2022年中考数学知识点梳理试题分类汇编相似 .pdf
《2022年中考数学知识点梳理试题分类汇编相似 .pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年中考数学知识点梳理试题分类汇编相似 .pdf(32页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、中考数学知识点梳理 +试题分类汇编 (24)相似形知识点:一、比例线段1、比:选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:bm:n(或nmba)2、比的前项,比的后项:两条线段的比a:b 中。 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如dcba4、比例外项:在比例dcba(或 a:bc:d)中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项:在比例dcba(或 a:bc:d)中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项:在比例dcba(或 a: bc:d)中, d 叫 a、b、 c
2、的第四比例项。7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为abba(或 a:b=b:c 时,我们把 b 叫做 a和 d 的比例中项。8、比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。9、比例的基本性质:如果a:bc:d 那么 adbc 逆命题也成立,即如果adbc,那么 a:bc:d 10、比例的基本性质推论:如果a:b=b: d 那么 b2=ad,逆定理是如果b2=ad 那么 a:b=b:c。说明:两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。11、合比性质:如果dcba,那么ddcbb
3、a12 等比性质: 如果nmdcba,(0mdb) , 那么bandbmca说明:应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ,这种方法思路单一,方法简单不易出错。13、黄金分割把一条线段分成两条线段,使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割。说明: 把一条线段黄金分割的点,叫做这条线段的黄金分割点,在线段AB 上截取这条线段的215倍得到点 C,则点 C 就是 AB 的黄金分割点。二、平行线分线段成比例1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。格式:如果直线L1L2L3, AB BC,那么: A1B1B1C1,如
4、图 4l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页说明:由此定理可知推论1 和推论 2 推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。格式:如果梯形ABCD ,AD BC,AEEB,EF AD ,那么 DF=FC 推论 2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。格式,如果ABC 中, D 是 AB 的中点, DEBC,那么 AEEC,如图 43 2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。说明:平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。3平行线分线段成比例定
5、理的推论:平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的对应线段成比例。说明 1:平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图44 说明 2:图 44 的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。5、三角形一边的平行线的判定定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。6、线段的内分点:在一条线段上的一个点,将线段分成两条线段,这个点叫做这条线段的内分点。7、线段的外分点:在一条线段的延长线上的点,有时也叫做这
6、条线段的外分点。说明: 外分点分线段所得的两条线段,也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。三、相似三角形1、相似三角形:两个对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页说明:证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。2、相似比:相似三角形对应边的比k,叫做相似比(或叫做相似系数)。3、相似三角形的基本定理:平分于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
7、说明:这个定理反映了相似三角形的存在性,所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理,它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。4、三角形相似的判定定理:(1)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么就两个三角形相似。可简单说成:两角对应相等,两三角形相似。(2)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。(3)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简单说成:三边对应成比例,两三角形相似。(4)直角三角形相似
8、的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。说明:以上四个判定定理不难证明,以下判定三角形相似的命题是正确的,在解题时,也可以用它们来判定两个三角形的相似。第一:顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。第二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五: 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似。5、相似三角形的性质:(1)相似三角形性质1:相似三角
