0.5%；1H：0.5%. （ii ）0H：0.04%；1H：0.04%. 解： （i）总体服从正态分布，0未知，当0H成立时，选取统计量01XtSn，

18、其拒绝域为1Vttn. 查表得0.050.95991.8331tt. 而0.452%0.5%4.1141.833110.035%101ttn. 落在拒绝域中，拒绝0H. （ii）总体服从正态分布，未知，当0H成立时，选取统计量2220nS，其拒绝域为221Vn. 查表得20.0593.325. 而2222100.035%7.65610.04%n. 未落在拒绝域中，接受0H. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - -

19、- - - - 优秀学习资料欢迎下载3.6 使用A（电学法）与B（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是0.72的冰块，下列数据是每克冰从0.72变成 0水的过程中的吸热量（卡/ 克） ：方法A：79.98， 80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97， 80.05，80.03，80.02，80.00，80.02 方法B：80.02， 79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97 假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验0H：两种方法的总体均值是否相等。 （0.05）解：假设方法A、方法B所得

20、数据分别服从正态分布211XN，和222YN，. 其中113n，28n，12. 本题需检验0H：12，1H：12. 测得的数据服从正态分布，未知，当0H成立时，选取统计量1212221211222n nnnXYtnnn Sn S，其拒绝域为12122Vttnn. 查表得0.975192.093t，又计算得80.020X，79.98Y，13221110.0005313iiSXX，8222110.000868iiSYY. 代入得12123.30822.093ttnn，落在拒绝域内，拒绝0H. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学

21、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6 个及9 个零件测其口径，数据记为1X，2X，6X及1Y，2Y，9Y，计算得61204.6iiX，6216978.93iiX；91370.8iiY，92115280.173iiY假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平0.05，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著性差异？解：本题需检验0H：12，1H：12. 零件口径服从正态分布，均值未知，选取统计量2121221211nnSFnnS，其拒

22、绝域为12121221111VFFnnFFnn，. 查表得0.9755 84.82F，0.0250.975115 80.1488 56.76FF，. 而11122221111111112nnniiiiiiSXXXXXn Xnn21204.6204.66978.932204.660.345666. 同理得220.357S. 故2121221211.031nnSFnnS，落在拒绝域外，无显著差异。P132 3.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果重量法：5n次测量，20.5%X，10.206%S，比色法：5n次测量，21.3%Y，20.358%S，名师归纳总结 精品

23、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载假设两种分析法结果都服从正态分布，问（i）两种分析方法的精度（）是否相同？（ii ）两种分析方法的均值（）是否相同？（0.01）. 解： （i）本题需检验0H：12，1H：12. 两种分析法结果都服从正态分布，且1、2未知，选取统计量2121221211nnSFnnS，其拒绝域为12121221111VFFnnFFnn，. 查表得0.0050.99514 4

24、0.0434 4FF，0.9954423.15F，. 12nn，21220.3311SFS，未落在拒绝域内，无显著性差异。（ii）本题需检验0H：12，1H：12. 由（ i）知12（未知），选取统计量1212221211222n nnnXYtnnn Sn S，其拒绝域为12122Vttnn. 查表得0.99583.3554t，计算12123.872ttnn，落在拒绝域内，差异显著。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - -

25、- - - - - - 优秀学习资料欢迎下载P133 3.14 调查 339 名 50 岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系，得下表：是否吸烟是否患病吸烟不吸烟患慢性气管炎未患慢性气管炎43 162 13 121 56 283 205 134 339 患病率21.0 9.7 16.5 试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（0.01）？解：设X抽一人是否吸烟，Y抽一人是否患病. 本题需检验0H：X与Y独立，1H：X与Y不独立 . 2rs，22112212212121243 121162133397.46956 134205283n nn nnn n n n. 220.9916.63

26、5，拒绝0H，认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高。3.15 下表为某种药治疗感冒效果的3 3列联表。试问疗效与年龄是否有关（0.05）？解：设X该药治疗感冒疗效，Y患者年龄，X显著、一般、较差，Y儿童、成年、老年. 本题需检验0H：X与Y独立，1H：X与Y不独立 . 数据3rs. 当0H成立时，年龄疗效儿 童成 年老 年显 著58 38 32 128 一 般28 44 45 117 较 差23 18 14 55 109 100 91 300 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

27、 - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载选取统计量2332211111ijijijijn nnnnrsn n. 其拒绝域为：22111rs. 式中：ijn是列联表中第i行第j列位置上的数字；in是列联表中第i行各数据求和；jn是列联表中第j列各数据求和；计算2数据得2222128109128100559158381430030030030013.591281091281005591. 查表得220.9549.48813.59，故拒绝0H，认为药品疗效与患者年龄有关。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -