2022年江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析9：三角函数图象与性质考点透析 .pdf

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1、江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析9：三角函数图象与性质考点透析【考点聚焦】考点 1：函数 y=Asin()0,0)( Ax的图象与函数y=sinx 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点 2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点 3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；【考题形式】1。由参定形，由形定参。2。对称性、周期性、奇偶性、单调性【考点小测】1. 安 徽 卷 将 函 数sin(0)yx的 图 象 按 向 量,06a平移，平移后的图象如下图，则平移后的图象所对应函数的解析式是 Asin()6yx Bsin()6yxCsin(2)3yx Dsin(2

2、)3yx解：将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象所对应的解析式为sin()6yx，由图象知，73()1262，所以2，因此选C。2.四川卷 以下函数中，图象的一部分如右图所示的是 Asin6yxBsin26yxCcos 43yx Dcos 26yx解析：从图象看出，41T=1264，所以函数的最小正周期为 ，函数应为 y=sin 2x向左平移了6个单位，即sin2()6yx=sin(2)cos(2)cos(2)3236xxx，选 D. 32007 年广东 5.)()4(sin)4(sin)(22是函数xxxf的奇函数； B. 周期为2的奇函数2的偶函数4 湖南卷 设点

3、P 是函数xxfsin)(的图象 C 的一个对称中心，假设点 P 到图象 C 的对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页称轴上的距离的最小值4， 则)(xf的最小正周期是A 2B. C. 2D. 4解析：设点 P 是函数xxfsin)(的图象 C 的一个对称中心， 假设点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值4， 最小正周期为 ，选 B. 5 天津卷 函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如下图，则函数表达式为A A)48sin(4xyB)48sin(4xy C)48sin(4xyD)48sin(4xy6天

4、津卷 要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的 C(A) 横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变,再向左平行移动8个单位长度(B) 横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变 ，再向右平行移动4个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2 倍纵坐标不变 ，再向左平行移动4个单位长度(D) 横坐标伸长到原来的2 倍纵坐标不变 ，再向右平行移动8个单位长度7 全国卷I 设函数cos30fxx。假设/fxfx是奇函数，则_。解析：( )3sin(3)fxx，则/fxfx= cos( 3)3sin( 3)2sin(3)6xxx为奇函数， =6. 8 湖南卷 假设)4sin(3)4si

5、n()(xxaxf是偶函数，则a= . 解析：2222( )sin()3sin()(sincos )3(sincos )442222f xaxxaxxxx是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页偶函数，取a=3，可得( )3 2cosf xx为偶函数。小测题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D A B A C 63 【典型考例】例 1. 2006 福建卷 已知函数 f(x)=sin2x+3sinxcosx+2cos2x,xR. I求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x

6、(xR)的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、 三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。总分值12 分。解： I1cos23( )sin 2(1cos2 )22xfxxx3133sin2cos2sin(2).22262xxx( )f x的最小正周期2.2T由题意得222,262kxkkZ即,.36kxkkZ( )f x的单调增区间为,.36kkkZII方法一：先 把sin2yx图 象 上 所 有 点 向 左 平 移12个 单 位 长 度 ， 得 到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx

7、的图象。方 法 二 ： 把sin 2yx图 象 上 所 有 的 点 按 向 量3(,)12 2a平 移 ， 就 得 到3sin(2)62yx的图象。例2 2007 全国 设函数)(),0()2sin()(xfyxxf图像的一条对称轴是直线8x。 求； 求函数)(xfy的单调增区间； 画出函数)(xfy在区间,0上的图像。本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，总分值12 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页解： )(8xfyx是函数的图像的对称轴，, 1)82sin(.,24Zkk.43

8、,0由知).432sin(,43xy因此由题意得.,2243222Zkkxk所以函数.,85,8)432sin(Zkkkxy的单调增区间为由知)432sin(xyx 0 8838587y 22 1 0 1 0 22故函数上图像是在区间, 0)(xfy例 3. 2006 山东卷已知函数f(x)=A2sin ()x(A0,0,0sin +sinBsin( + )cos +cosC cos( + )sin sin Dcos( + )cos cos 7.全国卷已知函数y =tan x在 -2，2内是减函数，则A0 1 B-1 0 C 1 D -1 8 湖北卷 假设则),20(tancossinA)6,

9、0(B)4,6(C)3,4(D)2,3(9 山东卷 函数0,01),sin()(12xexxxfx，假设2)()1(aff，则a的所有可能值为A1 B22, 1C22D22, 110.上海卷 函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_。11.湖北卷 函数1cos|sin|xxy的最小正周期与最大值的和为. 12.重庆卷 已知、均为锐角，且tan),sin()cos(则= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

10、12 答案C C C D D B A C B 1k32121二解答题1.广东卷 已知函数( )sinsin(),2f xxxxR.(I)求( )f x的最小正周期；(II) 求( )f x的的最大值和最小值；(III) 假设3( )4f，求 sin2的值 . 解：)4sin(2cossin)2sin(sin)(xxxxxxf)(xf的最小正周期为212T; )(xf的最大值为2和最小值2； 因 为43)(f， 即167cossin243cossin, 即1672sin2已知函数2( )4sin2sin 22f xxxxR，。1求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时x 的集合；2

11、证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin 22cos 222 sin(2)4xxx(1)所以( )fx的最小正周期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为2 2；(2) 证明：欲证明函数( )f x的图像关于直线8x对称，只要证明对任意xR，有()()88fxfx成立，因为()2 2 sin2()22sin(2 )22 cos28842fxxxx，()2 2 sin2()22 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x

12、的图像关于直线8x对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页3.上海春 已知函数,2,cos26sin2)(xxxxf. 1假设54sin x，求函数)(xf的值； 2求函数)(xf的值域 . 解： 153cos,2,54sinxxx，xxxxfcos2cos21sin232)(xxcossin353354. 26sin2)(xxfx26563x，16sin21x，函数)(xf的值域为2, 1. 4.(重庆卷 )设函数 f(x)=3cos2x+sinxcosx+a(其中0,aR),且 f(x)的图象在y 轴右侧的第一

13、个高点的横坐标为6x.求的值； 如果f(x)在区间65,3上的最小值为3，求 a 的值 . 3133( )cos 2sin 2sin2222321 2,.6322fxxxx解：（I ）依题意得解之得3)257,0,36361sin()1,23513( ),3622133.22xxxfx（ II)由（ I ）知 ,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知故3125已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；如果ABC的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为x，试求 x 的范围及此时

14、函数f(x)的值域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1 (2332sin21)(xxxxxxf由)332sin(x=0 即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213由已知b2=ac ，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为231 ,3(. 综上所述，3,0(x，)(xf值

15、域为231 ,3( . 说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。6 已知函数 y=21cos2x+23sinx cosx+1 xR, 1当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；2该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： 1y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x1)+ 41+432sinx cosx+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2

16、x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k, kZ ，即 x=6+k, kZ 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z 2将函数y=sinx依次进行如下变换：i 把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6) 的图像；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变，得到函数y=sin(2x+6) 的图像； iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变，得到函数y=21sin(2x+6) 的图像；iv 把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到 y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页