2022年不等式的证明及著名不等式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式的证明及著名不等式要点梳理：1基本不等式(1)定理：如果a， bR，那么 a2b22ab，当且仅当ab 时，等号成立(2)定理 (基本不等式 )：如果 a，b0，那么ab2_ab，当且仅当 _时，等号成立也可以表述为：两个 _的算术平均 _它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P 取得最 _值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最 _值2三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果 a， b，c 均为正数，那么abc3_3abc，当且仅当 _时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何

2、平均(2)基本不等式的推广对于n 个正数a1， a2， an，它们的算术平均_它们的几何平均，即a1a2 ann_na1a2an，当且仅当 _时，等号成立3柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2 b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc 时等号成立(2)设 a1，a2，a3， an，b1，b2，b3， bn是实数，则 (a21a22 a2n)(b21b22 b2n)(a1b1a2b2 anbn)2，当且仅当bi0(i1,2， n)或存在一个数k，使得 aikbi(i1,2， n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设 ，是两个向量，则| | | |，当且仅当是零向

3、量，或存在实数 k，使 k时，等号成立4证明不等式的方法(1)比较法：求差比较法知道 ab? ab0，ab? abb，只要证明 _即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0?ab1 且 a0，b0，因此当a0，b0 时要证明ab，只要证明 _即可，这种方法称名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_， 直到将待证不等式归

4、结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法， 即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简， 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设 Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P

5、1(或 P0)成立； (2)在假设 Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定 Pn对一切自然数成立1已知 a0，b1b2，则 a，b 的大小关系为 _2已知 a、 b、m 均为正数，且a0，b0，则 Plg(1ab)，Q12lg(1a) lg(1b)的大小关系为 _5设 a、b、c 是正实数，且ab c9，则2a2b2c的最小值为 _. 题型一柯西不等式的应用例 1已知 3x22y26，求证： 2xy11. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2

6、 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc 时等号成立跟踪训练若 3x4y2，则 x2y2的最小值为 _题型二用综合法或分析法证明不等式例 2已知 a，b，c(0， )，且 abc1，求证： (1)(1a1) (1b1) (1c1)8；(2)abc3. 思维升华用综合法证明不等式是“由因导果 ”，分析法证明不等式是“执果索因 ”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚

7、，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设 a，b，c0，且 ab bcca1. 求证： (1)abc3；(2) abcbaccab3(abc)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载题型三放缩法或数学归纳法例 3若 nN*，Sn1223n n1 ，求证：n n 12S

8、nn122. 思维升华(1)与正整数n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系常见的放缩变换有1k21k k1，1k2kk1.上面不等式中kN*，k1. 求证：321n111221321n221n(n2，nN)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

9、 - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载利用算术 几何平均不等式求最值典例： (5 分)已知 a，b，c 均为正数，则a2b2c21a1b1c2的最小值为 _方法与技巧1不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法2柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法 )等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1利用基本不等式必须要找准“

10、对应点 ” ，明确 “类比对象 ”，使其符合几个著名不等式的特征2注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立. A 组专项基础训练1若1a1b|b|； ab2；a2b2ab. 其中正确的是_2若 T12smn， T2s m n2mn，则当 s，m，nR时， T1与 T2的大小为 _3设 0 x0，y0，Mxy2xy， Nx2xy2 y，则 M、N 的大小关系为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - -

11、 - - - - - - 学习必备欢迎下载6若 a，bR，且 ab，Mabba，Nab，则 M、N 的大小关系为 _7若 a，b，c(0， )，且 ab c1，则abc的最大值为 _8已知 a， b，c 为正实数，且a2b3c9，则3a2bc的最大值为 _9设 ab2，b0，则当 a_时，12|a|a|b取得最小值10设a0， b0，则以下不等式ab2abab， a|ab| b； a2b24ab3b2； ab2ab2中恒成立的序号是_B 组专项能力提升1已知 x0，y0，且1x9y1，则 xy 的最小值为 _2函数 yx2 (13x)在 0，13上的最大值是 _3已知 a， b，m，n 均为正

12、数，且ab1，mn2，则 (ambn)(bman)的最小值为 _4已知 a， b 为实数，且a0，b0. 则ab1aa21b1a2的最小值为 _5Pxx1yy1zz1(x0，y0，z0)与 3 的大小关系是_6已知 x22y2 3z21817，则 3x2yz 的最小值为 _7设 a，b，c 都是正数，那么三个数a1b，b1c， c1a_.(填序号 ) 都不大于2；都不小于2；至少有一个大于2；至少有一个不小于2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6

13、页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载答案基础知识自主学习要点梳理1(2)a b正数不小于 (即大于或等于 ) (3)xy大xy小2(1)a bc不小于(2)不小于a1a2 an4(1)ab0ab1(2)充分条件(4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1ab 2MN 解析MNabambmm abb bm0，即 Mbc 解析分子有理化得a132，b165，c176abc. 4PQ 解析12lg(1 a)lg(1b)lg1a1b . (1a)(1b)1(ab)ab12 abab(1ab)2，1a 1b 1ab， lg(1ab)lg1a 1b 12lg(1a) lg(1 b

