[工学]第11章压杆稳定问题.ppt

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1、第十一章第十一章 压杆稳定压杆稳定 11-1 11-1 概述概述 足够的强度足够的强度 足够的稳定足够的稳定性性 足够的刚度足够的刚度构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力构件抵抗变形的能力构件抵抗变形的能力构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力一、稳定失效实例一、稳定失效实例压杆稳压杆稳定失效定失效二、平衡的稳定性二、平衡的稳定性 非稳定的平衡非稳定的平衡稳定的平衡稳定的平衡三、压杆的稳定性问题三、压杆的稳定性问题 压杆平衡稳定压杆平衡稳定 当压力小于某值，当压力小于某值，压杆保持直线平衡，在压杆保持直线平衡，在任意小的扰动下，压杆任意小的扰动下，压杆偏离直线平衡位置。但偏离直线

2、平衡位置。但当扰动除去后，压杆回当扰动除去后，压杆回到原来直线平衡位置。到原来直线平衡位置。 压力小于一定的数压力小于一定的数值时，压杆的直线平衡值时，压杆的直线平衡是稳定的。是稳定的。压杆平衡非稳定压杆平衡非稳定 当压力达到一定数值，当压力达到一定数值，压杆仍具有直线平衡方式；压杆仍具有直线平衡方式；在外界扰动下，压杆偏离直在外界扰动下，压杆偏离直线平衡位置，但当扰动除去线平衡位置，但当扰动除去后，在某一弯曲状态下达到后，在某一弯曲状态下达到新的平衡新的平衡 压力达到一定的数值时，压力达到一定的数值时，压杆存在直线和弯曲两种平压杆存在直线和弯曲两种平衡形式，压杆的直线平衡是衡形式，压杆的直线

3、平衡是不稳定的。不稳定的。 当压力超过某一数当压力超过某一数值，压杆直线平衡形式值，压杆直线平衡形式突然转变为弯曲形式，突然转变为弯曲形式，致使构件丧失正常功能致使构件丧失正常功能压杆失稳压杆失稳FFcr FFcr FFcr Fcr为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。压杆失稳（屈曲）：压杆失稳（屈曲）：压杆不能保持其直线平衡形态压杆不能保持其直线平衡形态 而变弯的现象。而变弯的现象。一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷 弯矩方程弯矩方程 ( )( )M x

4、F v x 压杆挠曲线近似微分方程压杆挠曲线近似微分方程 22d( )( )dv xM xxEI 11-2 11-2 细长压杆的临界载荷细长压杆的临界载荷 细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，但其材料处于线弹性范围内。但其材料处于线弹性范围内。 线弹性稳定问线弹性稳定问题题思路：压杆在微弯时的最小压力思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。方程一般解方程一般解 ( )sincosv xAkxBkx 边界条件边界条件0 x (0)010vAB xl ( )sincos0v lAklBkl 0B sin0kl 解得：解得： （为什么（为

5、什么A 、B 不能同时等于不能同时等于0 ？）？）设设2FkEI 222d( )( )0dv xk v xx22d( )( )dv xF v xxEI sin0kl kln 222(1,2,.)nEIFnl 由于临界载荷是由于临界载荷是F 的最小值，所以取的最小值，所以取n = 12mincr2EIFl 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷 当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样时应取时应取I Iminmin的方向计算。的方向计算。 欧拉公式欧拉公式二、两端非铰支细长压杆的临界载荷二、两端非铰支细长压杆的临界载荷 杆端约束对压杆临界载荷

6、的影响表现为确定常杆端约束对压杆临界载荷的影响表现为确定常数时所用边界条件不一样。数时所用边界条件不一样。2cr2()EIFl l相当长度相当长度欧拉公式欧拉公式杆端约束条件杆端约束条件长度系数长度系数两端铰支两端铰支1.0一端固定一端自由一端固定一端自由2.0两端固定两端固定0.5一端固定一端铰支一端固定一端铰支0.72cr2()EIFl 例：例：两端铰支压杆如图，杆的直径两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度，长度l = 800mm ，材料为材料为Q235钢，。求压杆的临界载荷。钢，。求压杆的临界载荷。 解：解：根据欧拉公式根据欧拉公式 此时横截面上的正应力此时横截面上的正应力

