最新反常积分(1)PPT课件.ppt

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1、反常积分反常积分(1)则则 dLxfdA)(2 ， .)(1)(2 2dxxfxfAba 故故 圆圆台台的的侧侧面面积积=) (下下底底半半径径上上底底半半径径母母线线长长 。在在极极限限 状状态态，母母线线长长是是弧弧微微元元dL；)(2 xf 下下底底半半径径上上底底半半径径。 在在曲曲线线上上点点)(,(xfxP处处的的弧弧长长微微元元 是是 dxxfdL)(12 ， .)(1)(2 2dxxfxfAba 一一般般地地aoyxb)(xfy xdxx 功功的的微微元元为为dxSxdW ， 把把这这薄薄层层水水吸吸出出池池外外时时， 需需要要提提升升的的距距离离x 近近似似地地为为， ,)3

2、210( 2xdxxdW 即即.1875)3210(1502 xdxxW).(5 .576978910001875kJ ) .8 . 91000(3米米牛牛顿顿 xdxx xyo151010 AB第第一一次次打打击击所所作作的的功功2 1 0 1kkxdxW ， 第第二二次次打打击击所所作作的的功功)1(2 2 1 2 hkkxdxWh， 解解：设设铁铁钉钉击击入入深深度度x 为为时时，木木板板对对铁铁钉钉的的阻阻力力F 为为， 则则kxF （为为 k常常数数） 。 由由21WW ，得，得 2)1(22khk ，2 h。 2 h是是两两次次打打击击一一共共击击入入的的深深度度， 因因此此第第二

3、二次次击击入入的的深深度度为为（12 ）厘厘米米。 例例 3 3用用铁铁锤锤将将一一铁铁钉钉击击入入木木板板，设设木木板板对对铁铁钉钉的的阻阻力力 与与铁铁钉钉击击入入木木板板的的深深度度成成正正比比，在在击击第第一一次次时时，将将铁铁钉钉 击击入入木木板板 1 1 厘厘米米。如如果果铁铁锤锤每每次次打打击击铁铁钉钉所所作作的的功功相相等等， 问问铁铁锤锤击击第第二二次次时时，铁铁钉钉又又击击入入多多少少厘厘米米？ 积分区间为积分区间为6 , 0， 取取积积分分x 变变量量为为， AB 直直线线的的方方程程为为63xy ， xdxx 解解：如如图图建建立立坐坐标标系系， )2 , 6(B)3

4、, 0(Axoy6与与它它相相应应的的小小薄薄片片的的面面积积近近似似于于宽宽dx 为为， 在在6 , 0上上任任取取一一小小区区间间,dxxx ， 长长为为36)63(22xxy 的的小小矩矩形形面面积积。 例例 4 4. .设设有有一一竖竖直直的的闸闸门门，形形状状是是等等腰腰梯梯形形，上上底底为为 6 6 米米，下下底底为为 4 4 米米，高高为为 6 6 米米，当当水水面面齐齐闸闸门门顶顶时时， 求求闸闸门门所所受受的的水水压压力力。 三三、液液体体的的压压力力 dxxdA)63(2 ，xh ， dxxgxdAghdP)63(2 .)326(dxxxg 6093236 0 )326(x

5、xgdxxxgP ).(51023. 83108 . 984)10824(Ng xdxx )2 , 6(B)3 , 0(Axoy6方方程程为为222)(RyRx 。 dxx x解解：如如图图建建立立坐坐标标系系，则则底底面面圆圆周周的的 例例 5 5一一个个横横放放着着的的圆圆柱柱形形的的桶桶，桶桶里里装装满满了了水水，设设桶桶的的 底底半半径径R为为，计计算算桶桶的的底底面面所所受受的的压压力力。 取取积积分分x 变变量量为为，积积分分区区间间为为2 , 0R， OR2yx.)(222dxRxRx RdxRxRxP2022)( 2 RRdttRtR22)(2 RRdttRR222.41443

6、2022RRRdttRRR dxyxdP 2tRx 令令的的方方程程为为222Ryx 。 另另解解：如如图图建建立立坐坐标标系系，则则底底面面圆圆周周 RRdxxRRxP 222)( RRdxxRR222.414433022RRRdxxRRR dxx xR Royx3 34 46 6 函函数数的的平平均均值值 nyyyn, 21个个数数的的算算术术平平均均值值为为.11 niiyny 将将等等分分 ,nba。当当很很大大时时 n，小小区区间间 ,1ii xx 的的长长 度度 nabxi ) , 2, 1, (ni 很很小小，由由于于,)(baCxf ， 故故在在小小区区间间 ,1ii xx 上

7、上函函数数值值变变化化很很小小，可可把把 )(在在xf 该该区区间间上上的的取取值值看看作作常常数数)(ixf，于于是是 , )(baxf在在上上 的的平平均均值值的的近近似似值值为为 一、函数的平均值一、函数的平均值iniinxxfabxfxfxfny 121)(1)()()(1iniinxxfaby 1)(1lim即即 badxxfaby)(1。 badxxfab)(1愈愈大大时时当当 n，近近似似值值的的精精确确度度愈愈高高，所所以以 在数学上称在数学上称 badxxfab)(12为函数为函数 , )(baxf在在 上的均方根。上的均方根。 3.53.5 反常积分反常积分 若若 badx

8、xf)(满满足足条条件件： （1 1） ,ba是是有有限限闭闭区区间间， （2 2） , )(baxf是是上上的的有有界界函函数数， 则则称称此此积积分分为为常常义义积积分分。 ,11111 1 2bxdxxSbbb . 1)11(lim1lim 1 2 bdxxSbbb而而例例 1 1求求曲曲线线21xy ， 1 xx 轴轴及及直直线线的的右右边边所所围围成成的的 “开开口口曲曲边边梯梯形形”S 的的面面积积。 解解：1 b，则则在在上上 , 1b曲曲线线 21xy 下下的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为： oxy21xy 1bbSdxxdxxbb 12 1 21lim1此极限值就是“开口

9、曲边梯形”的面积。此极限值就是“开口曲边梯形”的面积。同时将此同时将此 极限理解为函数极限理解为函数21xy 在在11，+ + ）上的定积分，记作）上的定积分，记作 dxxfdxxfdxxfcc )()()( 注注 意意：（1 1）只只有有当当式式右右端端两两个个积积分分都都收收敛敛时时，广广义义积积分分 dxxf )(才才收收敛敛，否否则则就就发发散散。 （2 2）由由积积分分区区间间的的可可加加性性，式式等等号号右右端端的的分分点点可可以以 为为任任一一实实数数c c，特特殊殊地地0 c取取。 不能说不能说 这是因为这是因为 不存在。不存在。 0sin xdx解：dxxdxxdxx 0 2

10、0 2 2111111 dxxdxxbbaa 0 20 211lim11limbbaaxx0arctanlimarctanlim00arctanarctanlimarctan0arctanlimbaba.2)2(0.)2(2arctan11: 2 xdxx简简解解 arctanx应应理理解解成成xxxxarctanlimarctanlim 。 .1 ,1 ,1111 pppapxxdxppapa当当1 p时时， axxdxxdxaapln ， 故故 apxdx当当1 p时收敛；当时收敛；当1 p时发散。时发散。 )(积分积分 P解解：当当1 p时时， 解解法法 1 1：dxxxxdxx 0 2

11、2220 22)1(1)(11 dxxxx)(1112220 2 1112120220dxxxx .42212 )11( 2111200 2xdxdxx 解解法法 2 2：tx tan ，tdtdx2sec ， dxx 0 2)2(112 0 42secsec dttt通过换元把通过换元把反常反常积分化为常义积分。积分化为常义积分。反常反常积分和常义积分计算方法相同，积分和常义积分计算方法相同，反常反常积分积分代限有三句话代限有三句话：“能代则代之，代不了则取极限，能代则代之，代不了则取极限，极限不存在则积分发散极限不存在则积分发散。”.4cos2 0 2 tdtdxxdxx 1 0 201

12、0 211lim11 解解： 2111limxx， 0)1arcsin(limarcsinlim0100 x.21arcsin 它它的的几几何何解解释释是是：由由曲曲线线211xy ，轴轴及及轴轴 , yx 直线直线所所 1 x围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。 xyo211xy 1 1)1 , 0(1 解解： 201limxx，0 x是是瑕瑕点点。 dxx 0 1 21dxx 0 1 201lim ,)11(lim)1(lim001 x错错解解: . 21111 1 21 xdxx,ln)ln(limlnlim00 abaxba当当1q时时， baqba

13、qaxdxaxdx 0 )(lim)( bqaaxq 10)(11lim 1 ,1)(1 , 1qqabqq解解：时时当当 1 q， babaqaxdxaxdx 0 lim)( )( 积积分分 q.)(是瑕点是瑕点ax ,2)12arcsin(lim111210 x 解：解： 211limxxx， 1 x是瑕点。是瑕点。 12111220)21()21()21(lim xxd 232202322121)21()21(limxdxxxdx2320212 21lnlim xxx).32ln( ). 32 ln(22312122322121 xxdxxxdxxxdx 思考题思考题积分积分 的瑕点是哪

14、几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x作作 业业 1 1（1 1）（）（2 2）（）（7 7）（）（8 8）；）；2 2。习习 题题 十十 （ P P205205 ） 习习 题题 九九（P198P198）13 ；15 ; 16; 17; 21; 2316; 17; 21; 23。作作业业习习 题题 （ P P205205 ）1 1（偶序号）；（偶序号）；2 2（偶序号）；（偶序号）；3 3；4 4；5 5；6 6；9 9；1010；1111；1212；1313；1414；1515；2020；2222；2323；2424；2525；2828；3535。总总40 结束语结束语