2022年《空间直线与直线的位置关系》教案教师版 .pdf

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1、异面直线一、 教学内容分析在空间两条直线的平行位置关系后，要求学生学习、掌握第三种空间直线的位置关系异面 . 这是一个空间内的新概念，要求学生全面、深入了解异面直线，并与相交、平行的位置关系进行区别学习. 并应用等角定理，确定异面直线所成角. 应用公理四、余弦定理、直角三角形计算异面直线所成角大小. 二、教学目标设计从两个角度学习异面直线的概念：一、相交、平行、异面；二、共面、异面. 设置问题，进行问题教学，引导学生思考探索得出结论. 会判断、会画出空间内任意两条异面直线. 复习反证法，学习用反证法证明两条异面直线. 应用等角定理，确定异面直线所成角，利用直线平行计算异面直线所成角大小. 三、

2、教学重点及难点重点：异 面直线定义、异面直线所成角 .难点：反证法、计算异面直线所成角. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、引入课题学会求解异面直线所成角大小问题 . 异面直线概念、确定异面直线、作异面直线图引入新课：空间中两 条 直 线 的 位 置新关系异面学习、掌握反证法，会用证明异面直线学 习 异 面 直 线 所成角相关概念 . 课堂总结、布置作业名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 提问：空

3、间中两直线的位置关系：有平行、相交. 除此以外，还有其他位置关系吗？请同学列举 . （激发学生空间想象能力）二、讲授新课（一）异面直线1、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线. 2、与平行直线、相交直线的区别：相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点. 平行直线：在同一平面内，没有公共点. 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 3、异面直线的画法：过渡：用两张图例说明，分别在两个平面内的直线，并不一定是异面直线. 4、异面直线的判定：不平行、不相交的直线. 5、空间直线的位置关系（二）证明异面直线复习：反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾与条件矛盾，或者与已知的公理

4、、定理矛盾. 复习例题： l 上有且只有一点A，求证：l证明：假设ll 上所有的点都属于，a a a b b b a b a b 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 与已知： l 上有且只有一点A矛盾 . l通过例题学习如何证明异面直线. （详见例3 ）（三）异面直线所成角1、 异面直线 a 与 b所成的角：在空间内任取一点P， 过 P 分别作 a 和 b 的平行线ab和,则ab和所成的锐角 ( 或

5、直角 ) 叫做异面直线a 与 b 所成的角 . 问题 1: 理论依据等角定理. 问题 2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其他所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角. 2、异面直线所成角范围0,2（四）例题分析例1. 两条异面直线指的是（ D ）（A）空间不相交的两条直线（B）分别位于两个不同平面上的两条直线（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线（D）不能同在一个平面上的直线 例题解析 ：异面直线概念掌握例2. 若 a、b 是两条异面直线，且分别在平面、内，若l，则直线l必定（ B ）A分别与a、b 相交； B

6、. 至少与 a、b 之一相交；C. 与 a、b 都不相交； D. 至多与 a、b 之一相交 . 例题解析 ：异面直线的概念掌握.例3. 直线 l 与平面相交于点 A，直线 m在平面上，且不经过点A，求证：直线l与 m是异面直线 . 证明：反证法 例题解析 学习用反证法证明异面直线. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例4. 正方体1111ABCDABC D中，哪些棱所在直线与直线1BC成异面直线？

7、答：共有6 条棱 . （2）如图所示，空间四边形ABCD 中， H 、F 是 AD边上的点，G 、E是 BC边上的点 . 与 AB 成异面直线的线段有：HG 、EF 、CD 与 CD 成异面直线的线段有：AB 、HG 、EF 与 EF 成异面直线的线段有：HG 、AB 、EF、 CD 例题解析 ：在空间中能确定异面直线 . （四） 、问题拓展1、空间内两直线所成角范围0,2当空间两直线12ll、所成角为直角时，12ll当空间两直线12ll、所成角为零角时，若12ll，则12ll若12ll，则12ll2、异面垂直(1) 定义 : 如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直(2) 记

8、法 : 异面直线a,b 互相垂直 , 记为 ab (3) 分类 :共面垂直（相交）两直线垂直异面垂直3、异面直线所成角例题例5. 在长方体1111ABCDABC D中， AB=5 ，BC=4 ，1CC=3. C A B C D E H G F 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - （1）11DDBC和所成角大小 . （2）11ABCC和所成角大小；（3）11ADBC和所成角大小 . 解： （1）11C