9、形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。(2)相似三角形性质2:相似三角形周长的比等于相似比。说明:以上两个性质简单记为:相似三角形对应线段的比等于相似比。(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明:两个三角形相似,根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。6、介绍有特点的两个三角形(1)共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。(2)共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形,如图46 (3)公边共角有一个公共角,而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。说明:具有公边共角的两个三角形相似,则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的
10、乘精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页积:如图47 若 ACD ABC ,则 AC2AD AB 例题:例 1、已知:cbbacbba:.45,32求的值 . 分析:已知等比条件时常有以下几种求值方法:(1)设比值为k; (2)比例的基本性质;(3)方程的思想,用其中一个字母表示其他字母. 解:由4532cbba及,得 a:b=2:3,b:c=5:4,即 a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(bc)=25:3. 例 2 已知:如图5126(a),在梯形 ABCD 中, A
11、DBC,对角线交于O 点,过 O 作 EFBC,分别交 AB,DC 于 E,F. 求证: (1)OE=OF;(2)EFBCAD211;(3)若 MN为梯形中位线,求证 AFMC. 分析:(1)利用比例证明两线段相等的方法. 若dcda,a=c(或 b=d 或 a=b) ,则 b=d( 或 a=c 或 c=d);若abda, 则 a=b( 只适用于线段,对实数不成立) ;若dcda,dcda,a=a ,b=b,c=c, 则 d=d . (2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法. (3)证明EFBCAD211时,可将其转化为“cba111”类型后:化为1bcac直接求出各比值,或可用中间比求出各
12、比值再相加,证明比值的和为1;直接通分或移项转化为证明四条线段成比例. (4)可用分析法证明第(3)题,并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长 BA,CD 交于 S,AFMC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页 AF MC成立 . (5)用运动的观点将问题进行推广. 若直线 EF 平行移动后不过点O, 分别交 AB, BD, AC, CD 于 E, O1, O2, F, 如图 5126(b),O1F 与 O2F 是否相等 ?为什么 ? (6)其它常用的推广问题的方法有:类比、从特殊到一般等例 3 已知:如图5
13、 127 ,在 ABC 中, AB=AC,D 为 BC 中点, DEAC 于 E,F 为 DE 中点,BE 交 AD 于 N,AF 交 BE 于 M. 求证: AF BE. 分析:(1)分解基本图形探求解题思路. (2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等,进一步证明两直线位置关系 ( 平行、垂直等) 的方法,利用ADEDCE 得到CFDEDCAD结合中点定义得到CEDFBCAD, 结合 3= C, 得到 BECAFD,因此 1= 2. 进一步可得到 AFBE. (3)总结证明四条线段成比例的常用方法:比例的定义;平行线分线段成比例定理;三角形相似的预备定理;直接利用相似三角形的性质;利用中间
14、比等量代换;利用面积关系 . 例 4 已知:如图5128 ,Rt ABC 中, ACB=90 , CDAB 于 D,DEAC 于 E,DFBC于 F. 求证: (1)CD3=AAEBF AB;(2)BC2:AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE. 分析:掌握基本图形“Rt ABC, C=90 , CD AB 于 D”中的常用结论. 勾股定理:AC2+BC2=AB2. 面积公式:ACBC=AB CD. 三个比例中项:AC2=ADAB,BC2=BD BA,CD2=DADB. BDADBCAC22证明:第 (1)题: CD2=ADBD, 精选学习资料 - - - - - - - - -
15、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页 CD4=AD2BD2=(AE AC) (BF BC)=(AEBF)(ACBC) =(AE BF) (AB CD). 第(2)题:ADBDABADBABDACBC22, 利用 BDFDAE, 证得AECEEADFADBD, 命题得证 . 第(3)题:ADBDABADABBDACBC22, ACAEBCBFADBDACBC2244, AEBFACBC33(2010 哈尔滨)已知:在ABC 中 ABAC ,点 D 为 BC 边的中点,点F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上, BAE BDF , 点 M 在线段 D
16、F 上,ABE DBM (1)如图 1,当 ABC 45时,求证:AE2MD ;( 2 ) 如 图2 , 当 ABC 60 时 , 则 线 段AE 、 MD之 间 的 数 量 关 系为:。(3)在( 2)的条件下延长BM 到 P,使 MPBM ,连接 CP,若 AB 7,AE72,求 tanACP 的值(2010 珠海)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作 AE BC ,垂足为 E,连接 DE ,F为线段 DE上一点,且AFE B. (1) 求证: ADF DEC (2) 若 AB 4,AD33,AE3, 求 AF的长 . (1)证明:四边形ABCD是平行四边形AD BC AB CD ADF
17、= CED B+C=180 AFE+ AFD=180 AFE= B AFD= C ADF DEC (2) 解:四边形ABCD 是平行四边形AD BC CD=AB=4 又 AE BC AEAD 在 Rt ADE中, DE=63)33(2222AEAD ADF DEC CDAFDEAD4633AF AF=32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页(2010 珠海)。一天,小青在校园内发现:旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点,同时还发现她站立于树影的中点(如图所示
