2022年中考数学第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案 .pdf

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1、第七单元圆第 24 讲圆的有关性质纲要求命题趋势1理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用题型以选择题、填空题为主. 知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做_，定长叫做 _；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径2圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的_叫做弦；(2)圆上任意两点间的_叫做圆弧，简称弧(3)_相等的两

2、个圆是等圆(4)在同圆或等圆中，能够互相_的弧叫做等弧3圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论1垂径定理垂直于弦的直径 _这条弦，并且_弦所对的两条弧2推论 1 (1)平分弦 (_) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对的_弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧_4(1)过圆

3、心； (2)平分弦 (不是直径 )； (3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_ ，所对的弦 _2推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立四、圆心角与圆周角1定义顶点在 _上的角叫做圆心角；顶点在_上，角的两边和圆都_的角叫做圆周角2性质(1)圆心角的度数等于它所对的_的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对_的度数的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

4、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页(3)同弧或等弧所对的圆周角_，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_(4)半圆 (或直径 )所对的圆周角是_，90 的圆周角所对的弦是_五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补自主测 试1如图， O 的弦 AB 垂直平分半径OC，若 AB6，则 O 的半径为 () A2 B22 C22D622如图， O 是 ABC 的外接圆，BAC60 ，若 O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为() 5如图，在平面直角坐标系中，A 与 y 轴相切于原点O，平行于x 轴的直线交A 于 M，N两点，若点M 的坐标是 (4， 2)，则弦 MN 的长

5、为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页(第 5 题图 ) 考点一、垂径定理及推论【例 1】 在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB 为 6 分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升 1 分米，油面宽变为8 分米，圆柱形油槽直径MN 为() A6 分米B8 分米C10 分米D12 分米分析： 如图 ，油面 AB 上升 1 分米得 到油面 CD，依题意得AB6，CD8，过 O 点作AB 的垂线，垂足为E，交 CD 于 F 点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE12AB3，CF12CD 4，设 OEx，则 OF

6、 x1，在 RtOAE 中， OA2AE2OE2，在 RtOCF 中， OC2CF2OF2，由 OAOC，列方程求x 即可求得半径OA，得出直径MN. 解析： 如图 ，依题意得AB6，CD8，过 O 点作 AB 的垂线，垂足为E，交 CD 于 F 点，连接 OA，OC，由垂径定理，得AE12AB3，CF12CD4，设 OEx，则 OFx1，在 RtOAE 中， OA2AE2OE2，在 RtOCF 中， OC2 CF2OF2， OAOC，32x242(x1)2，解得 x4，半径 OA32425，直径 MN2OA10(分米 )故选 C. 答案： C 方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于

7、弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页触类旁通1 如图所示，若O 的半径为13 cm，点 P 是弦 AB 上一动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为 _ cm. 考点二、圆心(周 )角、弧、弦之间的关系【例 2】如图，已知A，B，C，D 是 O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点 E，连接CD，AD. (1)求证： DB 平分 ADC；(2)若 BE 3，ED6，求 AB 的长解： (1)证明： ABBC，ABBC. ADBBDC ， DB

8、平分ADC . (2)由(1)知ABBC， BAEADB. ABEABD， ABE DBA.ABBEBDAB. BE3，ED6，BD9. AB2BE BD39 27.AB33. 方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用触类旁通2 如图， AB 是 O 的直径， C，D 两点在 O 上，若 C40 ，则 ABD 的度数为 () A40B50C80D90考点三、圆周角定理及推论【例 3】 如图，若AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， ABD58 ，则 BCD () 精选学习资料

9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页A116B 32C58D 64解析： 根据圆周角定理求得，AOD 2 ABD 116 (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半 )，BOD2 BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180 知BOD180 AOD .还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90 ，可得 ADB 90 ，则DAB90 ABD32 ， DABDCB， DCB32 . 答案： B 方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系触类旁通3 如图，点 A，B，C，D 都在 O 上

10、，CD的度数等于84 ，CA 是 OCD 的平分线，则 ABD CAO_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页ACM DMBCDDBC ACD ADCDOMMD3(2012 浙江湖州 )如图， ABC 是 O 的内接三角形，AC 是 O 的直径， C50 ，ABC 的平分线 BD 交 O 于点 D，则 BAD 的度数是 () (第 3 题图 ) A45B85C 90D954(2012浙江衢州 )工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这

11、个小圆孔的宽口AB 的长度为_ mm. 7(2012 湖南长沙 )如图， A， P，B，C 是半径为8 的 O 上的四点，且满足BAC APC60 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页(1)求证： ABC 是等边三角形；(2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD . 1如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB，垂足为 E，如果 AB10，CD8，那么线段OE的长为 () A5 B4 C3 D2 2如图，直径为10 的 A 经过点 C(0,5)和点 O(0,0)，B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，则OBC 的余弦

