最新向量空间的概念基维数幻灯片.ppt

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1、向量空间的定义向量空间的定义 例例 11 3 维向量的全体维向量的全体 R 3，就是一个向量空间，就是一个向量空间， n 维向量全体维向量全体 R n ，也是一个向量空间。，也是一个向量空间。 （由定义（由定义6易验证）。易验证）。.,;,为为向向量量空空间间就就称称那那么么则则若若则则即即若若闭闭对对于于加加法法及及数数乘乘运运算算封封且且集集合合非非空空如如果果集集合合维维向向量量的的集集合合为为设设VVRVVVVVVnV 定义定义6 6 例如，任何例如，任何 n 个线性无关的个线性无关的 n 维向量都可以作维向量都可以作为向量空间为向量空间 Rn 的一个基。的一个基。Rn 的的维数维数是

2、是n 。 又如向量空间又如向量空间的一个基可取为：的一个基可取为： .)1 , 0 , 0(,0 , 0 , 1 , 02TnTee 由此可知它是由此可知它是 n1 维向量空间。维向量空间。, 2 , 1,|), 0(2niRxxxxViTn 若把向量空间看着向量组，则按若把向量空间看着向量组，则按3 3定理定理5 5推论推论3 3可知，可知，V 的的基基就是向量组的一个就是向量组的一个最大无关组最大无关组。V 的的维数维数就是向量组的就是向量组的秩秩。所所生成生成的向量空间的向量空间, 2 , 1,|2211niRaaaxVinn 若向量空间若向量空间,nRV 则则V 的维数不会超过的维数不

3、会超过 n 。当当V 的维数等于的维数等于 n 时，时，.nRV naaa,21由由向向量量组组,21等等价价与与向向量量组组显显然然向向量量空空间间naaaV,21的的一一个个基基的的最最大大无无关关组组就就是是所所以以向向量量组组Vaaan.,21的的维维数数的的秩秩就就是是向向量量组组Vaaan例例16,243041),(,221212122),(21321 bbBaaaA设设.,213321表表示示用用这这个个基基线线性性并并把把的的一一个个基基是是验验证证bbRaaa解解3R的一个基，只要证的一个基，只要证即只要证即只要证AE。是是要要验验证证321,aaa,321线线性性无无关关a

4、aa .,3231222112113212133222211223312211111AXBxxxxxxaaabbaxaxaxbaxaxaxb 记记作作即即设设 BA|对矩阵对矩阵施行初等施行初等行行变换，变换，3R的一个基。且当的一个基。且当A 变为变为E 时，时，B 变为变为.1BAX 若若A 能变能变是是则则为为321,aaaE 242213021241122| BA 5533032030311112)(311312321rrrrrrr.32110013201034320013535110132010311113)3(233132 rrrrrr .3211323432,32121 aaabb3R的一个基。且的一个基。且是是故故因因321,aaaEA