2022年高中数学平面解析几何知识点归纳.docx

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1、2022年高中数学平面解析几何知识点归纳 中学数学平面解析几何学问点有哪些你知道吗?近年的中学数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审究竟，应走一步解决一步，一起来看看中学数学平面解析几何学问点，欢迎查阅! 中学数学平面解析几何学问点 平面解析几何初步： 直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等学问综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。干脆考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查肯定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆

2、锥曲线的综合问题。 圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的探讨，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不解除出现考查基础学问的选择题和填空题。 中学数学平面解析几何学问点 平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡

3、氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形探讨的几何学分支。解析几何通常运用二维的平面直角坐标系探讨直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，运用三维的空间直角坐标系来探讨平面、球等各种一般空间曲面，同时探讨它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。 平面解析几何基本理论 坐标 在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,

4、z)。坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点动身的半径r和角度表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。 曲线方程 在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是全部x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇合成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更困难的方程则阐述更困难的形象。通常，一个简洁的方程对应平面上的一条曲线。但这不肯定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应

5、一个曲面，而曲线经常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的全部圆。 距离和角度 在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，运用平面笛卡儿坐标系时，两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为 上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为 其中m是线的斜率。 改变 改变可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。 交集 主题问题编辑解析几何中的重要问题： 向量空间 平面的定义 距离问题 点积求两个向量的角度 外积求一向量垂直

6、于两个已知向量(以及它们的空间体积) 平面解析几何初步综合检测 一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直，则a的值是() A.-1或13 B.1或13 C.-13或-1 D.-13或1 解析：选D.由3a(a-23)+(-1)1=0，得a=-13或a=1. 2.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是图中的() 解析：选C.直线l1：ax-y+b=0，斜率为a，在y轴上的截距为b， 设k1=a，m1=b.直线l2：bx-y+a=0，斜

7、率为b，在y轴上的截距为a， 设k2=b，m2=a. 由A知：因为l1l2，k1=k20，m10，即a=b0，b0，冲突. 由B知：k1k2，m10，即ab，b0，冲突. 由C知：k10，m20，即a0，可以成立. 由D知：k10，m2m1，即a0，ab，冲突. 3.已知点A(-1,1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是() A.62-2 B.8 C.46 D.10 解析：选B.点A关于x轴对称点A(-1，-1)，A与圆心(5,7)的距离为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8. 4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是(

8、) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 解析：选D.圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距02-1=1，所以两圆内含. 5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，a的值等于() A.2 B.2-1 C.2-2 D.2+1 解析：选B.圆心(a,2)到直线l：x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+1|2，依题意|a+1|22+2322=4，解得a=2-1. 6.与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线是() A.3x-2y-6=0 B.2x

9、+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 解析：选D.所求直线平行于直线2x+3y-6=0， 设所求直线方程为2x+3y+c=0， 由|2-3+c|22+32=|2-3-6|22+32， c=8，或c=-6(舍去)， 所求直线方程为2x+3y+8=0. 7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为() A.y-2=34(1-x) B.y-2=34(x-1) C.x=1或y-2=34(1-x) D.x=1或y-2=34(x-1) 解析：选B.数形结合答案简单错选D，但要留意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.

10、8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+1的公共点有() A.0个 B.1个 C.2个 D.随a值改变而改变 解析：选C.直线y=ax+1过定点(0,1)，而该点肯定在圆内部. 9.过P(5,4)作圆C：x2+y2-2x-2y-3=0的切线，切点分别为A、B，四边形PACB的面积是() A.5 B.10 C.15 D.20 解析：选B.圆C的圆心为(1,1)，半径为5. |PC|=5-12+4-12=5， |PA|=|PB|=52-52=25， S=122552=10. 10.若直线mx+2ny-4=0(m、nR，nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是()

11、A.(0,1) B.(0，-1) C.(-，1) D.(-，-1) 解析：选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9，直线mx+2ny-4=0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m+2n-4=0，即m+n=2，mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+11，当m=1时等号成立，此时n=1，与“mn”冲突，所以mn1. 11.已知直线l：y=x+m与曲线y=1-x2有两个公共点，则实数m的取值范围是() A.(-2,2) B.(-1,1) C.1，2) D.(-2，2) 解析：选C. 曲线y=1-x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标

12、系中的图象，可视察出仅当直线l在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点. 当直线l过点(-1,0)时，m=1; 当直线l为圆的上切线时，m=2(注：m=-2，直线l为下切线). 12.过点P(-2,4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为() A.4 B.2 C.85 D.125 解析：选A.点P在圆上， 切线l的斜率k=-1kOP=-11-42+2=43. 直线l的方程为y-4=43(x+2)， 即4x-3y+20=0. 又直线m与l平行， 直线m的方程为4x-3y=0. 故两平行直

13、线的距离为d=|0-20|42+-32=4. 二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上) 13.过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是_. 解析：易求得AB的中点为(0,0)，斜率为-1，从而其垂直平分线为直线y=x，依据圆的几何性质，这条直线应当过圆心，将它与直线x+y-2=0联立得到圆心O(1,1)，半径r=|OA|=2. 答案：(x-1)2+(y-1)2=4 14.过点P(-2,0)作直线l交圆x2+y2=1于A、B两点，则|PA|PB|=_. 解析：过P作圆的切线PC，切点为C，在RtPOC中，易求|PC|=3，由切割线定理，|PA|PB|

14、=|PC|2=3. 答案：3 15.若垂直于直线2x+y=0，且与圆x2+y2=5相切的切线方程为ax+2y+c=0，则ac的值为_. 解析：已知直线斜率k1=-2，直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.两直线垂直，(-2)(-a2)=-1，得a=-1.圆心到切线的距离为5，即|c|5=5，c=5，故ac=5. 答案：5 16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是_. 解析：将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程， 得(x-1)2+(y+2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d=

15、|31+4-2+m|32+42=|m-5|51， m0或m10. 答案：(-，0)(10，+) 三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x-3y+1=0，x+y=0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程. 解：AC边上的高线2x-3y+1=0， 所以kAC=-32. 所以AC的方程为y-2=-32(x-1)， 即3x+2y-7=0， 同理可求直线AB的方程为x-y+1=0. 下面求直线BC的方程， 由3x+2y-7=0，x+y=0，得顶点C(7，-7)， 由x-y+1=0，2x-3y+1=0，得顶

16、点B(-2，-1). 所以kBC=-23，直线BC：y+1=-23(x+2)， 即2x+3y+7=0. 18.一束光线l自A(-3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点. (1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程; (2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围. 解：圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1. (1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，-2)，过点A，C的直线的方程x+y=0即为光线l所在直线的方程. (2)A关于x轴的对称点为A(-3，-3)， 设过点A的直线为y+3=k(x+3). 当该直线与圆C相切时，有|2k-2+

17、3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34， 所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3). 令y=0，得x1=-34，x2=1， 所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是-34，1. 19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0. (1)此方程表示圆，求m的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值; (3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程. 解：(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0，可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m， 此方程表示圆， 5-m0，即m5. (2)x2+

18、y2-2x-4y+m=0，x+2y-4=0， 消去x得(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0， 化简得5y2-16y+m+8=0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1+y2=165，y1y2=m+85. 由OMON得y1y2+x1x2=0 即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0， 16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将两式代入上式得 16-8165+5m+85=0， 解之得m=85. (3)由m=85，代入5y2-16y+m+8=0， 化简整理得25y2-80y+48=0，解得y1=125，y2=45. x1=4-2y1=-45，x2=4-2y2=125.

19、M-45，125，N125，45， MN的中点C的坐标为45，85. 又|MN|= 125+452+45-1252=855， 所求圆的半径为455. 所求圆的方程为x-452+y-852=165. 20. 已知圆O：x2+y2=1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|=|PA|成立，如图. (1)求a、b间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 解：(1)连接OQ、OP，则OQP为直角三角形， 又|PQ|=|PA|， 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2 =1+|PA|2， 所以

20、a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2， 故2a+b-3=0. (2)由(1)知，P在直线l：2x+y-3=0上， 所以|PQ|min=|PA|min，为A到直线l的距离， 所以|PQ|min=|22+1-3|22+12=255. (或由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8，得|PQ|min=255.) (3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l与l的交点P0，所以r=322+12-1=355-1，

21、又l：x-2y=0， 联立l：2x+y-3=0得P0(65，35). 所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-1)2. 21.有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程. 解：法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0. 法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得 3-a2+6-b2=r2，5-a2+2-b2

22、=r2，b-6a-343=-1，解得a=5，b=92，r2=254.所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254. 法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由CAl，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得 32+62+3D+6E+F=0，52+22+5D+2E+F=0，-E2-6-D2-343=-1，解得D=-10，E=-9，F=39. 所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0. 法四：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y-6=-34(x-3)， 即3x+4y-33=0. 又因为kAB=6-23-5=-2， 所以kBP=12，所以直线

23、BP的方程为x-2y-1=0. 解方程组3x+4y-33=0，x-2y-1=0，得x=7，y=3.所以P(7,3). 所以圆心为AP的中点(5，92)，半径为|AC|=52. 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254. 22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程; (2)设P为平面上的点，满意：存在过点P的无穷多对相互垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等.试

24、求全部满意条件的点P的坐标. 解：(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为23，所以d=22-32=1. 由点到直线的距离公式得d=|1-k-3-4|1+k2， 从而k(24k+7)=0，即k=0或k=-724， 所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P(a，b)满意条件，不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a)，k0，则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以

25、圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即 |1-k-3-a-b|1+k2=|5+1k4-a-b|1+1k2， 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|，从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk，即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5，因为k的取值有无穷多个，所以 a+b-2=0，b-a+3=0，或a-b+8=0，a+b-5=0， 解得a=52，b=-12，或a=-32，b=132. 这样点P只可能是点P152，-12或点P2-32，132. 经检验点P1和P2满意题目条件. 中学数学平面解析几何学问点归纳第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页