2022年求数列通项公式的八种方法 .pdf

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1、名师精编优秀资料求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1( )nnaaf n若1( )nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1) 12(2)1(221)(2 1 1) 12(1)(2)21(1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数

2、列na的通项公式为2nan。例 2 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：132 31nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111

3、213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan2、累乘法适用于：1( )nnaf n a若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 3 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列

4、na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编优秀资料1321122112211(1) (2)2 1(1)122(11)52(21)52(21)5 2(11)5 32 (1)3253325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n分析：通过凑配可转化为1121( )( )nnaf naf n; 解题基本

5、步骤：1、确定( )f n2、设等比数列1( )naf n，公比为23、列出关系式1121( )( )nnaf naf n4、比较系数求1，25、解得数列1( )naf n的通项公式6、解得数列na的通项公式例 4 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料121nnaa两式相减得11

6、2()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2 的等比数列，再用累加法的例 5已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna是首项为1 114 35a，公比为2 的等比数列，所以114 35 2nnna，即114 35 2nnna解法二：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略注意： 例 6 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解： 设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz比较系数得3,10,

7、18xyz，所以2213(1)10(1) 182(31018)nnannann由213 110 1 181 31320a，得2310180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 1813132a为首项，以2 为公比的等比数列，因此213101832 2nnann，则42231018nnann。注意：形如21nnnapaqa时将na作为( )f n求解分析：原递推式可化为211()() nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

8、- - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优秀资料例 7 已知数列na满足211256,1,2nnnaaa aa，求数列na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2，则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为4，公比为 3 的等比数列1124 3nnnaa，所以114 35 2nnna四、迭代法例 8 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)11 2(3)(323(1) 2323 (1)21223(2)

9、23 (1)233 (2)(1)2332 3(2) (1)21nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa2)(1)(1)123! 21nn nnna又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例 9 已知数列na满足5123nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny（同类型

10、四）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料比较系数得，lg 3lg 3lg 2,4164xy由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg1lg 71041644164a，得lg 3lg 3lg 2lg04164nan，所以数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan是以lg 3lg 3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此11111111116164444111115161

11、644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )lg(332 )lg(732)nnnnnnnnnnan则11541515164732nnnnna。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 10 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan3、换元法适用于含根式的递推关系例 11 已知数列na满足111(1412

12、4)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132( )( )22nnnb，则21()32nnb，即21124( )32nn

13、a，得2 111( )()3 423nnna。六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得2122322243228(1 1)88224(2 1 1) (2 13)9925258(21)248 348(221) (223)2525 49498(3 1)488480(23 1) (233)4949 8181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，下面用数学归纳法

14、证明这个结论。（1）当1n时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料12222222222222228(1)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkaakkkkkkkkkkkkkkkk由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何

15、*nN都成立。七、阶差法1、递推公式中既有nS，又有na分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。例 13已知数列na的各项均为正数，且前n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,a a a成等比数列，求数列na的通项公式。解：对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa当 n=1 时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a或12a当 n2 时，1111(1)(2)6nnnSaa-整理得：11()(3)0nnnnaaaana各项均为正数，13nnaa当11a时，32nan，此时2429aa a成立当12a时，31

16、nan，此时2429aa a不成立，故12a舍去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编优秀资料所以32nan2、对无穷递推数列例 14 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan， 求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122! (1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa由123123(1)(2)nnaaaana

17、n，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan。所以，na的通项公式为!.2nna八、不动点法不动点的定义：函数( )f x的定义域为D，若存在0( )f x xD，使00()f xx成立，则称0 x为( )f x的不动点或称00(,()xf x为函数( )f x的不动点。分析：由( )f xx求出不动点0 x，在递推公式两边同时减去0 x，在变形求解。类型一：形如1nnaqad例 15 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为( )21f xx，由( )fxx得，不动点为-1精选学习资

18、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编优秀资料112(1)nnaa，类型二：形如1nnna abac ad分析：递归函数为( )a xbf xc xd（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得11nnnnapapkaqaq，其中apckaqc，111111()()()()nnna qpq ka ppqaap kaq（ 2） 若 有 两 个 相 同 的 不 动 点p， 则 将 递 归 关 系 式 两 边 减 去 不 动 点p， 然 后 用1 除 ， 得111nnkapap，其

19、中2ckad。例 16已知数列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所以数列23nnaa是以112422343aa为 首 项 ， 以913为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故12132()39nnnaa， 则113132()19nna。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页