代数与几何综合题.doc

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1、代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当

2、地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。 第一类：与反比例函数相关1（09北京）如图，点C为O直径AB上一点，过点C的直线交O于点D、E两点，且ACD=45，于点F，于点G 当点C在AB上运动时，设，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）ABCD 2如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A、B、C ，则m 的值为 3（09延庆）阅读理解：对于任意正实数，只有当时，等号成立结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值 根据上述内容，回答下列问题：（1） 若，只有当 时

3、，有最小值 yxBADPCO（第3题）（2） 探索应用：已知，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状（第4题）yOADxBCENM4（08南通）已知双曲线与直线相交于A、B两点第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点过点B作BDy轴交x轴于点D过N（0，n）作NCx轴交双曲线于点E，交BD于点C（1）若点D坐标是（8，0），求A、B两点 坐标及k的值（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求pq的值 5（09.5西城）已知：反

4、比例函数和 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在的图象上，ABy轴，与的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与、的图象交于点C、D. （1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标； （2）若点A的横坐标为m，比较OBC与ABC的面积的大小；（3）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.答案：（1） 点F的坐标为. （2）. （3）点A的坐标为6（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解

5、析式答案：（1）点的坐标为 ； （2）（3）所求直线的函数解析式是或二、与三角形相关7（07北京）在平面直角坐标系xOy中, 抛物线 y = mx2 + 2mx + n经过P (, 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l, 直线l与抛物线的对称轴交于C点, 求直线l的解析式; (3) 在(2)的条件下, 求到直线OB, OC, BC距离相等的点的坐标答案：(1)抛物线的解析式为: y =+ 2 (2)直线 l 的解析式为 y =x (3) 到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为: M1(-,

6、0)、 M2 (0, 2)、 M3(0, -2)、M4 (-2, 0). 8 (08北京)平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C, 点B的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B, C两点. (1) 求直线BC及抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为D, 点P在抛物线的对称轴上, 且APD =ACB, 求点P的坐标;(3) 连结CD, 求OCA与OCD两角和的度数. 答案：(1) 直线BC的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x2 - 4x + 3

7、.(2)点P的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2). (3) OCA与OCD两角和的度数为45. 9（10.6密云） 已知：如图，抛物线与 轴交于、两点，点在点的左边，是抛物线 上一动点（点与点、不重合），是中点，连结并延长，交于点（1）求、两点的坐标（用含的代数式表示）；（2）求的值；（3）当、两点到轴的距离相等，且时， 求抛物线和直线的解析式答案：（1）（，0），（，0） （2） （3）抛物线的解析式为 直线的解析式为 10（崇文09）如图，抛物线，与轴交于点，且（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请

8、说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点若，的值答案：（I） （II），（III）BCAxyFODE11. (11.6东城) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标答案：（1）（2）由

9、 CFFMCM （3）点P的坐标为（1，）三、与面积有相关12（11.6通县）已知如图，中，与x轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式.（3）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中k的取值范围.13（11.6顺义）已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，对称轴是（1）求该抛物线的解析式；（2）点是线段上的动点，过点作，分别交轴、于点P、，连接当的面积最大时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的值.四、与最值相关14（09石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OAB

10、C，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合）如图,将COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB边上选取适当的点E，将BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直线DG，DF重合（1）图中，若COD翻折后点F落在OA边上，求直线DE的解析式（2）设（1）中所求直线DE与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图的图形中，通过计算验证你的猜想图图（3）图中，设E（10，b），求b的最小值答案：（1）直线DE的解析式：y=-x+12（2）直线DE:y=-x+12与抛物线:只有一个公共点（3）b 15已知抛物线的图

11、像经过点A和点B（1）求该抛物线的解析式；(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AB只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线向右平移个单位，再向下平移t个单位（t0），此时，抛物线与轴交于M、N两点，直线AB与轴交于点P，当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少？答案：（1）抛物线的解析式为.(2)析式为（）当时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为16（09海淀）如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45得到射线AN.点D为AM上的动

12、点，点B为AN上的动点，点C在MAN的内部.（1） 求线段AC的长；（2） 当AMx轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD的面积；（3） 求BCD周长的最小值；（4） 当BCD的周长取得最小值，且BD=时,BCD的面积为 .答案：（1） AC=4.（2）当AMx轴，且四边形ABCD为梯形时，SBCD= 2-2.（3）BCD的周长的最小值为4. （4）.五、与四边形及圆相关17(12.1年西城)已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，（其中n0），点B在x轴的正半轴上动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动设点

13、P移动的路径的长为l，POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形 （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ； （2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长； （3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时， 求此抛物线W的解析式； 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标 答案：（1）中的m= （2） （3）符合题意的点Q的坐标是，18.（12.年1石景山）如图，矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的其中点在轴负半轴上，线段在轴正半轴上，点的坐标为 （1）如果二次函数的图象经过两

14、点且图象顶点的纵坐标为求这个二次函数的解析式； （2）求边所在直线的解析式； （3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由答案：（1） （2） （3） ， 19（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；(第19题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出

15、此时点的坐标和的最大面积. 答案：（1）抛物线为. (2) 答：与相交.（3）的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 20（11.6朝阳）在ABC中，D为AB边上一点，过点D作DEBC交AC于点E，以DE为折线，将ADE翻折，设所得的ADE与梯形DBCE重叠部分的面积为y.(1)如图(甲)，若C=90，AB=10，BC=6，则y的值为 ；(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为 ；(3)若B=30，AB=10，BC=12，设AD=x.求y与x的函数解析式；y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由. 图(甲) 图(乙) 备用图 答案：（1）. （2）12. （3） 当时，值最大，最大值是10 第 10 页 共 10 页