7、 23439412cr222200 10201024.2kN()64 ()64 (1 0.8)EIEdFll 3cr26424.2 1077MPa2010PFA 表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。 11-3 11-3 临界应力临界应力一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度 1.1.临界应力临界应力 压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力 crcrFA 2.2.柔度柔度 对于细长杆对于细长杆 22222crcr2222()()()FEIEiEElAlAli 柔度柔度 li IiA （截面对弯曲中

8、性轴的惯性半径）（截面对弯曲中性轴的惯性半径）IiA （截面对弯曲中性轴的惯性半径）（截面对弯曲中性轴的惯性半径）圆截面：圆截面：矩形截面：矩形截面：42/64/44IddiAd 3min/122 3IhbbiAbh 二、三类不同压杆及其临界应力表达式二、三类不同压杆及其临界应力表达式 1.1.大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长杆） 在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。 2cr2E 2PE 大柔度杆：大柔度杆：2cr2E P 2PPE P P 2.2.中柔度杆（中长杆）中柔度杆（中长杆） 中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临中柔度杆发

9、生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临界应力一般采用经验公式计算。界应力一般采用经验公式计算。 直线经验公式直线经验公式 crab ( (a 、b是是与材料性质有关的与材料性质有关的常数，可查阅有关工程手册常数，可查阅有关工程手册) )crab sab s crab ssab sPs 中柔度杆中柔度杆3.3.小柔度杆（粗短杆）小柔度杆（粗短杆） 小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材料），临界应力料），临界应力 scrbu （塑性材料）（塑性材料） （脆性材料）（脆性材料） s() 抛物线公式抛物线公式 2cr11abP(0) ( (a1 、b1是是与材

10、料性质有关的常数，可查阅有与材料性质有关的常数，可查阅有关工程手册关工程手册) )三、临界应力总图三、临界应力总图 例：例：图所示压杆，其直径均为图所示压杆，其直径均为d ，材料都是，材料都是Q235，但二者，但二者的长度和约束都不同。的长度和约束都不同。 分析哪一根杆的临界载荷较大。分析哪一根杆的临界载荷较大。 若若d = 160mm ，E = 205GPa ，计算二杆的临界载荷。，计算二杆的临界载荷。 解：解： 计算柔度，判断临界应力大者计算柔度，判断临界应力大者 圆截面圆截面 4di 两端铰支约束的压杆两端铰支约束的压杆 11 1 1120lid 两端固支约束的压杆两端固支约束的压杆 2

11、0.5 2 2218lid 所以两端固支的压杆具有较大的临界载荷。所以两端固支的压杆具有较大的临界载荷。2cr2E 12cr1cr2 计算给定参数下压杆的临界载荷计算给定参数下压杆的临界载荷 两端铰支约束的压杆两端铰支约束的压杆 1P32020125101160 10d 属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷 2293cr1cr1221205 10160 102600kN1254EFAA 两端固支约束的压杆两端固支约束的压杆 2P31818112.5160 10d .22926cr2cr2222205 10160103210kN112 54EFAA 属于大柔度杆，

12、欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷 例：例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图所示，其中所示，其中a 为为正视图，正视图，b 为俯视图。在二端用螺栓夹紧。已知为俯视图。在二端用螺栓夹紧。已知l = 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量，材料的弹性模量E = 205GPa ，求此杆的临界载荷。，求此杆的临界载荷。 解：解：在正视图平面（在正视图平面（xy 平面）内失稳，平面）内失稳，A 、B 处可处可自由转动，即两端为铰链约自由转动，即两端为铰链约束束 1 3/122 3zzIbhhiA

13、bh31 2.3 2 3132.860 10zzli 在俯视图平面（在俯视图平面（xz 平面）内失稳，平面）内失稳，A 、B 处不可自由转动，即处不可自由转动，即两端为固定约束两端为固定约束 0.5 3/122 3yyIhbbiAbh30.52.32 399.640 10yyli zy 压杆在正视图平面内失稳定压杆在正视图平面内失稳定 P132.8z属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2296crcr22205 1040 60 10275kN132.8zEFAbh 11-4 11-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 crstFFn crwstn 一、安全因数

14、法一、安全因数法 工作安全因数工作安全因数 压杆稳定条件压杆稳定条件 crcrFnF crstFnnF二、折减因数法二、折减因数法 crstnn crwstn 压杆稳定条件压杆稳定条件 w 稳定安全因素稳定安全因素折减因素，与材料、折减因素，与材料、柔度有关。柔度有关。crstFnnF根据压杆的稳定条件，可进行三类压杆稳定问题计算：根据压杆的稳定条件，可进行三类压杆稳定问题计算： 1. 1.压杆稳定校核；压杆稳定校核； 2. 2.确定许可载荷；确定许可载荷； 3. 3.设计压杆截面尺寸。设计压杆截面尺寸。 例：例：由由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度

15、s = 235MPa ，比例极限，比例极限P = 200MPa ，弹性模量，弹性模量E=200GPaE=200GPa，杆长杆长l = 700mm ，截面直径，截面直径d = 45mm ，杆承受，杆承受Fmax = 100kN。稳定安全因数。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。试校核此杆的稳定性。 解：解： 计算压杆柔度计算压杆柔度 11.25mm4di 两端为铰链约束两端为铰链约束 1 31 0.762.211.25 10li 229P6P200 10100200 10E ss30423561.61.12ab sP压杆属于中柔度杆，临界应力采用直线经验公式计算压杆属于中柔度杆，

16、临界应力采用直线经验公式计算 62.2 P100 计算临界载荷计算临界载荷cr3041.12 62.2234.34MPaab 2266crcrcr4510234.34 10372.7kN44dFA 校核压杆稳定性校核压杆稳定性 crstNmax372.73.7100FnnF所以压杆有足够的稳定性，是安全的。所以压杆有足够的稳定性，是安全的。 例：例：钢柱长为钢柱长为l = 7m ，两端固定，材料是，两端固定，材料是Q235钢，钢，规定稳定安全因数规定稳定安全因数nst = 3 ，横截面由两个，横截面由两个10号槽钢组成号槽钢组成。已知。已知E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱，

17、试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱的许可载荷。的许可载荷。 解：解： 两槽钢靠紧两槽钢靠紧 查型钢表得查型钢表得 22 12.7425.48cmA 24min2 (25.61.5212.74)109.8cmyII min109.82.08cm25.48yyIiiA两端固定两端固定 0.5 20.5 71682.08 10yli P P168 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2294crcr22200 1025.48 10181.8kN168EFAA 钢柱的许可载荷钢柱的许可载荷 cr1st181.860.6kN3FFn 两槽钢离开两槽钢离开 查型钢表

18、查型钢表 22 12.7425.48cmA 42 198.3396.6cmxI 396.63.95cm25.48xxIiA 242 (25.63.0212.74)285cmyI min3.32cmyii2853.32cm25.48yyIiA4min285cmyII两端固定两端固定 0.5 20.5 7105.53.32 10yli 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2294crcr22200 1025.48 10473kN105.5EFAA 钢柱的许可载荷钢柱的许可载荷 cr2st473157.7kN3FFn P 例：例：图所示结构中，梁图所示结

