2022年椭圆知识点总结及经典习题 .pdf

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1、1圆锥曲线与方程 - 椭圆知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭212FFa圆，即点集 M=P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a|F1F2|=2c ；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹） 。212FFa21FF212FFa2标准方程：222cab焦点在 x 轴上：（ab0） ； 焦点 F（c ，0）12222byax焦点在 y 轴上：（ab0） ； 焦点 F（0, c ）12222bxay注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：

2、或者 mx2+ny2=1 221xymn二椭圆的简单几何性质： 1. 范围（1）椭圆（ab0） 横坐标-axa , 纵坐标-bxb12222byax（2）椭圆（ab0） 横坐标-bxb,纵坐标-axa12222bxay 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点（1）椭圆的顶点： A1（-a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b ） ，B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4 离心率精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，22caac记作 e（） ，10e22221()beaac是圆；e0 e越接近于 0 （e 越小） ，椭圆就越接近于圆 ;e 越接近于 1 （e 越大） ，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、 （共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P xy22221

4、(0)xyabab2200221xyab（2）点在椭圆的外部.00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab6. 几何性质（1）点 P在椭圆上，最大角12122max,F PFF B F（2）最大距离，最小距离7. 直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3例题讲解：一. 椭圆定义：方程化简的结果是10222222yxyx2若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是ABC4,0 ,4,

5、0ABABC18C3. 已知椭圆22169xy=1上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3, 则 P到另一焦点距离 为二利用标准方程确定参数1. 若方程+=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 .25xk23yk（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于 , 顶点坐标是22425100 xy点的坐标是 ,焦距是，离心率等于 ,3椭圆的焦距为，则= 。2214xym2m4椭圆的一个焦点是，那么。5522kyx)2,0(k三待定系数法求椭圆标准方程1若

6、椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为。( 4,0)(0, 3)2焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为213a212c3焦点在轴上，椭圆的标准方程为x1:2:ba6c4. 已知三点 P（5，2） 、（6，0） 、（6，0） ，求以、为焦点且过点 P的椭圆的1F2F1F2F标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。224936xy(3, 2)四焦点三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页41椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。221925xy1F2FAB1F2ABF2设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则

7、的周长是1F2F400251622yxP21FPF多少？的面积的最大值是多少？21FPF3设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积P2212516xy12,F F12F PF12F PF为。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点若，14416922yx1F2FP6021PFF求的面积21FPF五离心率的有关问题1. 椭圆1422myx的离心率为21，则 m2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为0120e3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角

8、三角形，求椭圆的离心率。5. 在ABC中，3,2| ,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 e六、最值问题：1、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求 |PA| 的最大值最小值2214xy。2. 椭圆两焦点为 F1、F2，点 P在椭圆上，则 |PF1| |PF2| 的最大值为 _，2214xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5七、弦长、中点弦问题 1 、已知椭圆及直线1422yxmxy（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程5102

9、2 已知椭圆，1222yx (1)求过点（ 1,0 ）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程22（2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；2121，PP同步测试 1 已知 F1(-8 ，0)，F2(8 ，0)，动点 P满足|PF1|+|PF2|=16 ，则点 P的轨迹为 ( )A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2 、椭圆左右焦点为 F1、F2，CD为过 F1的弦，则CDF1的周长为 _221169xy 3 已知方程表示椭圆，则 k 的取值范围是 ( )22111xykk A -1k0 C k0 D k1或 k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1) 长轴长为 10，短轴长为 6 (2)长

10、轴是短轴的 2 倍，且过点 (2，1) (3) 经过点 (5，1)，(3，2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页65. 椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于P点。22221(0)xyabab若F1PF2=60，则椭圆的离心率为 _6 已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且, 求的面积22143xy1260F PF12PF F7. 若椭圆的短轴为 AB ，它的一个焦点为F1，则满足ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为8. 椭圆上的点 P到它的左焦点的距离是12，那么点 P到它的右焦点的距离

11、是13610022yx9已知椭圆的两个焦点为、，且，弦 AB过点，则)5( 125222ayax1F2F821FF1F的周长2ABF10、椭圆=1与椭圆= (0)有32x22y22x32y (A) 相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对11、椭圆与（0kb0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它x2a2y2b2们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A(0,1) B.C.D.(0，22)(22， 1)(0，222椭圆1 的焦点为 F1、F2，椭圆上的点 P 满足 F1PF260 ，则 F1PF2的x2100y264面积是 ()A.B

12、.C.D.64 3391 3316 336433已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆 E 的离心率等于 ()4 已知点 F，A 分别是椭圆1(ab0)的左焦点、右顶点， B(0，b)满x2a2y2b2足 0，则椭圆的离心率等于 () FBABA.B.C.D.3125123125125已知椭圆1 的左右焦点分别为F1、F2，过 F2且倾角为 45 的直线 l 交椭圆于x24y22A、B 两点，以下结论中： ABF1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB| ；正确83结论的个数为 ()A3B2C1D06已知圆 (x2)2y236的圆心为 M，设 A

13、为圆上任一点， N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ()A圆B椭圆C双曲线D抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页87过椭圆 C：1(ab0)的一个顶点作圆 x2y2b2的两条切线，切点分别为x2a2y2b2A，B，若 AOB90(O 为坐标原点 )，则椭圆 C 的离心率为 _8 若椭圆1(ab0)与曲线 x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范x2a2y2b2围是_9已知 ABC 顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆1 上，则x225y29_.sinAsinCsinB10已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4.x2a2y2b2(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2 相切，求椭圆 C 的焦点坐标；.11椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在 x 轴上，离心率 e . (1)12求椭圆 E 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页