最新因子分析使用帮助幻灯片.ppt
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1、因子分析使用帮助因子分析使用帮助目目 录录1 1 引言引言2 2 因子分析模型因子分析模型 3 3 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法4 4 因子旋转(正交变换)因子旋转(正交变换)5 5 因子得分因子得分 6 6 因子分析的因子分析的SPSSSPSS操作操作用矩阵的表达方式:用矩阵的表达方式:X- = AF+( )EF0( )E0( )VarFI22212( )(,)pVardiag1 11212 122212()()()()()()cov()()()()()ppppppE FE FE FE FE FE FEE FE FE FF,F0二、因子分析模型的性质二、因子分析模型的性质 1
2、、原始变量、原始变量X的协方差矩阵的分解的协方差矩阵的分解X- = AF+()( )( )VarVarVarX- = AF A+x = AA +DA是因子模型的系数22212( )(,)pVardiagD D的主对角线上的元素值越小,则公共因子共享的成的主对角线上的元素值越小,则公共因子共享的成分越多。分越多。 2、因子载荷不是惟一的、因子载荷不是惟一的 设设T为一个为一个pp的正交矩阵,令的正交矩阵,令A*=AT,F*=TF,则模型可以表示为则模型可以表示为*X+A F +()ET F0( )E0*()()( )VarVarVarFTFTF TI22212( )(,)pVardiag*cov
3、()()EF ,F 0且满足条件因子模型的条件且满足条件因子模型的条件 三、三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征 1 1、因子载荷、因子载荷aij的统计意义的统计意义 因子载荷因子载荷 是第是第i个个标准化变量标准化变量与第与第j个公共因子的相关系数个公共因子的相关系数 ija模型为模型为 imimiiFaFaX11 在上式的左右两边乘以在上式的左右两边乘以 jF, ,再求数学期望再求数学期望 )()()()()(11jijmimjjijjijiFEFFEaFFEFFEaFXE 根据公共因子的模型性质,有根据公共因子的模型性质,有ijFxji (载荷矩阵中第(载荷矩阵
4、中第i行,第行,第j列的元素)反映了第列的元素)反映了第i个变量与第个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大,相个公共因子的相关重要性。绝对值越大,相关的密切程度越高。注意关的密切程度越高。注意标准化变量的方差为标准化变量的方差为1 1。 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定义:变量定义:变量 的共同度是因子载荷矩阵的第的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元行的元素的平方和。记为素的平方和。记为iX统计意义统计意义:imimiiFaFaX11两边求方差:两边求方差:)()()()(2112imimiiVarFVaraFVaraXVarmjiija1221 所有的公共因子和特殊
5、因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为的贡献为1 1。如果。如果 非常非常靠近靠近1 1, 非常小,则因子分析的效果好,从原变量空间到公共因非常小,则因子分析的效果好,从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。子空间的转化性质好。iXmjija122imjija12。mjijiah122iX( ( 注意注意 为标准化变量为标准化变量) ) 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义jF因子载荷矩阵中各列元素的平方和因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为第称为第j个公共因子个公共因子 对对 X 的所有分量的所有分量 的的方差贡献和,它衡量了第方差贡献和,它衡量了第j
6、个公共因子个公共因子 在全体公共因子中的在全体公共因子中的相对重要性。相对重要性。piijjaS12jF), 1(piiXjF3 3 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量设随机向量 的均值为的均值为,协方差为,协方差为, 为为 的特征根,的特征根, 为对应的为对应的标准化特征向量,则标准化特征向量,则pxxx,21x021pp21u,u,u12p = UUAA +D(一)主成分分析法(一)主成分分析法 上式给出的上式给出的表达式是精确的,然而,它实际上是毫表达式是精确的,然而,它实际上是毫无价值的,因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子无价值的,因为我们的目的是寻求用少数几
7、个公共因子解释,故略去后面的解释,故略去后面的p-m项的贡献,有项的贡献,有21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu up2uuuuuuppp21122111100p212ppuuuuuu 12 mmm1122AA +Du uu uu uD1121122 mmp mpmm p2uuuuuDAADu22212(,)pdiagD其中221miiiijjsampijmmax2211)(uuuA), 1(pi(二)主因子法(二)主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正,假定我们首先主因子方法是对主成分方法的修正,假定我们首先对变量进行标准化变换。设对变量进行标准化变换。设 R=AA
8、+D R*=AA=R-D称称R*为约相关矩阵。为约相关矩阵。 R*对角线上的元素是对角线上的元素是 ,而不,而不是是1。2ih2112122122212ppppphrrrhrRrrhR-D直接求直接求R*的前的前p个特征根和对应的正交特征向量。得如下个特征根和对应的正交特征向量。得如下的矩阵:的矩阵:*1122ppAuuu*10pR特征根:*12,pu uu正交特征向量:21222pRR 当特殊因子当特殊因子 的方差不大且的方差不大且已知的,问题非常好解决。已知的,问题非常好解决。i*11*221122*ppppuuuuuu*1122mmAuuu2121100phhD 在实际的应用中,特殊因子
9、方差矩阵一般都是未知在实际的应用中,特殊因子方差矩阵一般都是未知的,可以通过一组样本来估计。的,可以通过一组样本来估计。估计的估计的方法有如下几方法有如下几种种: 首先,求首先,求 的初始估计值,构造出的初始估计值,构造出 2ih*R 1)取取 ,在这个情况下主因子解与主成分解等,在这个情况下主因子解与主成分解等价;价; 2 2)取)取 , 为为xi与其他所有的原始变量与其他所有的原始变量xj的复的复相关系数的平方,即相关系数的平方,即xi对其余的对其余的p-1-1个个xj的回归方程的的回归方程的判定系数,这是因为判定系数,这是因为xi 与公共因子的关系是通过其余与公共因子的关系是通过其余的的
10、p-1-1个个xj 的线性组合联系起来的;的线性组合联系起来的;12ih22iiRh 2iR 3 3)取)取 ,这意味着取,这意味着取xi与其余的与其余的xj的的简单相关系数的绝对值最大者;简单相关系数的绝对值最大者;)( |max2ijrhiji 4 4)取)取 ,其中要求该值为正数。,其中要求该值为正数。pjijijirph, 1211 5 5)取)取 ,其中,其中 是是 的对角元素。的对角元素。iiirh/112iir1R例例 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ,通货膨胀率,通货膨胀率 ,失,失业率业率 ,相关系数矩阵为,相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。试用主成
11、分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/25/15/215/15/15/11 特征根为特征根为: 55. 11 85. 02 6 . 03 6 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 06 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 0085. 0883. 055. 1475. 0A707. 0331. 0629. 0707. 0331. 0629. 00883. 0475. 0U548. 0305. 0783. 0548. 0305. 0783. 00814. 0569. 0 可取前两个因子可取前两个因子F1和和F2为公共因子,第一公因为公共因子,第一公
12、因子子F1物价就业因子,对物价就业因子,对X的贡献为的贡献为1.55。第二公因子。第二公因子F2为投资因子,对为投资因子,对X的贡献为的贡献为0.85。共同度分别为。共同度分别为1,0.706,0.706。211814. 0569. 0FFx3212548. 0305. 0783. 0FFFx3213548. 0305. 0783. 0FFFx 4 4 因子旋转(正交变换)因子旋转(正交变换) 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组,更重要的要知道每个公共因子以及对变量进行分组,更重要的要知道每个公共因子的意义,以便进行进一步的分
13、析,如果每个公共因子的意义,以便进行进一步的分析,如果每个公共因子的含义不清,则不便于进行实际背景的解释。由于因的含义不清,则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的,所以应该对因子载荷阵进行旋子载荷阵是不惟一的,所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化,使载荷矩阵每转。目的是使因子载荷阵的结构简化,使载荷矩阵每列或行的元素平方值向列或行的元素平方值向0 0和和1 1两极分化。有三种主要的两极分化。有三种主要的正交旋转法。四次方最大法、正交旋转法。四次方最大法、方差最大法方差最大法和等量最大和等量最大法。法。(一)为什么要旋转因子(一)为什么要旋转因子 百米跑成绩百
14、米跑成绩 跳远成绩跳远成绩 铅球成绩铅球成绩 跳高成绩跳高成绩 400米跑成绩米跑成绩 百米跨栏百米跨栏 铁饼成绩铁饼成绩 撑杆跳远成绩撑杆跳远成绩 标枪成绩标枪成绩 1500米跑成绩米跑成绩 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 102. 017. 002. 001. 039. 018. 008. 009. 007. 0124. 034. 018. 013. 017. 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073
15、. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051. 034. 0142. 035. 0159. 01变量共同度0.6910.217-0.58-0.2060.840.7890.184-0.1930.0920.70.7020.5350.047-0.1750.80.6740.1340.1390.3960.650.620.551-0.084-0.4190.870.6870.042-0.1610.3450.620.621-0.5210.109-0.2340.720.5380.0870.4110.440.660.434
16、-0.4390.372-0.2350.570.1470.5960.658-0.2790.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X 因子载荷矩阵可以看出,除第一因子在所有的变量在公共因子因子载荷矩阵可以看出,除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷,可以称为一般运动因子。其他的上有较大的正载荷,可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比,似乎是长跑耐力和短跑速容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比,似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子,得下表度的对比。于是考虑旋转因子,得下表 变量共同度0.844*0.1360.15
17、6-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0790.72-0.0360.1760.762*0.2170.66-0.0480.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.934*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X 通过旋转,因子有了较为明确的含义。通过旋转,因子有了较为明确
18、的含义。 百米跑,百米跑, 跳远和跳远和 400米跑,需要爆发力的项目在米跑,需要爆发力的项目在 有较大的有较大的载荷,载荷, 可以称为短跑速度因子;可以称为短跑速度因子; 铅球,铅球, 铁饼和铁饼和 标枪在标枪在 上有较大的载荷,可以上有较大的载荷,可以称为爆发性臂力因子;称为爆发性臂力因子; 百米跨栏,百米跨栏, 撑杆跳远,撑杆跳远, 跳远和为跳远和为 跳高在跳高在 上上有较大的载荷,有较大的载荷, 爆发腿力因子;爆发腿力因子; 长跑耐力因子。长跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X 方差最大法方差最大法 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发,使和
19、每个因方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发,使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时,对因子的解释最简单。因子上又较高的载荷时,对因子的解释最简单。方差最大的直方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后,使每个因子上的载荷尽量拉开观意义是希望通过因子旋转后,使每个因子上的载荷尽量拉开距离,一部分的载荷趋于距离,一部分的载荷趋于 1 1,另一部分趋于,另一部分趋于0 0。2122211211ppaaaaaaA221122212122121111FaFaXFaFaXFaFaXppp(二)旋转方法(二)
20、旋转方法cossinsincosT设旋转矩阵为:cossinsincosAATB则cossinsincoscossinsincos112112111211ppppaaaaaaaa*2*1*12*11ppaaaa1,2, ;1,2ijijiadip jh令211(pjijiddp这是列和)max)()(1212 mjpijijddV简化准则为:00V令,则可以解出0000cossinsincosT旋转矩阵为:max(8.4.2)123m即:V +V +V+V1000cossin0sincosT1000cossin0sincos T111 TT变换后因子的共同度变换后因子的共同度设设 正交矩阵,做
21、正交变换正交矩阵,做正交变换 AB )()(1mlljilppijabBmjmjmlljilijiabh111222)()(B mjmlmjmlmljttjljitilljilaaa1 11 1 122)(2111222Aimlmjmlilljilhaa变换后因子的共同度没有发生变化!变换后因子的共同度没有发生变化!(三)旋转结果(三)旋转结果变换后因子贡献变换后因子贡献设设 正交矩阵,做正交变换正交矩阵,做正交变换 AB )()(1qlljilppijabBpipiqlljilijjabS111222)()(B piqlpiqlqltttjljitilljilaaa1111 122piqlq
22、lljjljilSa1112222)(A变换后因子的贡献发生了变化!变换后因子的贡献发生了变化! 5 5 因子得分因子得分 (一)因子得分的概念(一)因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究,比如把得到的因子作为自变量来做回归分其他的研究,比如把得到的因子作为自变量来做回归分析,对模型进行诊断析,对模型进行诊断, ,进一步分析原始数据进一步分析原始数据( (如如对样本进对样本进行分类或评价行分类或评价),这就需要我们对公共因子
23、进行测度,即这就需要我们对公共因子进行测度,即给出公共因子的值。给出公共因子的值。 例例1 1 人均要素变量因子分析人均要素变量因子分析。对我国32个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标:X1 :人口(万人) X2 :面积(万平方公里)X3 :GDP(亿元) X4 :人均水资源(立方米/人)X5:人均生物量(吨/人) X6:万人拥有的大学生数(人)X7:万人拥有科学家、工程师数(人) Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0
24、.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246 高载荷指标 因子命名 因子1X2;面积(万平方公里)X4:人均水资源(立方米/人)X5:人均生物量(吨/人)自然资源因子 因子2X6:万人拥有的大学生数(人)X7:万人拥有的科学家、工程师数(人) 人力资源因子 因子3 X1;人口(万人)X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 X1=-0.21522
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