最新同济大学高等数学课件D38方程近似解PPT课件.ppt

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间,0)()(, ,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfxoy)(xfy xoy.)(, )(的草图估计隔根区间由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy牛顿法的变形牛顿法的变形:(1) 简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用则得简化牛

2、顿迭代公式. 线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n优点:，避免每次计算)(1nxf因而节省计算量.缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo0 x1x(2) 割线法割线法为避免求导运算 , )(1nxf用割线代替切线,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替从而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(双点割线法), 3,2(n特点特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.说明说明: 若将上式中,02xxn换为则为单点割线法, 逼近根的速度与简化牛顿法相当.机动 目录 上页 下

3、页 返回 结束 例例2. 用切线法求方程074223xxx的近似解, 使误差不超过 0.01 .解解:.742)(23xxxxf设yxo3 4由草图可见方程有唯一的正实根 ,且9)4(,10)3(ff.43为一隔根区间，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不够故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3m

4、xfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得满足精度要求的近似解63. 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三. 一般迭代法一般迭代法(补充), )(0)(xxxf 转化为等价方程将方程在隔根区,0 x间内任取一点按递推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成数列,limnnx若则 即为原方程的根 .称为迭代格式 ,)(称为迭代函数x称为迭代0 x,lim存在称迭代收敛若nnx初值 .否则称为发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 用迭代法求方程.2, 1 013内的实根在 xx解法解法1 将方程变形为, 13 xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10

5、x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903发散 !解法解法2 将方程变形为,13xx迭代格式为, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理. :,)(上满足在区间方程baxxbxaxx)()(1且，连续）1)()(2Lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明下述定理:内容小结内容小结1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法二分法 牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 . 作业作业(习题3-8)P180 1 ; 3习题课 目录 上页 下页 返回 结束