2022年椭圆大题题型汇总例题+练习 .pdf

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1、椭圆大题题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k( 斜率 ) 的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐1212,y22xxyyx, x y1122(,)(,)A x yB xy，标。2、弦长公式：若点在直线上，1122(,)(,)A x yB xy，(0)ykxb k则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，1122ykxb

2、ykxb，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)()4kxxx x或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk。2121221(1)()4yyy yk3、两条直线垂直：则111222:,:lyk xb lyk xb121k k两条直线垂直，则直线所在的向量120v vrrg4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则20(0)axbxca12,x x。1212,bcxxx xaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

3、1 页，共 10 页常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1 ）和平分（中点坐标公式）。例题 1、 过点 T(-1,0) 作直线与曲线 N ：交于 A、B 两点，在x 轴上是否存在一点l2yxE(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。0 xABE0 x例题 2、 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。1222yx（）求过点O 、F，并且与相切的圆的方程；2x（）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点

4、，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页练习 1： 已知椭圆)0( 1:2222babyaxC过点)23, 1 (，且离心率21e。（）求椭圆方程；（）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点)0,81(G，求k的取值范围。练习 2、设、分别是椭圆的左右焦点是否存在过点的直线 l 与椭1F2F22154xy( 5, 0)A圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说22F CF D明理由精选学

5、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆C：的离心率为，且在 x 轴上的顶点分别为22221(0)xyabab32A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II ）若直线与 x 轴交于点T,点 P 为直线上异于点 T 的任一点，直线:(2)l xt tlPA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。例题 4、 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为1；（）求椭圆C 的标准方

6、程；（）若直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点（ A，B 不是左右顶点） ，且mkxyl：以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页练习 ：直线和抛物线相交于 A、B，以 AB 为直径的圆过抛物线的mkxyl：22ypx顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。mkxyl：题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可

7、以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例题 6、已知点A、B、C 是椭圆 E：上的三点，其中点A22221xyab(0)ab是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O，且，(2 3,0)0AC BCuuu r uu u rg2BCACu uu ruuu r如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程；(II) 若椭圆 E 上存在两点P、Q，使得直线PC 与直线 QC 关于直线对称，求直线PQ3x的斜率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页练习：已知，椭圆C以过点A（1，32） ，两个焦点为（1， 0） （1，0） 。（1

8、）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理-同类坐标变换，将问题解决。例题 7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于 P、Q 两点，且,求实数22194xyDPDQl=uuu ruuu r的取值范围。l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页例题 8： 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为

9、241xy552（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交y 轴于 M 点，若，求的值AFMA1BFMB221练习： 设椭圆)0(12:222ayaxC的左、右焦点分别为1F、2F，A 是椭圆 C 上的一点，且0212FFAF，坐标原点O 到直线1AF的距离为|311OF（1）求椭圆C 的方程；（2）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过Q 的直线 l 交 x 轴于点)0,1(P，较 y轴于点 M，若QPMQ2，求直线 l 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10

10、页题型六：面积问题例题 9、已知椭圆 C：（a b0）的离心率为短轴一个端点到右焦12222byax,36点的距离为。3（）求椭圆C 的方程；（）设直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为，求23AOB 面积的最大值。练习、如图，直线与椭圆交于 A、B 两点，记的面积为。ykxb2214xyABCS（）求在，的条件下，的最大值；0k01bS（）当时，求直线AB 的方程。12，SAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页练习 1、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和

11、焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。()求椭圆的方程；()直线过点 P(0,2)且与椭圆相交于A、B 两点，当AOB 面积取得最大值时，求l直线 l 的方程。练习 2、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直2221,FF线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。1FBA,ABF22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页题型七：弦或弦长为定值问题例题 10 设椭圆 E: （a,b0）过 M（2，），N(,1)两点， O 为坐标原22221xyab26点，（I）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且？若存在，写出该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理由。OAOBuu u ru uu r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页