2022年概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案 .pdf

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1、习题二1. 设随机变量X的分布函数为.6, 1,63,21, 31, 31, 10,41, 0,0)(xxxxxxF试求X的概率分布列及) 1(XP，)1(XP，)3(XP，)3(XP. 解 : 随机变量X的分布列为X0136p411216121则41) 0() 1(PXP；31) 1 () 1 () 0() 1(FPPXP；21)6()3(PXP；322161)6()3() 3(PPXP. 2. 设离散型随机变量X的分布函数为. 2,21,32, 11, 1,0)(xbaxaxaxxF且21)2(XP，试求a，b和X的分布列 . 解：由分布函数的定义可知1ba又因为21)2(XP，则6722

2、132)02()2()2()2()2(baabaFFXPXPXP故61a，65b. 3. 设随机变量X的分布函数为., 1,1,ln,1,0)(exexxxxF试求) 5 .2(XP，)5 . 30(XP，)5 .25. 1(XP. 解 : 根据题意X为连续型随机变量，则2ln5ln)5. 2()05 .2() 5. 2(FFXP，1)0()5. 3()00() 5. 3()5 . 30(FFFFXP，3ln5ln)5. 1 ()5. 2()05 .1 ()05 . 2()5 .25 . 1(FFFFXP。4. 若1)(1xXP，1)(2xXP，其中21xx，试求)(21xXxP. 解 : )

3、()()(1221xXPxXPxXxP)(1 )(12xXPxXP1)1(11. 5. 一只口袋中有5 个球，编号分别为1，2，3， 4，5.从中任意取3 个，以X表示取出的3 个球中的最大号码. (1)求X的分布列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页(2)写出X的分布函数，并作图. 解： (1)根据题意X表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5，故 其分布列为351121)(CCCkXPpkk，5,4,3k. 即X345p101103106(2)由分布函数的定义可知.5,1,54,52,43,101,3,

4、0)(xxxxxF作图略 . 6. 有三个盒子，第一个盒子装有1 个白球、 4 个黑球；第二个盒子装有2 个白球、 3 个黑球；第三个盒子装有3 个白球和 2 个黑球 .现任取一个盒子，从中任取 3 个球 ,以X表示所取到的白球数 . (1)试求X的概率分布列；(2)取到的白球数不少于2 个的概率为多少？解： (1)根据题意X表示所取到的白球数，则其可能取值为3,2, 1 , 0，故其分布列为353233533235341313131)(CCCCCCCCCkXPpkkkkkkk，3 ,2, 1 ,0k. 即X0123p6121103301(2)根据题意，所求概率为31)3()2()2(XPXP

5、XP. 7. 掷一颗骰子4 次，求点数6 出现的次数的概率分布. 解：以X表示骰子点数出现6 的次数，则)61,4( BX故 其分布列为kkkkCkXPp4461161)(，4 ,3 ,2,1 ,0k. 即X01234p4823.03858.01157.00154.00008.08. 一批产品共有100 件，其中 10 件是不合格品.根据验收规则， 从中任取5 件产品进行质量检验，假如5 件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求 5 件中不合格品数X的分布列；(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？解： (1)以X表示件产品中的不合格品数，则其可能取

6、值为0，1，2，4，5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页故 其分布列为510059010)(CCCkXPpkkk，5, 4, 3,2, 1 ,0k. (2)根据题意，所求概率为4162.0)0(1)0(1)0(PXPXP. 9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20 次，试写出目标被击中次数X的分布列 . 解：以X表示目标被击中的次数，则)8.0,20( BX故 其分布列为kkkkCkXPp2020)2.0()8.0()(，20,2, 1 ,0k. 10. 某车间有5 台车床，每台车床使用电力是间歇的，

7、平均每小时有10 分钟使用电力 .假定每台车床的工作是相互独立的，试求(1)同一时刻至少有3 台车床用电的概率；(2)同一时刻至多有3 台车床用电的概率. 解：以X表示同一时刻用电车床的台数，则)61,5( BX故 其分布列为kkkkCkXPp556561)(，.5 ,2 ,1 ,0k(1)根据题意所求概率为0355.0)5()4()3()3(XPXPXPXP；(2)根据题意所求概率为9967.0)5()4(1)3(1)3(XPXPXPXP. 11. 某优秀的射击手命中10 环的概率为0.7，命中 9 环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29 环的概率？解：以X表示射击手命中环

8、10 的次数，则)7.0 ,3( BX故 其分布列为kkkkCkXPp33)3.0()7 .0()(，3 ,2, 1 ,0k. 根据题意所求概率为784.0)1()0(1)2(1)2(XPXPXPXP. 12. 设随机变量X和Y均服从二项分布，即),2(pBX，),4(pBY.若98)1(XP，试求)1(YP? 解：根据题意随机变量),2(pBX，则kkkppCkXP22)1()(，2, 1 ,0k. 又因为98) 1(XP，则3298)1 (1)0(1)1(1)1(2002pppCXPXPXP. 则)32,4( BY. 故818031321)0(1) 1(1) 1(4004CYPYPYP.

9、13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4 的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8 次呼唤的概率；(2)每分钟呼唤次数大于8 的概率 . 解：以X表示交换台每分钟的呼唤次数，则)4( PX故 其分布列为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4!4)(ekkXPpkk，.,2 ,1 ,0k(1)根据题意所求概率为0298. 0!84)8(488eXPp；(2)根据题意所求概率为021.0979.01)8(1)8(XPXP. 14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品 3

10、00 件中次品数大于5 的概率为多少？解：以X表示 300 件产品中的次品数，则)01.0,300( BX用参数为301.0300np的泊松分布作近似计算，得所求概率为0839. 09161.01!31)5(1)5(503kkekXPXP. 15. 保险公司在一天内承保了5000 份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3 万元 .设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30 万元的概率 . 解：以X表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则)0015.0 ,5000( BX用参数为5. 700

11、15. 05000np的泊松分布作近似计算，得所求概率为8622. 0!5 .7)9985.0()0015.0()10(1005 .7100105000kkkkkkekCXP.16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001.在某天的该段时间内有1000 辆汽车通过 ,问出事故的车辆数不小于2 的概率是多少？解：以X表示该汽车站每天出事故的车辆数，则)0001.0,1000( BX用参数为1. 00001. 01000np的泊松分布作近似计算，得所求概率为0!1 .01)2(1)2(201.0kkekXPXP.17. 进行重复独立试验，设每

12、次试验成功的概率为p，则失败的概率为pq1) 10(p. (1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X的分布列 . (2)将试验进行到第r次成功为止，求所需试验次数Y的分布列 .（此分布被称为负二项分布）解： (1)根据题意， 以X表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X服从参数为p的几何分布，其分布列为1)1 ()(kkppkXPp，)10( ,2, 1pk(2)根据题意，以Y表示试验第r次成功为止所需试验次数，则Y的可能取值为, 1,mrrr， （即在k次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面1k次中一定有1r次是成功的，由二项分布得其概率为rkrrkppC)1 (111，再乘以最

13、后一次成功的概率p） ，则其分布列为rkrrkkppCkXPp)1()(11，)10( , 1,prrk. 18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X的分布列，并计算X为偶数的概率. 解：根据题意，以X表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为1)45.01(45.0)(kkkXPp，,2, 1k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为3548.0)45.01(45.0)2(1121kkkkXPp. 19.

14、设随机变量X的概率密度为.,0,21,2, 10,)(其它xxxxxf试求)5.1(XP. 解：由概率密度函数的定义可知875.0)2()()5.1(5 .11105 .1dxxxdxdxxfXP. 20. 设随机变量X的概率密度为.2, 0,2,cos)(xxxAxf试求：(1)常数A; (2)X落在区间)4,0(内的概率 . 解： (1)由概率密度函数的正则性可知212cos)(122AAxdxAdxxf；(2)根据题意，所求概率为42cos21)()40(4040 xdxdxxfXP. 21. 设随机变量X的分布函数为.1, 1,10,0,0)(2xxAxxxF试求：(1)常数A；(2)

15、X落在区间)7 .0, 3.0(内的概率；(3)X的概率密度 . 解： (1)由分布函数的连续性可知11)1 (lim)(lim)01 (211AFAAxxFFxx；(2)根据题意，所求概率为4.0)3 .0()7 .0()7. 03.0(FFXP；(3)由分布函数和密度函数的关系可知.,0, 10,2)()(其它xxxFxf22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页., 0,1000,100105. 0)(4其它xxxf试问