12、值为 () A12B34C32D453一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB10，截面圆圆心O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽AB 是() A16B10 C8 D6 4如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA， OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE8 个单位， OF6 个单位，则圆的直径为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页(第 4 题图 ) A12 个单位B10 个单位C4 个单位D15 个单位5已知如图，在圆内接四边形A

13、BCD 中， B30 ，则 D_. (第 5 题图 ) 6如图，过A，C，D 三点的圆的圆心为E，过 B，F，E 三点的圆的圆心为D，如果 A63 ，那么 DBE _. (第 6 题图 ) 7如图， ABC 是 O 的内接三角形，ADBC 于 D 点，且 AC5，DC3，AB42，则 O 的直径等于 _(第 7 题图 ) 8如图，在圆内接四边形ABCD 中， CD 为 BCA 外角的平分线，F 为弧 AD 上一点， BCAF ，延长 DF 与 BA 的延长线交于点E.求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页(1)A

14、BD 为等腰三角形；(2)AC AF DF FE. 参考答案导学必备知识自主测试1A2D360 49053如图，过点A 作 ABMN ，连接 AM ，设 MB 为 x，则 AM AO4x. 在 RtAMB 中， AM2 MB2AB2， (4x)2 x2 22，解得 x32. MN 2MB3. 探究考点方法触类旁通124连接 OA，当 OPAB 时， OP 最短，此时OP5 cm，且 AB2AP.在 RtAOP 中， APOA2OP21325212，所以 AB24 cm. 触类旁通 2B由题意，得 AC40 ，由直径所对的圆周角是直角，得ADB 90 ，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理

15、得AABD90 ，从而得 ABD 50 . 触类旁通348 因为CD的度数等于84 ，所以 COD 84 .因为 OCOD，所以 OCD48 .因为CA 是OCD 的平分线 ，所以 ACDACO24 ，因为OAOC，所以 OACACO 24 ，因为 ABDACD24 ，所以 ABDCAO48 . 品鉴经典考题1A OAOB， AOB 90 ， ACB45 .故选 A. 2D AB 是 O 的直径，弦CDAB，垂足为M， M 为 CD 的中点，即CM DM ，选项 A 成立；B 为CD的中点，即CBDB，选项 B 成立；在ACM 和ADM 中， AM AM，AMC AMD 90 ，CMDM ，

16、ACM ADM (SAS)， ACD ADC，选项 C 成立；而 OM 与 MD 不一定相等，选项D 不成立故选 D. 3BAC是 O 的直径， ABC90 . ABC 的平分线 BD 交 O 于点 D，ABD45 . C50 ， D50 ， BAD 的度数是180 45 50 85 . 48如图所示，在O 中，连接OA，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB2AD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页钢珠的直径是10 mm，钢珠的半径是5 mm. 钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm， OD 3 mm. 在 R

17、tAOD 中， ADOA2OD252324(mm) AB2AD248(mm) 故答案为 8. 52 AB 是 O 的弦， OCAB 于 C，AB23， BC12AB3. OC1，在 RtOBC 中，OBOC2BC212322. 故答案为 2. 61 50因为AOC60 ，则它所对的弧度为60 ，所以 ABC 所对的弧度为300 .因为ABC 是圆周角，所以 ABC150 . 7(1)证明： 在ABC 中，BACAPC60 ， APCABC， ABC60 ， ACB180 BACABC180 60 60 60 ，ABC 是等边三角形(2)解： 如图，连接OB，则 OB8，OBD30 . 又OD

18、BC 于 D，OD12OB4. 研习预测试题1C2 C3A4 B 5150 618752连接 AO 并延长交圆于点E，连接 BE.(如图 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页 AE 为 O 的直径， ABE90 . ABEADC. 又 AEBACD， ABE ADC. ABADAEAC.在 RtADC 中， AC5，DC3， AD4. AE52. 8证明： (1) 由圆的性质知 MCD DAB，DCADBA，而MCD DCA， DBA DAB，故 ABD 为等腰三角形(2) DBADAB，ADBD. 又BCAF，BCAF，CDBFDA ，CDDF，CDDF . 由“圆的内接四边形外角等于它的内对角” 知， AFEDBADCA， FAEBDE. CDACDBBDAFDA BDABDEFAE，由得 CDA FAE.ACFECDAF， AC AFCD FE . 而 CDDF ，AC AFDF FE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页