14、)，即 lg(1ab)12lg(1 a) lg(1 b)PQ. 5 2 解析(a b c)2a2b2c (a)2 (b)2 (c)2 (2a)2 (2b)2(2c)2a2ab2bc2c2 18. 2a2b2c2. 2a2b2c的最小值为2. 题型分类深度剖析例 1证明由于 2xy23(3x)12(2y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(a21a22)(b21b22)得(2xy)2 (23)2 (12)2(3 x2 2y2) (4312)6116611，|2xy|11，2x y11. 跟踪训练1425解析由柯西不等式 (3242) (x2y2)(3x4y)2， 得 25(x2y2)4，所以

15、x2y2425. 不等式 中当且仅当x3y4时等号成立，x2 y2取得最小值，由方程组3x 4y2，x3y4，解得x625，y825.因此当 x625，y825时， x2y2取得最小值，最小值为425. 例 2证明(1)a，b， c(0， )， ab2ab，b c2bc，ca2ca，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(1a1) (1b1) (1c 1)bc ac ababc2 b

16、c 2 ac 2 ababc8. (2)a，b，c(0， )， ab2ab，b c2bc，ca2ca，2(a bc)2ab2 bc 2 ca，两边同加abc 得 3(abc) abc 2 ab2bc2 ca(abc)2. 又 abc1，(abc)23，abc3. 跟踪训练2证明(1)要证 abc3，由于 a，b， c0，因此只需证明(abc)2 3. 即证： a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明： a2b2c22(abbcca) 3(abbcca)即证： a2b2c2abbcca. 而这可以由abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当abc 时等

17、号成立 )证得 原不等式成立(2) abcbaccabab cabc. 在 (1)中已证 abc3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abcabc.即证 a bcb acc ab 1，即证 a bcb accababbc ca. 而 a bcab acab ac2，b acabbc2，c abbcac2.abcb ac c abab bcca (abc33时等号成立 ) 原不等式成立例 3证明n(n1)n2，Sn1 2 nn n12. 又 n n 1 nn122n12n12， Sn(112)(212)(n12)n n12n2n22n2n122.n n12Snk2k(k1)，k2，1k k11k

18、21k k1，即1k1k11k21k11k，分别令 k2,3， ，n 得1213122112；13141321213；1n1n11n21n11n；将上述不等式相加得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12131314 1n1n11221321n21121213 1n11n，即121n1122132 1n211n，321n11122132 1n2a2，a0，b0 得 ba. 又 c

19、 b11x(1x)1 1x21xx21x0 得 cb，知 c 最大44 解析(11x)(11y)(11xy)24. 5Mx2xyy2xyxy2xy M. 6MN 解析ab，abb2a，baa2b，abbbaa2a2b， abbaab.即 MN. 7.3解析(abc)2 (1a1b1c)2(121212)(abc)3. 当且仅当abc13时，等号成立(abc)23.故abc的最大值为3. 8.39解析3a2bc3 a2b133c3 113a 2b3c 39，故最大值为39. 9 2 解析由于 a b2，所以12|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|b，由于 b0，|a|0，所以b

20、4|a|a|b2b4|a|a|b1，因此当a0 时，12|a|a|b的最小值是14154；当 a0 时，12|a|a|b的最小值是14134.故12|a|a|b的最小值为34，此时b4|a|a|b，a0，b0，ab 2 ab.ab2abab.故不恒成立 中 ab|ab|恒成立 中 a2b24ab3b2a24ab4b2(a 2b)2 0，故 不恒成立 中由 ab0 及 ab2ab2 22 恒成立，因此只有 正确B 组名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9

21、页，共 10 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载116 解析x0，y0，1x9y1， xy(xy) 1x9yyx9xy 106 1016，当且仅当yx9xy时，上式等号成立又1x9y1，x 4，y12 时， (xy)min16. 2.4243解析由 yx2 (13x)4932x32x(13x)4932x32x13x334243. 3 2 解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(ac bd)2， 当且仅当adbc 时“”成立，得 (ambn)(bman) (am anbmbn)2mn(ab)22. 49 解析因为 a0，b0，所以 ab1a33ab1a33b0，同理可证：

22、 a21b1a2331b0.由 及不等式的性质得ab1aa21b1a233b331b9. 5P3 解析P3xx11yy 11zz 111x 11y11z10，P3. 6 23解析(x22y23z2)32(2)2132(3x2y 23z13)2 (3x2yz)2，当且仅当x3y9z 时，等号成立(3x2y z)212，即 2 33x2yz2 3. 当 x9 317，y3317，z317时，3x2yz 2 3，最小值为 2 3. 7解析a1bb1cc1a a1a b1b c1c2226.a1b，b1c，c1a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -