最新四、二次曲面28幻灯片.ppt

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1、四、二次曲面四、二次曲面2828目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结

2、束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yOz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令两边平方L), 0(zyM目录 上页 下页 返回 结束 xyzOxyzO例例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: 绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为xyzO目录

3、上页 下页 返回 结束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解: :在 xOy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面C在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,O目录 上页 下页 返回 结束 OxyzxyzOxyz定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准

4、线为xOy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.Ol目录 上页 下页 返回 结束 xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xOz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xOy 面上的曲线 l1.母线准线 yOz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1lOOO目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当

5、选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )目录 上页 下页 返回 结束 zyxO1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (

6、4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z目录 上页 下页 返回 结束 2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222( p , q 同号)zyxOzyxO特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(

7、实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy ),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: zxyO目录 上页 下页 返回 结束 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线: 双曲线: 0zxyOzxyO目录 上页 下页 返回 结束 (2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线222222czbyax

8、单叶双曲面11双叶双曲面P18 Ozxy目录 上页 下页 返回 结束 zxy4. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见 P28 )xyzO目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面

9、如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面: 单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax目录 上页 下页 返回 结束 5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z

10、 轴的平面思考与练习思考与练习1. 指出下列方程的图形:目录 上页 下页 返回 结束 2. P30 题3 , 10题题10 答案答案: 在 xOy 面上 ;194) 1 (22轴旋转一周绕椭圆xyx;14)2(22轴旋转一周绕双曲线yyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyOz目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P30 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11第四节 目录 上页 下页 返回 结束 %r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#

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