2022年一道中考压轴题多解研究 .pdf

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1、1 一道中考压轴题多解研究OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在 x 轴上，点 C 在y 轴上。6OC,10OA。（1）如图 1，在 AB 上取一点M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点B 落在 x 轴上，记作 B 点。求 B 点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式；（3）作AB/GB交 CM 于点 G。若抛物线mx61y2过点 G，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心， OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。这道中考压轴题是几何与函数综合题，试题把矩形OABC 置于直角坐标系之中，用翻折方法将矩形的一边同一直角变

2、化位置，且令其折痕与抛物线mx61y2相交于点G，从而求折痕CM 所在直线与过点G 的抛物线的解析式。从答案看，求折痕CM 所在直线的解析式用的是C、M 两点坐标；求抛物线mx61y2的解析式用的是G 点坐标。从图看，若设折痕CM 的延长线与x 轴的交点为N（如图 1），则折痕 CM 所在的直线上就有C、G、M、N 四个点的坐标可求，故折痕CM 所在的直线解析式有六种解法。由此可见，点G 坐标在后两问求解中具有关键性作用，所以点G 坐标的几何解法就颇有研究必要。（1）求点B的坐标；解：如图1，因为MCBRt是CBMRt折叠而来的。所以CBMRtMCBRt，所以10CBCB。在COBRt中，64

3、610COCBOB22222。所以8OB（负值舍去）。所以点 B 坐标（ 8，0）。（2）求折痕CM 所在直线的解析式：首先求 C、M、 G、N 四点坐标；易知点 C 坐标（ 0， 6）。求点 M 坐标：解法 1：如图 1。因为CBMRtMCBRt，所以xAM,BMMB设则x6BMMB。又2810OBOAAB，在AMBRt中，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 )38,10(M38AM,38x,

4、x2)x6(,AMABMB222222坐标所以点所以解得所以解法 2：如图 1。因为MCB180AMBOCB，又90CBMMCB，所以90AMBOCB。又90OCBOCB，所以AMBOCB。又90AMBCOB，所以AMBRtCOBRt。所以ABCOAMOB，所以26AM8，所以38AM。所以点 M 坐标（ 10，38）。求点 G 坐标：解法 1：如图 1。因为COBRtAMBRt（已证），所以6210MB,COABCBMB所以，所以310MB因为BA/GB，所以CMBGMB。因为CBMRtMCBRt，所以CMBCMB，所以CMBGMB，所以310MBGB，所以点 G 坐标)310,8(。解法

5、2：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为CBMRtMCBRt，所以BCMCMB。因为NB/CB，所以NMBBCM，所以NMBCMB，所以NBCB。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 因为90GNBMCB，所以GNBRtMCBRt，所以MBGB因为310MB（已解），所以310GB，所以点 G 坐标)310,8(。解法 3：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为10CBNB（已证），

6、所以8210ABNBAN。又38AM（已解），因为GB/MA，所以ANNBAMGB，所以81038GB，所以310GB。所以点 G 坐标（ 8，310）。解法 4：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为38AM, 6COAB，所以310386AMABBM。因为NB/CB,10CBNB，所以BCMNGB。又CBMGNB，所以CBMGNB，所以310BMGB。所以点 G 坐标（ 8，310）。解法 5：如图 2，延长CB交 BA 的延长线于D。因为AD/CO，所以DABCOB，所以ABOBADCO，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

7、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 所以28AD6，所以23AD。在222ADABDB,ADBRt中，所以222)23(2DB，所以)(25DB负值舍去，所以10DBCBCD22525，6252338ADMADM。因为DM/GB，所以CDMGCB，所以,22510625GB,CDCBDMGB所以所以310GB。所以点 G 坐标)310,8(。解法 6：如图 3，延长 B G 交 CB 于 D。因为310BM, 8OBCD，因为BM/DG，所以CBMCDG，所以108310DG,CBCDB

8、MDG所以，所以，38DG。所以310386DGDBGB，所以点 G 坐标（ 8，310）。解法 7：设点 G 坐标（ 8,a），名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 则3106831a。所以点 G 坐标（ 8，310）。求点 N 坐标。解法 1：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。由求点 G 的坐标解 3 知， AN=8 ，所以18810ANOAON，所以点 N 坐标（ 18，0）解法 2：

9、如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为,BC/AN所以BCMANM。所以BMAMBCAN，所以3103810AN，所以8AN。所以18810ANOAON。所以点 N 坐标（ 18，0）解法 3：如图 1，延长 CM 交 x 轴于 N。因为OC/AM，所以OCNAMN，所以AMOCANON，所以AMOCOCOAON，所以386610ON，所以18ON。所以点 N 坐标（ 18，0）。其次，求折痕CM 所在直线的解析式：设折痕 CM 所在直线的解析式为bkxy。解法 1：由 C（0，6）， M（10，38）两点组成方程组：bk1038,bk06解得6b,31k。所以6x31y。解法 2：由

10、G（8，310）， M（10，38）两点组成方程组：,bk1038,bk8310解得6b,31k所以6x31y。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 解法 3：由 M（ 10，38）， N（8，0）两点组成方程组：,bk180,bk1038解得6b,31k。所以6x31y。解法 4：由 C（0，6）， N（18，0）两点组成方程组：,bk180,bk06解得6b31k。所以6x31y。所以折痕CM

11、 所在直线的解析式为6x31y。其余两种解法留给读者。（3）求过点G 抛物线mx61y2的解析式：解：由上面解法知点G 坐标（ 8，310）。因为m8613102，所以322m，所以322x61y2。除交点 G 外，另有交点为点G 关于 y 轴的对称点G ，其点 G 坐标（8 ，310）年级初中学科数学版本期数内容标题一道中考压轴题多解研究分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学主题词一道中考压轴题多解研究栏目名称中考经典供稿老师审稿老师录入常丽霞一校林卉二校审核名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -