2022年求通项公式和数列求和的常用方法 .pdf

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1、名师精编优秀资料求递推数列通项公式的常用方法一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1nnnaSS(2)n，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列na的前n项和为nS，并且*1()nnaSnN，求na的通项公式？【解析】：1nnSa，111nnnnnaSSaa，112nnaa，又112a，12nna. 反思：利用相关数列na与nS的关系：11aS,1nnnaSS(2)n与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键 . 跟踪训练1.已知数列na的前n项和nS，满足关系1lgnSn(1,2)n.试证数列na是等比数列 . 二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列

2、的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法 . 例二已知数列na中，11a，121(2)nnaan，求数列na的通项公式 . 【解析】：11a，121(2)nnaan，2121aa3，3221aa7猜测21nna*()nN，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有自然数n，na与 1 的等差中项等于nS与 1 的等比中项，求数列na的通项公式 . 三累 加 法 ： 利 用1211()()nnnaaaaaa求 通 项 公 式 的 方

3、法 称 为 累 加 法 。 累 加 法 是 求 型 如1( )nnaaf n的递推数列通项公式的基本方法（( )f n可求前n项和） . 例三已知无穷数列na的的通项公式是12nna，若数列nb满足11b，(1)n，求数列nb的通项公式 . 【解析】：11b,112nnnbb(1)n,1211()()nnnbbbbbb=1+12+ 112n=1122n. 反思 :用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1( )nnaaf n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料跟踪训练3.已知112a,112nn

4、naa*()nN,求数列na通项公式 . 四累乘法 :利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaana aa求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1( )nnag n a的递推数列通项公式的基本方法(数列( )g n可求前n项积 ). 例四已知11a,1()nnnan aa*()nN,求数列na通项公式 . 【解析】：1()nnnan aa,11nnanan,又有321121(0,2)nnnnaaaaaana aa= 123n 12n-1=n,当1n时11a，满足nan，nan. 反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1( )nnag n a. 跟踪训练4.已知数

5、列na满足11a,123123(1)(2)nnaaaanan.则na的通项公式是. 五构造新数列 : 类型 1 )(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法 (逐差相加法 )求解。例 1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,3 ,2 ,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之， 即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1

6、nfaann，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。例 2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解 ： 由 条 件 知11nnaann， 分 别 令) 1( , 3, 2, 1nn， 代 入 上 式 得)1(n个 等 式 累 乘 之 ， 即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编优秀资料例 3:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3ann

7、nnan34 375 26331 348 531nnnnn。变式 : （2004， 全国 I,） 已知数列 an ， 满足 a1=1，1321) 1(32nnanaaaa(n2) ， 则 an 的通项1_na12nn解：由已知，得nnnnaanaaaa13211) 1(32，用此式减去已知式，得当2n时，nnnnaaa1，即nnana) 1(1，又112aa，naaaaaaaaann13423121,4,3, 1,1，将以上 n 个式子相乘，得2!nan)2(n类型 3 qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0) 1(ppq） 。解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：)(1tapta

8、nn，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解 ： 设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann. 故 递 推 公 式 为)3(231nnaa,令3nnab， 则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项， 2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna. 变式 :（2006，重庆 ,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ （key:321nna）类型 4 nnnqpaa1（其中 p，q 均为常数，)0)

9、1)(1(qppq） 。（或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例 5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23所以nnnnnb

10、a)31(2)21(32类型 5 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解 (特征根法 )： 对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na， 方程02qpxx， 叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2, 1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B 的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2, 1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B

11、 的方程组）。例 6: 数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,求na解（特征根法） ：的特征方程是：02532xx。32, 121xx, 1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)(323nnbaaba练习 :已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1731:()443nnkey a。变式 :（2006，福建 ,文,22）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN求数列na的通项公式；（I）解：112211()().()nnnnnaaaaaaaa

12、12*22.2121().nnnnN类型 6 递推公式为nS与na的关系式。 (或()nnSf a) 解法： 利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消 去nS)2(n或 与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优秀资料例 7：数列na前 n 项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na. 解： （1）由2214nnnaS得：111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以11

13、121nnnnaaannnaa21211. （2）应用类型4（nnnqpaa1（其中p，q 均为常数，)0)1)(1(qppq） ）的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa. 于 是 数 列nna2是 以2为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 ， 所 以nnann2) 1(22212nnna数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的

14、方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn 4、) 12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例 1（07 高考山东文18）设na是公比大于1 的等比数列，nS为数列na的前n项和已知37S，且123334aaa， ，构成等差数列（1）求数列na的等差数列（2）令31ln12nnban， ， ，求数列nb的前n项和T解： （1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a设数列na的公比为q，由22a，

