MATLAB矩阵及其运算.ppt

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1、2.1 变量和数据操作变量和数据操作2.1.1 变量与赋值变量与赋值1变量命名变量命名 在在MATLAB 7 中，变量名是以字母开头，中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最后接字母、数字或下划线的字符序列，最多多63个字符。在个字符。在MATLAB中，变量名区分中，变量名区分字母的大小写。字母的大小写。 Abc=5 Abc=5 % %合法变量名合法变量名a_9=4; a_9=4; % %合法变量名合法变量名3an=4;3an=4; % %非法变量名非法变量名 MATLABMATLAB提供的标准函数名以及命令名必须提供的标准函数名以及命令名必须用小写字母。用小写字母。 He

2、lp plot %Help plot %非法非法 help plot % help plot %合法合法2赋值语句赋值语句(1) 变量变量=表达式表达式 (2) 表达式表达式 其中表达式是用运算符将有关运算量连其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。接起来的式子，其结果是一个矩阵。例例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。计算表达式的值，并显示计算结果。在在MATLAB命令窗口输入命令：命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中其中pi和和i都是都是MATLAB预先定

3、义的变量，预先定义的变量，分别代表代表圆周率分别代表代表圆周率和虚数单位。和虚数单位。输出结果是：输出结果是：z = -0.3488 + 0.3286i 2.1.2 预定义变量预定义变量l 在在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率表示圆周率的近似值，用的近似值，用i，j表示虚数单位。表示虚数单位。l 预定义变量有特定的含义，在使用时，应预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。尽量避免对这些变量重新赋值。ans ans 输出最近一次结果的缺省变量名输出最近一次结果的缺省变量名pi

4、 pi 圆周率圆周率eps eps 最小的机器数最小的机器数inf inf 无穷大，如无穷大，如1/01/0NaN NaN 非数，如非数，如0/00/0、inf-infinf-infi i或或j j 虚单位虚单位realminrealmin 最小可用正实数最小可用正实数realmax realmax 最大可用正实数最大可用正实数MATLABMATLAB中的一些特殊变量中的一些特殊变量2.1.3 内存变量的管理内存变量的管理1内存变量的删除与修改内存变量的删除与修改 MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的理。在工作空

5、间窗口中可以显示所有内存变量的属性。属性。 当选中某些变量后，再单击当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。按钮，将进入变量编辑器。 通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。素，也可修改变量中的具体元素。clear命令用于删除命令用于删除MATLAB工作空间中的变工作空间中的变量。量。who和和whos这两个命令用于显示在这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。工作空间中已经驻留

6、的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称命令只显示出驻留变量的名称;whos在给出变量名的同时，还给出它们的大在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。小、所占字节数及数据类型等信息。2内存变量文件内存变量文件 利用利用MAT文件可以把当前文件可以把当前MATLAB工作工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是扩展名是.mat。 MAT文件的生成和装入由文件的生成和装入由save和和load命命令来完成。常用格式为：令来完成。常用格式为：save 文件名文件名 变量名表变量名表 -append -asciiload 文件名

7、文件名 变量名表变量名表 -asciil文件名可以带路径，但不需带扩展名文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对命令隐含一定对.mat文件进行操作。文件进行操作。l 变量名表中的变量个数不限，只要内存或变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。l -ascii选项使文件以选项使文件以ASCII格式处理，省略格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。该选项时文件将以二进制格式处理。l save命令中的命令中的-append选项控制将

8、变量追加选项控制将变量追加到到MAT文件中。文件中。 clear all; % 清除工作空间中的变量清除工作空间中的变量 x = 1:10; save testfile.mat x -ascii % 将将x以以ASCII格式格式存至名为存至名为testfile.mat的档案的档案 load testfile.mat -ascii % 载入载入testfile.mat who % 列出工作空间中的变量列出工作空间中的变量 Your variables are: testfile x Abc=15, ab=25 save a1.mat Abc ab save a2.mat Abc ab -asci

9、i B1=load(a1.mat) B2=load(a2.mat,-ascii)2.1.4 MATLAB常用数学函数常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数，函数的自提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数函数逐项作用于矩阵的元素上逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵果是一个与自变量同维数的矩阵。函数使用说明：函数使用说明：(1) 三角函数以弧度为单位计算。三角函数以弧度为单位计算。(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的字符串的ASCII码值。码

10、值。2.1.4 MATLAB常用数学函数常用数学函数 (3) 用于取整的函数有用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。要注意它们的区别。(4) rem与与mod函数的区别。函数的区别。rem(x,y)和和mod(x,y)要求要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。必须为相同大小的实矩阵或为标量。Rem采用的是采用的是fix函数，函数，Mod采用的是采用的是floor函数函数2.1.5 数据的输出格式数据的输出格式 MATLAB用十进制数表示一个常数，具体用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种方法。可采用日常记数法和科学记数法两种方法。

11、 在一般情况下，在一般情况下，MATLAB内部每一个数据内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用输出时用户可以用format命令设置或改变数命令设置或改变数据输出格式。据输出格式。format命令的格式为：命令的格式为： format 格式符格式符其中格式符决定数据的输出格式其中格式符决定数据的输出格式 注意，注意，format命令只影响数据输出格式，命令只影响数据输出格式，而不影响数据的计算和存储。而不影响数据的计算和存储。format short 默认值，默认值，5位定点表示位定点表示format long 15位定点表示位

12、定点表示format short e 5位浮点表示位浮点表示format long e 15位浮点表示位浮点表示2.2 MATLAB矩阵矩阵2.2.1 矩阵的建立矩阵的建立1直接输入法直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。输入矩阵的元素。 具体方法如下：将矩阵的元素用方括号具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。同行的元素之间用分号分隔。2利用利用M文件建立矩阵文件建立矩阵

13、对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个它专门建立一个M文件。下面通过一个简文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。文件创建矩阵。 例例2-2 利用利用M文件建立文件建立MYMAT矩阵。矩阵。(1) 启动有关编辑程序或启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑文本编辑器，并输入待建矩阵：器，并输入待建矩阵： (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘把输入的内容以纯文本方式存盘(设文设文件名为件名为mymatrix.m)。 (3) 在在MATLAB命令窗口中输入命令窗口中输入mymatrix，即运行该即运行该M文件，就会自动建

14、立一个名为文件，就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。的矩阵，可供以后使用。3利用冒号表达式建立一个向量利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中其中e1为初始值，为初始值，e2为步长，为步长，e3为终止值。为终止值。 在在MATLAB中，还可以用中，还可以用linspace函数产生行函数产生行向量。其调用格式为：向量。其调用格式为： linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量的第一个和最后一个元素，是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。是元素总数。显然，显然，li

15、nspace(a,b,n)与与a:(b-a)/(n-1):b等价。等价。 4建立大矩阵建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。 例如：例如： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; C=A,eye(size(A); ones(size(A),A 2.2.2 矩阵的拆分矩阵的拆分1矩阵元素矩阵元素通过下标引用矩阵的元素，例如通过下标引用矩阵的元素，例如 A(3,2)=200采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。 在在M

16、ATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如列，依次类推。例如 A=1,2,3;4,5,6; A(3) ans = 2A=1 2 3; 4 5 6SIZ=size(A)sub2ind(SIZ,1,2)ind2sub函数与函数与sub2ind正好相反！正好相反！i,j=ind2sub(SIZ,3)显然，序号显然，序号(Index)与下标与下标(Subscript )是一一对应是一一对应的，以的，以mn矩阵矩阵A为例，矩阵元素为例，矩阵元素A(i,j)的序号为的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用。其相互转换关系也可利用sub

17、2ind和和ind2sub函数求得。函数求得。2矩阵拆分矩阵拆分 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取表示取A矩阵的第矩阵的第j列全部元素；列全部元素；A(i,:)表示表示A矩阵第矩阵第i行的全部元素；行的全部元素；A(i,j)表示取表示取A矩阵矩阵第第i行、第行、第j列的元素。列的元素。 A(i:i+m,:)表示取表示取A矩阵第矩阵第ii+m行的全部元行的全部元素；素；A(:,k:k+m)表示取表示取A矩阵第矩阵第kk+m列的全部列的全部元素，元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取表示取A矩阵第矩阵第ii+m行内，行内，并在第并在第kk+m列中的所有

18、元素。列中的所有元素。 (2) 利用空矩阵删除矩阵的元素利用空矩阵删除矩阵的元素 在在MATLAB中，定义中，定义为空矩阵。给变为空矩阵。给变量量X赋空矩阵的语句为赋空矩阵的语句为X=。注意，。注意，X=与与clear X不同，不同，clear是将是将X从工作空间中删除，从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为为0。2.2.3 特殊矩阵特殊矩阵1通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵)。ones：产生全：产生全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵)。e

19、ye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态的标准正态分布随机矩阵。分布随机矩阵。例例2-3 分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大小的同样大小的零矩阵。零矩阵。(1) 建立一个建立一个33零矩阵。零矩阵。zeros(3) (2) 建立一个建立一个32零矩阵。零矩阵。zeros(3,2) (3) 设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建立建立一个与矩阵一个与矩阵A同样大小零矩阵。同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6; %产生

20、一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样大小的同样大小的零矩阵零矩阵例例2-4 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1) 在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2) 均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阵。阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排

21、成重新排成mn的二维矩阵。的二维矩阵。 A=2 5 6 -1; 3 -2 10 0 B=reshape(A,4,2); % 将将A矩阵改成矩阵改成 4x2 的矩阵的矩阵 C=reshape(A,1,8); % 将将A矩阵改成矩阵改成 8x1 的矩阵的矩阵 B, C B = 2 6 3 10 5 -1 -2 0C = Columns 1 through 6 2 3 5 -2 6 10 Columns 7 through 8 -1 02用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素

22、和都相等。每列及两条对角线上的元素和都相等。 对于对于n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共共n2个整数组成。个整数组成。 MATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个，其功能是生成一个n阶魔方阵。阶魔方阵。例例2-5 将将101125等等25个数填入一个个数填入一个5行行5列的列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩阵范得蒙矩阵 范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列

23、是倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。其后列与倒数第二列的点乘积。 可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。 在在MATLAB中，函数中，函数vander(V)生成以向生成以向量量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，为基础向量的范得蒙矩阵。例如， A=vander(1;2;3;5) 即可得到上述范得蒙矩阵。即可得到上述范得蒙矩阵。(3) 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵 在在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函中，生成希尔伯特矩阵的函数是数是hilb(n)。 使用一般方法求逆会因为原始数据的微使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不

24、可靠的计算结果。小扰动而产生不可靠的计算结果。 MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n阶的阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。希尔伯特矩阵的逆矩阵。例例2-6 求求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：命令如下：format rat %以有理形式输出以有理形式输出H=hilb(4)K=invhilb(4) (4) 托普利兹矩阵托普利兹矩阵 托普利兹托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。其他每个元素都与左上角的元素相同

25、。 生成托普利兹矩阵的函数是生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以它生成一个以x为第一列，为第一列，y为第一行的托普为第一行的托普利兹矩阵。这里利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。均为向量，两者不必等长。 toeplitz(x)用向量用向量x生成一个对称的托普利生成一个对称的托普利兹矩阵。兹矩阵。例如例如 T=toeplitz(1:6) (5) 伴随矩阵伴随矩阵 MATLAB生成伴随矩阵的函数是生成伴随矩阵的函数是compan(p)。 其中其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。数排在前，低次幂排在后。

26、例如，为了求多项式的例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，的伴随矩阵，可使用命令：可使用命令： p=1,0,-7,6; compan(p) (6) 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵 我们知道，二次项我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。形。 由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。矩阵。 函数函数pascal(n)生成一个生成一个n阶帕斯卡矩阵。阶帕斯卡矩阵。例例2-7 求求(x+y)5的展开式。的展开式。在在MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输

27、入命令： pascal(6)矩阵次对角线上的元素矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展即为展开式的系数。开式的系数。 2.3 MATLAB运算运算 2.3.1算术运算算术运算1基本算术运算基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：的基本算术运算有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。个数据的算术运算只是一种特例。 (1) 矩阵加减运算矩阵加减运算 假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，则可以由，则可以由A+B和和A-B实现矩阵的加减运算。实

28、现矩阵的加减运算。 运算规则是：运算规则是： 若若A和和B矩阵的维数相同，则可以执行矩矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，阵的加减运算，A和和B矩阵的相应元素相加矩阵的相应元素相加减。减。 如果如果A与与B的维数不相同，则的维数不相同，则MATLAB将将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。不匹配。 (2) 矩阵乘法矩阵乘法 假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B， 若若A为为mn矩阵，矩阵， B为为np矩阵，矩阵， 则则C=A*B为为mp矩阵。矩阵。 (3) 矩阵除法矩阵除法 在在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：中，有两种矩阵除法运算：和和/

29、，分别表示左除和右除。分别表示左除和右除。 如果如果A矩阵是非奇异方阵，则矩阵是非奇异方阵，则AB和和B/A运算运算可以实现。可以实现。AB等效于等效于A的逆左乘的逆左乘B矩阵，也就是矩阵，也就是inv(A)*B，而而B/A等效于等效于A矩阵的逆右乘矩阵的逆右乘B矩阵，也就是矩阵，也就是B*inv(A)。 (3) 矩阵除法矩阵除法 对于含有标量的运算，两种除法运算的对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同：结果相同： 如如3/4和和43有相同的值，都等于有相同的值，都等于0.75。 又如，设又如，设a=10.5,25，则，则a/5=5a=2.1000 5.0000。 对于矩阵来说，左除和右除

30、表示两种不同对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般阵运算，一般ABB/A。 (4) 矩阵的乘方矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要，要求求A为方阵，为方阵，x为标量。为标量。2点运算点运算 在在MATLAB中，有一种特殊的运算，因中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。所以叫点运算。 点运算符有点运算符有.*、./、.和和.。 两矩阵进行点运算是指它们的对应元素两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相

31、关运算，要求两矩阵的维参数相同。进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。2.3.2 关系运算关系运算 MATLAB提供了提供了6种关系运算符：种关系运算符：(小小于于)、(大于大于)、=(大于或大于或等于等于)、=(等于等于)、=(不等于不等于)。 它们的含义不难理解，但要注意其书写它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。方法与数学中的不等式符号不尽相同。 关系运算符的运算法则为：关系运算符的运算法则为： (1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。小。 若关系成立，关系表达式结果为若关系成立，关系表达式结果为1，否则为，否

32、则为0。 (2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。规则逐个进行，并给出元素比较结果。 最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。 (3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素标量关系运算规则逐个比较，

33、并给出元素比较结果。比较结果。 最终的关系运算的结果是一个维数与原最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。 例例2-8 产生产生5阶随机方阵阶随机方阵A，其元素为，其元素为10,90区间区间的随机整数，然后判断的随机整数，然后判断A的元素是否能被的元素是否能被3整除。整除。 (1) 生成生成5阶随机方阵阶随机方阵A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10) (2) 判断判断A的元素是否可以被的元素是否可以被3整除。整除。 P=rem(A,3)=0 其中，其中，rem(A,3)是矩阵是矩阵A的每个元素除以的每个元素除以

34、3的余的余数矩阵。此时，数矩阵。此时，0被扩展为与被扩展为与A同维数的零矩阵，同维数的零矩阵，P是进行等于是进行等于(=)比较的结果矩阵。比较的结果矩阵。2.3.3 逻辑运算逻辑运算 MATLAB提供了提供了3种逻辑运算符：种逻辑运算符：&(与与)、|(或或)和和(非非)。 逻辑运算的运算法则为：逻辑运算的运算法则为： (1) 在逻辑运算中，确认非零元素为真，用在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表表示，零元素为假，用示，零元素为假，用0表示。表示。 (2) 设参与逻辑运算的是两个标量设参与逻辑运算的是两个标量a和和b，那么，那么， a&b a,b全为非零时，运算结果为全为非零时，运算结果为1

35、，否则为，否则为0。 a|b a,b中只要有一个非零，运算结果为中只要有一个非零，运算结果为1。 a 当当a是零时，运算结果为是零时，运算结果为1；当；当a非零时，运非零时，运算结果为算结果为0。 (3) 若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。 最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由元素由1或或0组成。组成。(4) 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中

36、的每个元素之间按标那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。量规则逐个进行。 最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由元素由1或或0组成。组成。 (5) 逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。规则。(6) 在算术、关系、逻辑运算中，算术运算在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。优先级最高，逻辑运算优先级最低。例例2-9 建立矩阵建立矩阵A，然后找出大于，然后找出大于4的元素的的元素的位置。位置。(1) 建立矩阵建立矩阵A。A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-4

37、5,0 (2) 找出大于找出大于4的元素的位置。的元素的位置。find(A4)2.4 矩阵分析矩阵分析2.4.1 对角阵与三角阵对角阵与三角阵1对角阵对角阵 只有对角线上有非只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角元素的矩阵称为对角矩阵矩阵; 对角线上的元素相等的对角矩阵称为数对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵量矩阵; 对角线上的元素都为对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单的对角矩阵称为单位矩阵。位矩阵。提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素 设设A为为mn矩阵，矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素

38、的个元素的列向量。列向量。 diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是，其功能是提取第提取第k条对角线的元素。条对角线的元素。 构造对角矩阵构造对角矩阵 设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产生一个将产生一个mm对角矩阵，主对角线元素即为向量对角矩阵，主对角线元素即为向量V的元素。的元素。 diag(V)函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能，其功能是产生一个是产生一个nn(n=m+)对角阵，其第对角阵，其第k条对角线条对角线的元素即为向量的元素即为向量V的元素。的元素。例例2-10 先建立先建立55矩阵矩阵A

39、，然后将，然后将A的第一的第一行元素乘以行元素乘以1，第二行乘以，第二行乘以2，第五行，第五行乘以乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用用D左乘左乘A，对，对A的每行乘的每行乘以一个指定常数以一个指定常数2三角阵三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵。阵。 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为元素全为0的一种矩阵。的一种矩阵。 而下三角阵则是对角线以上的元素全为而下三角阵则是

40、对角线以上的元素全为0的一种矩阵。的一种矩阵。(1) 上三角矩阵上三角矩阵 求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能，其功能是求矩阵是求矩阵A的第的第k条对角线以上的元素。条对角线以上的元素。例如，提例如，提取矩阵取矩阵A的第的第2条对角线以上的元素，形成新的矩条对角线以上的元素，形成新的矩阵阵B。(2) 下三角矩阵下三角矩阵 在在MATLAB中，提取矩阵中，提取矩阵A的下三角矩阵的函的下三角矩阵的函数是数是tril(A)和和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵，其用法与提

41、取上三角矩阵的函数的函数triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。2.4.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转1矩阵的转置矩阵的转置 转置运算符是单撇号转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转矩阵的旋转 利用函数利用函数rot90(A,k)将矩阵将矩阵A旋转旋转90的的k倍，当倍，当k为为1时可省略。时可省略。 A=2 1 0; -2 5 -1; 3 4 6 B=rot90(A) % 将将A矩阵逆时针转矩阵逆时针转90度度 B = 0 -1 6 1 5 4 2 -2 33矩阵的左右翻转矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换

42、，第二列和倒数第二列调和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，换，依次类推。，依次类推。MATLAB对矩阵对矩阵A实实施左右翻转的函数是施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud(A)。 A=1 2; 4 8; -2 0 B=fliplr(A); % 将将A矩阵从左向右翻矩阵从左向右翻 C=flipud(A); % 将将A矩阵从上向下翻矩阵从上向下翻 B, C B = 2 1 8 4 0 -2 C = -2 0 4 8 1 22.4.3 矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆1矩阵的逆矩阵的逆 对于一

43、个方阵对于一个方阵A，如存在一个与其同阶的方阵，如存在一个与其同阶的方阵B，使得：，使得：AB=BA=I (I为单位矩阵为单位矩阵) 则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆的逆矩阵可调用函数矩阵可调用函数inv(A)。 例例2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。 Ax=b 其解为：其解为： x=A-1b2矩阵的伪逆矩阵的伪逆 如果矩阵如

44、果矩阵A不是一个方阵，或者不是一个方阵，或者A是一个非满秩是一个非满秩的方阵时，矩阵的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵的转置矩阵A同型的矩阵同型的矩阵B，使得：，使得： ABA=A BAB=B 此时称矩阵此时称矩阵B为矩阵为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩的伪逆，也称为广义逆矩阵。阵。 在在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。2.4.4 方阵的行列式方阵的行列式把一个方阵看作一个行列式，并对其按行把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应

45、的行列式的值。在应的行列式的值。在MATLAB中，求方阵中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是所对应的行列式的值的函数是det(A)。2.4.5 矩阵的秩与迹矩阵的秩与迹1矩阵的秩矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是中，求矩阵秩的函数是rank(A)。2矩阵的迹矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。也等于矩阵的特征值之和。 在在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。2.4.6 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数矩

46、阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。其定义不同，范数值也就不同。1向量的向量的3种常用范数及其计算函数种常用范数及其计算函数在在MATLAB中，求向量范数的函数为：中，求向量范数的函数为：(1) norm(V)或或norm(V,2)：计算向量：计算向量V的的2范数。范数。(2) norm(V,1)：计算向量：计算向量V的的1范数。范数。(3) norm(V,inf)：计算向量：计算向量V的的范数。范数。2矩阵的范数及其计算函数矩阵的范数及其计算函数MATLA

47、B提供了求提供了求3种矩阵范数的函数，其种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。相同。2.4.7 矩阵的条件数矩阵的条件数在在MATLAB中，计算矩阵中，计算矩阵A的的3种条件数的种条件数的函数是：函数是：(1) cond(A,1) 计算计算A的的1范数下的条件数。范数下的条件数。(2) cond(A)或或cond(A,2) 计算计算A的的2范数范数数下的条件数。数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算计算A的的 范数下的条件范数下的条件数。数。2.4.8 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量在在MATLAB中，计算矩

48、阵中，计算矩阵A的和特征向量的和特征向量的函数是的函数是eig(A)，常用的调用格式有，常用的调用格式有3种：种：(1) E=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构的全部特征值，构成向量成向量E。(2) V,D=eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，的全部特征值，构成对角阵构成对角阵D，并求，并求A的特征向量构成的特征向量构成V的的列向量。列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance)：与第：与第2种格式类种格式类似，但第似，但第2种格式中先对种格式中先对A作相似变换后求作相似变换后求矩阵矩阵A的特征值和特征向量，而格式的特征值和特征向量，而格式3直接直接求矩阵求矩阵A

49、的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。例例2-12 用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); % p的伴随矩阵的伴随矩阵x1=eig(A) %求求A的特征值的特征值x2=roots(p) %直接求多项式直接求多项式p的零的零点点2.5 矩阵的超越函数矩阵的超越函数 超越函数指的是超越函数指的是变量变量之间的关系不能用有限次加之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如：对数函数对数函数，反三角函数反三角函数，指数函数指数函数。

50、 在在Matlab中解释中解释exp(A)和和sqrt(A)时曾涉及到级数时曾涉及到级数运算，此运算定义在运算，此运算定义在A的单个元素上。的单个元素上。 Matlab可可计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等。 一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成加在函数名的后边而成expm(A)和和sqrtm(A)。1矩阵平方根矩阵平方根sqrtmsqrtm(A)计算矩阵计算矩阵A的平方根。的平方根。2矩阵对数矩阵对数logmlogm(A)计算矩阵计算矩阵A的自然对数。此函数输的自然对数