19、构中，梁AB 为为No.14 普通热轧工字钢，支承的普通热轧工字钢，支承的杆直径杆直径d = 20mm ，二者的材料均为，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，钢。结构受力如图所示，A 、B 、C 三处均为球铰约束。已知三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力，梁的许用应力 = 170MPa 。试校核此结构是否安全。试校核此结构是否安全。 解：解： 梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合）梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，经过分析，AB 的危险截

20、面为的危险截面为C 截面截面 oNcos3025 0.86621.65kNFF o1sin30250.5 1.2515.63kN myMFl 查型钢表查型钢表 63102 10 myW 4221.5 10 mA 33Nmax4621.65 1015.63 10163MPa21.5 10102 10yyMFAW 所以所以AB 梁是安全的。梁是安全的。 压杆压杆CD 的安全校核的安全校核 由平衡条件可求得压杆由平衡条件可求得压杆CD 所受力所受力 oNCD2sin3025kNFF 205mm44di 压杆压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 22926

21、crcr22206 10201052.8kN1104EFAA crstNCD52.82.1125FnnF所以压杆所以压杆CD 是安全的。是安全的。 P31 0.551105 10li 例：例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长图所示压杆，两端为球铰约束，杆长l = 2.4m ，杆由两，杆由两根根12512512 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为23mm 。若。若压杆承受轴向压力压杆承受轴向压力F = 750kN ，材料为，材料为Q235 钢，钢， = 160MPa 。试校核此结构是否安全。试校核此结构是否安全。 解：解： 压杆稳定校核压杆稳定校核( (折减因素法）

22、折减因素法） 两根角钢铆接，失稳形成一整体挠曲两根角钢铆接，失稳形成一整体挠曲，其横截面绕惯性矩最小的主轴，其横截面绕惯性矩最小的主轴y 轴弯曲轴弯曲 查型钢表查型钢表 38.3mmyi 2228.9 10 mmA 两根角钢铆接后两根角钢铆接后 22257.8 10 mmAA 238.3mm2yyyyIIiiAA 38.3mmyi 1 0.762.660.0383yli 查表得查表得 0.828 st0.828 160132MPa 326750 10130MPa57.8 1010FA 所以压杆稳定性是安全的。所以压杆稳定性是安全的。 st 压杆强度校核压杆强度校核 3261750 10143M

23、Pa(57.8 102 23 12) 10FA 所以压杆强度是安全的。所以压杆强度是安全的。 11-5 11-5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 一、选择合理的截面形状一、选择合理的截面形状 1. 1.提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积提高截面惯性半径或惯性矩：在不增加截面面积的情况下，截面面积尽量离截面形心远处分布。的情况下，截面面积尽量离截面形心远处分布。 2. 2.压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件时压杆两端各方向挠曲平面内具有相同约束条件时，尽量使截面的最大和最小惯性矩相近或相等。，尽量使截面的最大和最小惯性矩相近或相等。 2cr2()EIFl 二、减少压杆的相

24、当长度二、减少压杆的相当长度 三、合理选择材料三、合理选择材料 1.1.减少压杆的长度。减少压杆的长度。2.2. 加强对压杆两端的约束，减少压杆的相当长度。加强对压杆两端的约束，减少压杆的相当长度。1.1.大柔度压杆，弹性模量大柔度压杆，弹性模量E 大的材料可提高临界载荷。大的材料可提高临界载荷。 2. 2.中、小柔度杆，临界载荷与材料中、小柔度杆，临界载荷与材料s或或P有关，所以强有关，所以强度高的材料可提高临界载荷。度高的材料可提高临界载荷。 3. 3.压杆两端各方向挠曲平面内具有不同约束条件时，采压杆两端各方向挠曲平面内具有不同约束条件时，采用最大与最小主惯性矩不等截面，使主惯性矩小的平面内具用最大与最小主惯性矩不等截面，使主惯性矩小的平面内具有刚性较大的约束，尽量使两主惯性矩平面内的压杆柔度相有刚性较大的约束，尽量使两主惯性矩平面内的压杆柔度相近或相等。近或相等。