2022年不等式的典型例题解析 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载不等式的典型例题解析【例 1】解不等式： (1)2x3-x2-15x 0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30【分析】如果多项式 f(x) 可分解为 n 个一次式的积， 则一元高次不等式 f(x) 0( 或f(x) 0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0 顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51) 的阴影部分(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30 原不等式解集为 x|x -5 或-5x-4 或 x2【说明】用“区间法”解不等式时应注意：各一次项中x 的系数必为正；对于偶次或

2、奇次重根可参照 (2) 的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)【例 2】解下列不等式：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载变形解：(1) 原不等式等价于用“区间法”原不等式解集为 (- ，-2) -1，2) 6，+) 用“区间法”名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学

3、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载【例 3】解下列不等式：【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性解：(1) 原不等式等价于(2) 原不等式等价于原不等式解集为 x|x 5(3) 原不等式等价于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载【说

4、明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变此外，有的还有其他解法，如上例(3) 原不等式化为t2-2t-3 0(t 0) 解得 0t 3 【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便【例 4】解下列不等式：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载解：(1) 原不等式等价于令 2x=t(t

5、0)，则原不等式可化为(2) 原不等式等价于原不等式解集为 (-1 ，2 3，6)【说明】解对数不等式需注意各真数必为正数在利用对数性质价性，否则会出现增解或漏解【例 5】解不等式 |x2-4| x+2【分析】解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用解：原不等式等价于 -(x+2) x2-4x+2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载故原不等式解集为 (1，3)这是解含绝对值不

6、等式常用方法【例 6】解下列不等式：换底公式先化为同底对数不等式(2) 中先解绝对值不等式，再解无理不等式解：(1) 原不等式等价于log2(2x-1) -log2(2x-1) -2 令 log2(2x-1)=t ，则上述不等式变为t(-1-t)-2 即 t2+t-2 0解之，得 -2 t 1，从而 -2log2(2x-1) 1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载【例 7】解不等式

7、log2x2-1(3x2+2x-1) 1【分析】题目中未知数出现在底数部分，就必须对底数大于零还是位于零与1 之间进行讨论解：原不等式等价于【说明】当时数底数含有字母或未知数时，应对其进行分类讨论【例 8】解关于 x 不等式 a2x+1ax+2+ax-2，其中 a0 且 a1【分析】题目通过变形可看作是关于ax 的二次不等式对于底数a 分 a1 或 0a1 两种情况讨论解：原不等式等价于(ax)2-(a2+a-2)ax+10 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

8、- 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载(*) 当 a1 时，a2a-2，于是 (*) 式得a-2axa2，即-2x2当 0a1 时，a-2a2，于是 (*) 式得a2axa-2，即-2x2综上所述，原不等式解集为(-2 ，2)【说明】本题在化成关于 ax 的二次不等式后， 解题关键是利用a2a-2=1进行因式分解【例 9】设 a0；a1 解关于 x 的不等式 xlogaxa3x2【分析】这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”在两边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对a 进行讨论后再取对数解：当 a1 时，原不等式两边取对数，得当 0a1 时，原不等式等价于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载(1) 当 a1 时，式等价于(2) 当 0a1 时，等价于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -