2022年江苏省高中数学竞赛试卷含答案 .pdf

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1、江苏省高中数学竞赛试卷一、选择题（本题满分30 分，每小题6 分）1如果实数m，n，x，y 满足anm22，byx22，其中 a，b 为常数， 那么 mx+ny 的最大值为（）A2baBabC222baD222ba2设)(xfy为指数函数xay在 P（1,1） ， Q（ 1,2） ， M（2,3） ，41,21N四点中，函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是（）APBQCMDN3在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的值为（）A1 B2 C3 D4 4如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那

2、么（）A111CBA与222CBA都是锐角三角形B111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D111CBA与222CBA都是钝角三角形5设 a，b 是夹角为30 的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，（）A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对二、填空题（本题满分50 分，每小题10 分）6设集合222xxBxxxA和，其中符号x表示不大于x 的最大整数，则AB_. 7同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6 点的概率是P_（结果要求写成既约分数）. 8 已 知 点O在ABC内 部 ，022OCOBOA.OCBABC与的 面

3、 积 之 比 为_. 9 与 圆0422xyx外 切 ， 且 与y轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为_. 10在ABC中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则222cba=_. 三、解答题（本题满分70 分，各小题分别为15 分、 15 分、 20 分、 20 分）1 2 0.5 1 xyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页11已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1. 试求 m，n 的值 . 12A、B 为双曲

4、线19422yx上的两个动点，满足0OBOA。（）求证：2211OBOA为定值；（）动点P 在线段 AB 上，满足0ABOP，求证：点P 在定圆上 . 13如图，平面M、N 相交于直线l. A、D 为 l 上两点，射线DB 在平面 M 内，射线 DC 在平面 N 内. 已知BDC，BDA，CDA，且，都是锐角 . 求二面角NlM的平面角的余弦值（用，的三角函数值表示）. BDANC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页14能否将下列数组中的数填入33 的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3 个数

5、的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （） 2,4,6,8,12,18,24,36,48；（） 2,4,6,8,12,18,24,36,72. 参考答案一、选择题（本题满分30 分，每小题6 分）1 解由 柯 西 不 等 式abyxnmnymx)()(22222； 或 三 角 换 元 即 可 得 到abnymx，当2anm，2byx时，abnymx. 选 B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页BOCA2解取161a，把坐标代入检验，4116121，而2116141，公共点只可能是点N. 选 D.

6、 3 解第一、二行后两个数分别为2.5， 3 与 1.25， 1.5； 第三、四、五列中的5 . 0 x，165y，163z，则1zyx. 选 A. 4如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么解两个三角形的内角不能有直角；111CBA的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222CBA是锐角三角形，则不妨设cos1A=sin2A=cos12A，cos1B=sin2B=cos22A，cos1C=sin2C=cos12C. 则212AA，212BB，212CC，即)(23222111CBACBA，矛盾 . 选 B. 5解任作 a 的平面，可以作无数个 . 在 b

7、 上任取一点M，过 M 作的垂线 . b 与垂线确定的平面垂直于. 选 D. 二、填空题（本题满分50 分，每小题10 分）6解2x，x的值可取1 ,0 ,1,2. 当x=2，则02x无解；当 x=1，则12x， x=1；当x=0，则22x无解；当x=1，则32x，3x. 所以31或x. 7解考虑对立事件，216916513P. 8解由图，ABC与OCB的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1. 9解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以（2,0）为焦点、2x为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在 x 轴负半轴上 .所以轨迹方程为)0(82xxy，或)0(0 xy. 10解切割化弦，已知等式即

8、CBCBCACABABAcoscossinsincoscossinsincoscossinsin，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页亦即CBACBAcos)sin(sinsinsin，即CCBA2sincossinsin=1，即1cos2cCab. 所以，122222ccba，故3222cba. 三、解答题（本题满分70 分，各小题分别为15 分、 15 分、 20 分、 20 分）11解由题1)1(2)(2xxf， 5 分1)(xf，11m，即1m，nmxf,)(在上单调减，mmmf11)1(2)(2且nnnf11

9、) 1(2)(2. 10 分m， n 是方程xxxf11)1(2)(2的两个解，方程即) 122)(1(2xxx=0，解方程，得解为1，231，231. nm1，1m，231n. 15 分12证（）设点A 的坐标为)sin,cos(rr，B 的坐标为)sin,cos(rr，则OAr，OBr，A 在双曲线上，则19sin4cos222r. 所以9sin4cos1222r. 5 分由0OBOA得OBOA，所以22sincos，22sincos. 同理，9cos4sin9sin4cos122222r，所以365914111|1|12222rrOBOA. 10 分（）由三角形面积公式，得OBOAABO

10、P，所以2222OBOAABOP，即22222OBOAOBOAOP. 即136591411122222OPOPOBOAOP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页于是，5362OP. 即 P 在以 O 为圆心、556为半径的定圆上. 15 分13解在平面 M 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DB 于 B 点；在平面 N 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1 ，则tanAB，cos1DB，tanAC，cos1DC， 5 分并且BAC就是二面角NlM平面角 . 10 分在ABCDBC

11、与中，利用余弦定理，可得等式costantan2tantancoscoscos2cos1cos122222BC，所以，coscoscos2cos1cos1tantancostantan22222=coscos)coscos(cos2， 15 分故得到sinsincoscoscoscos. 20 分14解（）不能. 5 分因为若每行的积都相等，则9 个数的积是立方数. 但是2 4 6 8 12 18 24 36 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4 3121211=219 38不是立方数，故不能. （）可以 . 15 分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26 23. 20 分36 2 24 8 12 18 6 72 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页