16、该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？解：设该油站的储油罐容量为a升)0(a，以X表示该加油站每周油品销售量，则根据题意05.01001100105.0)(05. 0)(5100adxxdxxfaXPaa4605.01005aa. 23. 在区间,0a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设该质点落在区间,0a中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X的分布函数和概率密度. 解：设X的分布函数为)(xF，则当0 x时，因为xX是不可能事件，所以0)()(xXPxF；当ax时，因为xX是必然事件，所以1)()(xXPxF；当ax0时，有kxxXPxXPxF)

17、0()()(，其中k为比例系数，由分布函数的右连续性可知，akkaxFaFaFax1)(lim)0()(1则X的分布函数为., 1,0,0, 0)(axaxaxxxF由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为.,0,0,1)(其它axaxf24. 设随机变量X服从区间)10,0(上的均匀分布，求对X进行 4 次独立观测中，至少有3 次的观测值大于5的概率？解：根据题意，随机变量)10,0(UX，则其概率密度函数为.,0,100,101)(其它xxf故 对X进行独立观测中观测值大于5 的概率为10555.01 .0)()5(dxdxxfXPp以Y表示对X进行独立观测中观测值大于5 的次数，则

18、),4(pBY故 所求概率为3125.0)5.0()5.0()5.0()4()3()3(4441334CCXPXPXP. 25. 设随机变量)5 ,0(UK，求方程02442KKxx无实根的概率和有实根的概率. 解：根据题意，随机变量U(0,5)K，则其密度函数为.,0,50,51)(其它xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页根据韦达定理可得，当2103216162KKK时，方程无实根，其概率为21216 .02.0)()21(dxdxxfXP；当103216162KKK或2K时，方程有实根，其概率为4 .0)2

19、1(1)2 1(XPXXP. 26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为. 0,0,0,2. 0)(2.0 xxexfx某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟他便离开，他每月要到银行5 次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率. 解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间X服从指数分布，则等候时间超过10 分钟的概率为1022.0102.0)()10(edxedxxfXPpx以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，则),5(2eBY故 所求概率为5167.0)1()(1)0(1)1(1)1(520205eeCXPXP

20、XP。27. 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命X（以小时计）都服从同一指数分布0,0,0,6001)(6001xxexfx试求：此仪器在最初使用的300 小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率. 解：根据题意，以X表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300 小时的概率为300021600130016001)()300(edxedxxfXPpx以Y表示该型号电子元件损坏数，则)1,3(5. 0eBY故 所求概率为3101.0)()1 (1)0(1)1(1)1(35.005. 003eeCXPXPXP. 28. 设随机变量)2 ,3(2NX，求(1)51(XP；(2)

21、5( XP；(3) 确定a，使得)()(aXPaXP？解：由正态分布标准化23XXU可得(1)12(235231)53(UPUPXP8185.01)2()1()2()1 (；(2)12(231231)1(UPUPXP1359.0)1 ()2()2() 1(；(3)根据题意)()(aXPaXP，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页231232323aUPaUPaUPaUP212323123aaa)5 .0)0(故3a。29. 设随机变量)3 ,4(2NX，求(1)52(XP(2)3( XP(3)设a为参数，使得9 .

22、0)(aXP，问a最多取为多少？解：由正态分布标准化34XXU可得(1)312345342)52(UPUPXP6065.01)2()31()2()31 (；(2)313713433431)3(1)3(UPUPXPXP6392.0)31()37(1；(3)根据题意9.0)(aXP，则1 .0349.034134aUPaUPaUP即1.034a(8997.0)28.1(，9015.0)29.1() 故 由标准正态分位数定义可得145.0285.134aa即参数a最大取为0.145. 30. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X(以 m 计)具有概率密度3200)20(22401)(xexf，x

23、试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率 . 解：根据题意，以X表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可知)40,20(2NX，则误差绝对值超过30m 的概率为)3030(1)30(1)30(XPXPXP)25.025.1(402030402030UPUP4931.01)25.1()25.0()25.1()25.0(, 以Y表示测量中误差绝对值超过30m 的次数，则)4931,3( BY故 所有概率为8698.0)5069.0()4931.01(1)0(1)1(1)1(3003CXPXPXP. 31. 某单位招聘员工，共有10000 人报考 .假设考试成绩服从正态分布