9、 CD D11BCC为异面直线11DDBC和所成角，在11RT B CC中，1114,3BCBCC C，114tan3B CC114arctan3B CC，异面直线11DDB C和所成角大小为4arctan3. （2）11BCBC，111AC B为异面直线11ABCC和所成角，在11RT B CC中，11115,4ABABBCBC，1115tan4AC B, 1115arctan4A C B，异面直线11ABCC和所成角大小为5arctan4（3）11ADBC，设11BCBC和相交于 O ，11COB为异面直线11ABCD和所成角（或其补角）在11BOC中，1111542B CBOC O，利用

10、余弦定理，111177cosarccos2525B OCB OC异面直线11ABCD和所成角大小为7arccos25例6. 在空间四边形ABCD中， AB=CD=6 ，M 、N 分别是对角线AC 、BD的中点且MN=5 ，求异面直线AB 、 CD所成角大小 . 解：取 AD中点，在ABD中，11,22NEAB NEABA B C D 1A1B1C名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 在ADC中，11,

11、22MECD MECDNEM为异面直线AB 、 CD所成角（或其补角）在NEM中，53MNME，NE，利用余弦定理，77cosarccos1818NEMNEM异面直线CDAB 和所成角大小为7arccos18 说明 在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题. 四、课堂小结1异面直线定义.2空间直线与直线的位置关系3异面直线所成角定义、范围4求解异面直线所成角大小(1) 平移作角(2) 证( 说 ) 角(3) 平面图形中求角补充作业：1如果 a,b 是异面直线， b,c 也是异面直线，则a,c 的位置关系是（ D ） . A异面； B. 相交或平行； C.异面或平行； D. 相交，平行，

12、异面都有可能. 2若直线a,b 都垂直于直线c，则 a,b 的位置关系是（ D ）A平行； B. 相交或平行； C.异面或平行； D. 相交，平行，异面都有可能. 3长方体1111ABCDABC D中， AB=2AD=31AA. 求异面直线1BCAC和所成角大小 . 2arccos4平移一次名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4长方体1111ABCDA BC D中，AB=4 ，AD=3 ，12AA，

13、求异面直线1BDAC 和所成角大小 . 7 29arccos145作辅助线然后平移5 在四面体 ABCD中， E、F 分别是 AC 、BD的中点 .AB=CD=2 ，3EF，求 AB 与 CD 所成角的大小 .3两条直线都平移注意异面直线成角范围，考虑添加余弦带参数的情况，考察反三角的知识。1AB 1BD C 1CA 1AB 1BD C 1CA 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6如图，三棱锥P-

14、ABC三条棱 PC 、AC 、BC两两垂直， E为线段 AB的中点，2ACBC，PCt，当 t 变化时，求异面直线PB与 CE所成角的取值范围. 21cos2t，(,)4 2六、教学设计说明1、对教材的研究认识：异面直线所成角是第一个立体几何中涉及计算方面的问题，对于学生的计算能力和空间求解能力，都提出了相当高的要求. 首先要让学生从平面几何的角度向立体几何的内容有一个飞跃空间两条直线存在异面这种位置关系. 不同于相交和平行，要让学生十分熟悉这种位置. 从图形、概念理解上都对此有深层次掌握. 其次要让学生明确本小结的内容关键空间中两条直线的位置关系：平行、相交、异面. 对于垂直这种特殊的情况，

15、进行特殊讲解.但强调、重视. 最后对于异面直线所成角的内容和求解过程进行全面、完善的教授. 让学生认清、区分有关角的概念. 2、课堂教学模式的设置：主动探究仍然是教学的辅助方法. 这节课中讲授法是主要方法，因为求解过程、解题步骤都应传授到位. 当然在这个过程，可以设置问题情境，让学生发现问题，积极解决问题. 比如：所求角是钝角与异面直线所成角不能是钝角时的矛盾. 发挥同学空间想象能力，猜测新的位置A B C D E F E C P B A 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

16、 - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 关系，但是最后清晰的结论，要一致地推导，而且要明白无误地告知同学. 所以讲授法委主要方法 . 3、课堂练习题的说明：首先通过选择题，让学生全面、多角度了解异面直线的概念. 然后在基本图形中，确定成异面位置关系的直线，加深对概念的把握和理解. 主要题型还是求解异面直线，通过正方体长方体空间四边形的图形改变. 还有一般棱对角线中点等层层递进，加大这种类型题目的难度. 让学生对层次思考，多种方法的应用. 巩固、加强自己的数学知识掌握能力和应用分解能力. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -