最新向量及其线性运算25519幻灯片.ppt

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1、7/6/20222主 要 内 容第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程 第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 7/6/20229aa 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 3. 向量

2、与数的乘法7/6/202210设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而定理1 7/6/202211“ ”则,0 时当例例1 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(

3、21abMD7/6/202212xyz三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念（Rectangular coordinates system in Space）7/6/202213xyzo向径 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yx

4、A), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rrM在直角坐标系下，7/6/202214坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo7/6/202215在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC2.

5、 向量的坐标表示7/6/202216四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab0zyxaaaabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数7/6/202217求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(例27/6/202218在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为, ),(zyx如图所示ABMo11MAB, ),(1

6、11zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(例3 已知两点7/6/202219得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:说明: 由7/6/202220五、向量的模（Module）、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zy

7、xr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA7/6/202221)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M12M M由 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 62313M MM M可得即321MMM为等腰三角形 .的三角形是

8、等腰三角形 . 为顶点例4 求证以7/6/202222)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 例5 在 z 轴上求与两点7/6/202223(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6 已知两点)5,0

9、,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA提示:7/6/202224oyzx设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba2. 方向角与方向余弦(Direction Angle and Cosine)7/6/202225oyzxrcosrx222zyxxcosry222zy

10、xycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos7/6/202226)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM例7 已知两点7/6/202227解解: 已知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,

11、3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO例8 设点 A 位于第一卦限,7/6/2022283. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影(Projection) MM .uOe 空间一点在轴上的投影:ru设 ，则数 称为向量 在 轴上的投影，记作 或 . OMe rrjuPrur)(则),(zyxaaaa 设,jPraaxx,jPraazz,jPraayy或记作,)(xxaa ,)(yyaa .)(zzaa 过点 作轴 的垂直平面，交点 即为点 在轴 上的投影.MMuMu7/6/202229性质性质1 cos)(aau cos|Praaju （ 即即 ）, 其中其中 为向量为向量

12、 与与 轴的夹角轴的夹角; au性质性质2uuubaba)()()( bjajbajuuuPrPr)(Pr （即（即 ）;性质性质3uuaa)()( ajajuuPr)(Pr （即（即 ）. MM .uOe r7/6/202230OAOM例例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 , 求OA在OM方向上的投影Prj 。 aOA 解解 记 , MOA有,31cos OMOA 于是Prj OAOM.3cosaOA OAM 作业：习题习题8-1： 3；7；167/6/202231内容小结1. 向量的概念及其线性运算向量的概念及其线性运算2. 空间直角坐标系空间直角坐标系3. 利用坐标变量作

13、向量的线性运算利用坐标变量作向量的线性运算4. 向量的模、方向角、投影向量的模、方向角、投影7/6/202232思考与练习解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k7/6/202233设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为解：解：为边的平mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1(nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, jim2.