24、，且已知90 分以上有 359 人， 60 分以下有1151 人，现按考试成绩从高分到低分一次录用2500 人，试问被录用者中最低分数是多少？解：根据题意，以X表示报考人的成绩分数，则),(2NX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页故901)90(1)90(UPXPXP0359.0100003599018.1909641.090（查表得）1151.01000011516060)60(UPXP2 .160（查表得）由、可得72，10，即)10,72(2NX，设录用者中最低分数为a，则)(125.0100002500)(

25、aXPaXP，107211072125.0aaUP75.01072a，(7486.0)67.0(，7517.0)68.0() 故75.78675. 01072aa32. 已知离散型随机变量X的分布列为X21013p5161511513011试求2XY与XZ的分布列 . 解：根据题意可得X210132XY41019XZ21013p5161511513011故 合并整理得2XY的分布列Y0149p51307513011XZ的分布列Z0123p5130751301133. 设随机变量X的概率密度为., 0,0),5 . 0cos(5. 0)(其它xxxf对X独立重复观察4 次，Y表示观察值大于3的次

26、数，求12YZ分布列 . 解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对X进行独立观测中观测值大于3的概率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页335.0)5.0cos(5.0)()3(dxxdxxfXPp. 以Y表示对X进行 4 次独立观测中观测值大于3的次数，则)5.0,4( BY故 其分布列为kkkkCkXPp44)5.01()5 .0()(，4,3, 2, 1 ,0k. 即Y0123412YZ11357p0625.025.0375.025.00625.0故Z11357p0625.025.0375.025.00625

27、.034. 设随机变量) 1 ,0(UX，试求以下随机变量函数的概率密度：(1)XY1；(2)XeY；(3)XYln2；(4)XYln. 解：根据题意，随机变量)1 ,0(UX，则其密度函数为., 0, 10, 1)(其它xxfX(1)由yyhxxy1)(1，且有01)(yh，则XY1的密度函数为.,0, 110,)1( )1()(其它yyyfyfXY.,0, 10, 1其它y(2)由yyhxeyxln)(0，且有01)(yyh，则XeY的密度函数为.,0,1ln0,)(ln(ln)(其它yyyfyfXY., 0,1,1其它eyy(3)由yeyhxxy5.0)(0ln2，且有05 .0)(5

28、. 0yeyh，则XeY的密度函数为., 0, 10,)()()(5. 05. 05 .0其它yyyXYeeefyf.,0, 0,5.05 .0其它yey(4)由0ln xy，故当0y时，有0)(yFY，从而0)(yfY当0y时，yeyhxxy)(0ln，且有0)(yeyh，则XYln的密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页.0,0, 10,)()()(yeeefyfyyyXY.0,0,0,yyey35. 设随机变量) 1 ,0( NX，试求以下随机变量函数的概率密度：(1)XeY；(2)XY；(3)122

29、XY. 解： (1)由于0 xey，故当0y时，有0)(yFY，从而0)(yfY. 当0y时，由yyhxeyxln)(0，且有01)(yyh，则XeY的密度函数为.0, 0,0,)(ln(ln)(yyyyyfY.0,0,0,212)(ln2yyeyy(2)由于0 xy，故当0y时，有0)(yFY，从而0)(yfY. 当0y时，有1)(2)()()()(yyXyPyXPyYPyFY此时Y的分布函数为.0, 0,0, 1)(2)(yyyyFY因为)()(yFyfYY，故.0, 0, 0),(2)(yyyyfY.0,0,0,222yyey(3)由于1122xy，故当1y时，有0)(yFY，从而0)(

30、yfY. 当1y时，有)12()()(2yXPyYPyFY1) 1(5 .0(2) 1(5. 0)1(5.0(yyXyP此时Y的分布函数为.1,0, 1),)1(5 .0(2)(yyyyFY因为)()(yFyfYY，故.1,0, 1),) 1(5.0()1(5. 0)(21yyyyyfY精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页. 1, 0, 1,) 1(214)1(yyeyy36. 某物体的温度T（华氏）是随机变量，且有)2,6.98( NT，已知)32(95TW，试求W（摄氏）的概率密度. 解：根据题意，)2 ,6.98( NT，则其概率密度函数为4)6 .98(221)(tTetf，t由)32(95tw由328 .1)()32(95wwhttw，且有08.1)(wh，则由分布函数的定义可知)328.1()328.1()32(95)()(wFwTPwTPwWPwFTW又因为)()(wFwfWW故)328.1 ()328.1()(wwFwfTW2)37(10081109we，w。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页