18、) . 如果小青的峰高为1.65 米,由此可推断出树高是_米 . 3.3 (桂林 2010)6如图,已知ADE 与 ABC 的相似比为1:2,则 ADE 与 ABC 的面积比为( B ) A 1:2 B 1:4 C 2:1 D 4:1 (2010 年兰州) 19. 如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C 、 D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1 米. 甲身高 1.8 米,乙身高1.5 米,则甲的影长是米. 答案 6(2010 宁波市) 26如图 1,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,ABCD 的顶点 A 的坐标为( 2,0) ,点 D 的坐标为( 0,23) ,点
19、B 在 x 轴的正半轴上,点E 为线段 AD的中点,过点E 的直线 l 与 x 轴交于点F,与射线DC 交于点 G(1)求 DCB 的度数;(2)当点 F 的坐标为( 4,0) ,求点的坐标;(3)连结OE,以 OE 所在直线为对称轴,OEF 经轴对称变换后得到OEF,记直线EF与射线 DC 的交点为H 如图 2,当点 G 在点 H 的左侧时,求证:DEG DHE ; 若 EHG 的面积为33,请你直接写出点F 的坐标ADEBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 32 页24.(2010 年金华)(本题 12 分 ) 如图,
20、把含有30 角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中,A, B 两点坐标分别为( 3,0)和 (0,33 ).动点 P 从 A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动,点P 在 AO, OB,BA上运动的速度分别为1, 3,2 (长度单位 /秒) 一直尺的上边缘l 从 x 轴的位置开始以33(长度单位 /秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l x 轴) ,且分别与OB,AB 交于E,F 两点设动点P 与动直线l 同时出发,运动时间为t 秒,当点P 沿折线 AO- OB- BA运动一周时,直线l 和动点 P 同时停止运动请解答下列问题:(1)过 A,B 两点的直线解析式是;(2)当 t4 时,点
21、P 的坐标为;当 t ,点 P 与点 E 重合;(3)作点 P 关于直线EF 的对称点P . 在运动过程中,若形成的四边形PEP F为菱形,则t 的值是多少? 当 t2 时,是否存在着点Q,使得 FEQ BEP ?若存在 ,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由解: (1)333xy; 4 分(2) (0,3) ,29t; 4 分(各 2 分)B F A P E O x y l( 第24 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页(3)当点P在线段 AO 上时,过F作 FG x轴, G 为垂足(如图1)FGOE,FPE
22、P, EOP FGP90EOP FGP ,PGOP又tFGOE33,A60 ,tFGAG3160tan0而tAP,tOP3,tAGAPPG32由tt323得59t; 1分当点 P 在线段 OB 上时,形成的是三角形,不存在菱形;当点 P 在线段BA上时,过 P作PHEF,PM OB ,H、M分别为垂足(如图2)tOE33,tBE3333,3360tan0tBEEF6921tEFEHMP, 又)6(2 tBP在 RtBMP中,MPBP060cos即6921)6(2tt,解得745t1分存在理由如下:2t,332OE,2AP,1OP将BEP绕点E顺时针方向旋转90 ,得到ECB(如图 3) OB
23、EF,点B在直线EF上,C 点坐标为(332,3321)B F A P E O x y G P(图 1) y B F A P E O x y M PH (图 2) B F A P E O x Q BQ C C1D1(图 3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页过F作 FQ CB,交 EC 于点 Q, 则FEQ ECB由3QECEFEEBFEBE,可得 Q 的坐标为(32,33)1 分根据对称性可得,Q 关于直线 EF 的对称点 Q (32,3)也符合条件1 分26 (2010 年长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形
24、OABC 的两边分别在x 轴和 y 轴上,8 2OAcm, OC= 8cm,现有两动点P、Q 分别从 O、C 同时出发, P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动,Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动设运动时间为t 秒(1)用 t 的式子表示 OPQ 的面积 S;(2)求证:四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值;(3)当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时,抛物线214yxbxc经过 B、P 两点,过线段 BP 上一动点M 作y轴的平行线交抛物线于N,当线段 MN 的长取最大值时, 求直线 MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面
25、积之比解: (1) CQt,OP=2t,CO=8 OQ=8tSOPQ212(8)24 222tttt( 0t8) 3 分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPAB SCBQ118 8 28 28(822 )22tt3225 分四边形 OPBQ 的面积为一个定值,且等于322 6 分(3)当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时 , QPB 必须是一个直角三角形,依题意只能是 QPB90又 BQ 与 AO 不平行QPO 不可能等于PQB,APB 不可能等于 PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQ PBQ ABP 7 分8288 22ttt解得: t4 B A P x C Q O y 第
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022年中考数学知识点梳理试题分类汇编相似 2022 年中 数学 知识点 梳理 试题 分类 汇编 相似
限制150内