15、可得1322aaqq，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，由题意得12qq，11a故数列na的通项为12nna（2）由于31ln12nnban， ，由（ 1）得3312nna3ln 23 ln 2nnbn，又13ln 2nnnbbnb是等差数列12nnTbbb1()2(3ln 23ln 2)23 (1)ln 2.2nn bbnn n故3 (1)ln 22nn nT练习：设 Sn1+2+3+n， nN*, 求1)32()(nnSnSnf的

16、最大值 . 二、错位相减法设数列na的等比数列，数列nb是等差数列，则数列nnba的前n项和nS求解，均可用错位相减法。例 2（07 高考天津）在数列na中，1112(2)2 ()nnnnaaanN，其中0（）求数列na的通项公式；（）求数列na的前n项和nS；（）解：由11(2)2 ()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，所 以2nnna为 等 差 数 列 ， 其 公 差 为1 ， 首 项 为0 ， 故21nnnan， 所 以 数 列na的 通 项 公 式 为(1)2nnnan（）解：设234123(2)(1)nnnTnn，345123(2)(1)nnnTnn精选学习资料

17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料当1时，式减去式，得212311(1)(1)(1)1nnnnnTnn，21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT这时数列na的前n项和21212(1)22(1)nnnnnnS当1时，(1)2nn nT这时数列na的前n项和1(1)222nnn nS例 3（07 高考全国文21）设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前n项和nS解： （）设na的公差为d，nb的公比

18、为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，解得2d，2q所以1(1)21nandn，112nnnbq（）1212nnnanb122135232112222nnnnnS，3252321223222nnnnnS，得22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料例 4 设函数222)(xxxf的图象上有两点P1

19、(x1, y1) 、P2(x2, y2) ，若)(2121OPOPOP, 且点 P的横坐标为21. （I ）求证： P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1(*nnSNnnnfnfnfnfS（I ）)(2121OPOPOP, 且点 P的横坐标为21. P是12P P的中点，且121xx122112122212112222224214212222222222222pxxxxxxxxxxxxxyyy由（ I ）知，121xx121,122fffxx且12111212nnnnffffnnnnnnffffnnnnSS又， （1）+（2）得：11221211211 1

20、132 232 22nnnnnffffffffnnnnnnfnnSS四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan（2）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（3）)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnnan等。例 5 求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 解：设nnnnan111（裂项）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8

21、页，共 10 页名师精编优秀资料则11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n例 6（06 高考湖北）已知二次函数( )yf x的图像经过坐标原点，其导函数为( )62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上。（）求数列na的通项公式；（）设11nnnba a，nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m ；解： （）设这二次函数f(x) ax2+bx (a 0) , 则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2, 得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x. 又因为点( ,

22、)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上，所以nS3n22n. 当 n2 时，anSnSn 1（ 3n22n）) 1(2) 132nn（6n5. 当 n1 时，a1S1312261 5，所以， an6n5 （nN）（）由（）得知13nnnaab5)1(6)56(3nn)161561(21nn，故 Tnniib121)161561(.)13171()711 (nn21（1161n）. 因此，要使21（1161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足2120m，即m 10，所以满足要求的最小正整数m为 10. 评 析 ： 一 般 地 ， 若 数 列na为 等 差 数 列 ， 且 公 差

23、不 为0 ， 首 项 也 不 为0 ， 则 求 和 ：niiiaa111首 先 考 虑niiiaa111niiiaad11)11(1则niiiaa111=1111)11(1nnaanaad。下列求和：niiiaa111也可用裂项求和法。五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例 7 数列 an 的前n项和12nnaS，数列 bn 满)(, 311Nnbabbnnn . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 1

24、0 页名师精编优秀资料（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前n项和Tn。解析：（）由12, 1211nnnnaSNnaS，两式相减得：,2211nnnaaa01.,211nnnaaNnaa知同，,21nnaa同定义知na是首项为 1，公比为 2 的等比数列 . （）,22,211111nnnnnnnnbbbba,2,2,2234123012bbbbbb,221nnnbb等式左、右两边分别相加得：, 2221213222112101nnnnbbnTnnn2)2222()22()22()22()22(12101210=.12222121nnnn例 8 求2222121234( 1)nSn（nN）解：当n为偶数时，222222(1)(12 )(34 )(1)(12)2nnSnnn；当n为奇数时，2222222222(1)1(12 )(34 )(2)(1) 12(1)()22n nSnnnnnnnn综上所述，11(1 )(1 )2nSnn点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列, 分别求和 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页