2022年梯形知识讲解 .pdf

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1、梯形（提高）【学习目标】1理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念2掌握等腰梯形的性质和判定3初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题5. 掌握三角形，梯形的中位线定理. 【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行， 另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中， 平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：四边形；一组对边平行；另一组对边不平行 . （2） 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形

2、或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同. 梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 知识点二、等腰梯形的定义及性质1. 定义： 两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2. 性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （ 2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （ 3） 等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅

3、是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 知识点三、等腰梯形的判定1. 用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2. 判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：方法作法图形目的平移平移一腰过一顶点作一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线构造出一个平行四边形和一对全等的三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页平移对角线过一顶点

4、作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形作高过一底边的端点作另一底边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长延长两腰延长梯形的两腰使其交于一点构成两个形状相同的三角形延 长 顶 点 和 一腰中点的连线连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 【典

5、型例题】类型一、梯形的计算1、如图所示，梯形ABCD中， AD BC ，AD 1，BC 4，AC 3，BD 4，求梯形ABCD的面积【思路点拨】欲求梯形 ABCD 的面积，已知AD 1，BC4，只要求出梯形ABCD 的高，过 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于E，则四边形ACED 为平行四边形，从而AD CE，即得BDEABCDSS梯形，故只要求出BDES即可【答案与解析】解：过点D作 DEAC ，交 BC延长线于E，作 DF BC于 F， AD BC ，四边形 ACED 是平行四边形 DE AC 3，CE AD 1 BE BC CE 4 15 BD2DE242 3225，BE225，即

6、BD2 DE2BE2BDE为直角三角形，BDE 9011()()22ABCDSADBCDFBCCEDFgg梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页111436222BEDFBDDEgg【总结升华】 已知梯形两底求梯形面积的方法，通常是过梯形上底的一个顶点作对角线的平行线，把求梯形面积转化成求等面积的三角形面积举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD中， CD AB ，AD CD 3，BC 4，AB 8，求梯形ABCD 的面积【答案】解：过点C作 CM AD交 AB于 M ，作 CN AB于 N AD CD 3，CD

7、AB 四边形 ADCM 是菱形， CMAM AD 3 AB 8， BM 5 CM2BC2324225，BM225即 CM2 BC2BM2，BCM 901122BCMSBCCMBMCNgg，1143522CN，解得： CN 125，111266()(38)2255ABCDSCDABCNg梯形类型二、梯形的证明2 、 已 知 梯 形ABCD 中 ， B C 90 ， EF 是 两 底 中 点 的 连 线 ， 试 说 明1()2EFBCAD【思路点拨】由 B+C90，可延长BA 、CD 交于一点G，构成直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出结论，也可以通过平移两腰，把B、 C 移到同一个直

8、角三角形中【答案与解析】解：如图所示，延长BA 、CD交于 G，连接 GE 、GF B C90，BGC 90 E 、 F分别为 AD 、 BC的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页 GE AE 12AD ，FGBF 12BC AGE 1， BGF B AD BC ，1 B，AGE BGF GE、GF重合， EF GF GE 12(BCAD)【总结升华】 本题是根据 B+ C90，构造一个直角三角形，应用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”使问题得到解决3、 如图所示，梯形ABCD中，AD BC，M是 AB的

9、中点， DM 平分 ADC ，CM平分 BCD 求证： (1)12DMCABCDSS梯形；(2)DC AD BC 【答案与解析】证明：方法一：(1) 如图所示，延长DM 、CB交于点 E AD BC ，DAM EBM ， ADM BEM 又 AMMB ，ADM BEM ， DMEM ，DMCEMCSS，ADMBEMSS，11()22DMCDECEBMMBCDSSSS四边形11()22ADMMBCDABCDSSS四边形梯形 (2) DM 平分 ADC ，CM平分 BCD ，AD BC，MDC MCD 90，CMD 90，而 DM EM ， CD CE CB BE 又由 (1) 得 ADM BEM

10、 ， AD EB ，即 CD AD CB方法二： (1) 如图所示，在DC上取 DE AD ，连接 ME AD BC ，BCD ADC 180精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页又 DM 平分 ADC ，CM 平分 BCD ，MDC MCD 90，DMC 90，1 390 2 490 DMDM ， ADM EDM ，ADM EMD ，1 2， 3 4又 CM CM ， MCB MCE ，BMC EMC ，12DMCABCDSS梯形 (2)由(1) 得 ADM EDM ， BMC EMC AD DE ， BC CE ，

11、DC DE CE AD BC 【总结升华】(1) 由梯形的一腰的两个顶点与另一腰中点构成的三角形面积为梯形面积的一半 (2) 从条件中角平分线和结论DC ADBC可联想截长补短法解决问题类型三、三角形、梯形的中位线4、如图所示，在ABC中， M为 BC的中点， AD为 BAC的平分线， BDAD于 D， AB12，AC 18，求 MD 的长【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB、 AC 之间没有什么联系，但由M 为 BC的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN ， D 为 BN 的中点， DM 即为中位线，不难求出MD 的长度【答

12、案与解析】解：延长BD交 AC于点 N AD 为 BAC的角平分线，且AD BN ，BAD NAD ， ADB ADN 90，又 AD 为公共边，ABD AND(ASA) AN AB 12，BD DN AC 18， NC AC AN18126， D 、 M分别为 BN 、 BC的中点， DM12CN 1623【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中， Q是 CD上的一定点，P是 BC上的一动点， E、F 分别精选学习资料 - - - - - -

13、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页是 PA 、PQ两边的中点；当点P在 BC边上移动的过程中，线段EF的长度将 ( ) A先变大，后变小 B保持不变 C先变小，后变大 D无法确定【答案】 B；解：连接 AQ E 、F 分别是 PA 、PQ两边的中点， EF 是 PAQ的中位线，即AQ 2EF Q 是 CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，线段 EF的长度将保持不变4、（2012?咸宁） 如图，在梯形ABCD中，AD BC ，C90， BE平分 ABC且交 CD于 E， E为 CD的中点， EF BC 交 AB于 F，EG AB交 BC于 G ，当 AD

14、 2，BC 12时，四边形BGEF的周长为 _. 【思路点拨】先根据 EF BC交 AB于 F，EG AB交 BC于 G得出四边形BGEF 是平行四边形，再由 BE平分 ABC判断出四边形BGEF 是菱形， 再根据 E为 CD的中点， AD 2，BC 12 求出EF的长，进而可得出结论【答案】 28；【解析】解： EF BC 交 AB于 F，EG AB 交 BC于 G ，四边形 BGEF是平行四边形，BE平分 ABC且交 CD于 E，FBE EBC ，EF BC ，EBC FEB ，F BE FEB ，四边形 BGEF是菱形，E 为 CD的中点， AD 2，BC 12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页EF 12（AD+BC ）12（ 2+12） 7，四边形 BGEF的周长 47 28【总结升华】本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页