2022年中考数学综合题专题训练以三角形为基础的综合题四专题解析 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析1在 RtABC中，ACB90 ，AC5，以斜边 AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接 PC （1）如图 1，当 APB 90 时，求证： PC平分 ACB ；若 PC 62，求 BC的长；（2）如图 2，当 APB 60 ，PC52时，求 BC的长（1）证明：过点P 分别作 AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFP是矩形， EPF 90 APB 90 ， EPA FPB 90APF又 PA PB， PEA PFB 90 ， PEA PFBPEPF ，矩形ECFP 是正方形PC平分 ACB解：延长CB至 D，使

2、 BDAC5，连接 PD在四边形ACBP中， ACB APB 90 PAC PBC 180 PBD PBC 180 ， PAC PBD又 PA PB，ACBD， PAC PBDPCPD， APC BPD APC BPC 90 ， BPDBPC 90即 CPD 90 ， PCD是等腰直角三角形CD2PC12 BCCDBD 1257 （2）以 AC为边向外作等边三角形ACD，作 DEBC于 E，连接 DB则 DE12AC52，CE 32AC523 PAPB， APB60 ， PAB是等边三角形ABAP， BAP60 DAC， DABCAP又 ADAC， ADB ACPBDPC52 在 RtBDE中

3、，由勾股定理得：(52)2(523BC)2 ( 52)2，解得 BC52(73)A C B P 图 2 A C B P 图 1 A C B P 图 1 D E F A C B P 图 2 E DEA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页学习好资料欢迎下载2在平面直角坐标系中，已知点 A （ 5，0） ，点 B在第一象限， 且 AB与直线 l：y34x 平行，AB 长为 8，若点 P是直线 l 上的动点，求PAB的内切圆面积的最大值解： AB直线 l，点 P在直线 l 上 PAB的面积 SPAB是定值设 PAB的内切圆

4、的半径为r，则 S12PAr12PBr12ABrr2SPABPAPBABAB 长为 8，是定值，当PAPB最小时， r 最大，从而内切圆面积最大作点 B关于直线l 的对称点B，连接 AB交直线 l 于点 P，连接 PB ，则 PAPB最小此时 PAPB PAPBAB点 B和点 B关于直线 l 对称直线 l 垂直平分线段BBAB直线 l， ABBB ABB 是直角三角形且ABB 90作 AM直线 l 于 M，作 MNOA 于 N，设 M（m，34m）则 ONm，MN34m， OM54m由 OAM OMN，得AMOAMNOM35AM35OA3553， BB2AM 6 又 AB8， AB10 r2S

5、PABABABABAMABAB8381043 PAB的内切圆面积的最大值是：(43)21693已知 ABC中， BAC 120 ，AB AC4过点 C作直线 lAB点 D 在线段 BC上，点E在直线 l 上若 ADE120 ，CE1，求 DC的长解：当点E在点 C上方时，如图1 在 AC上取点 F，使 DFDC，连接 DF BAC 120 ，ABAC， ACB B30A B O y x l A B O y x l BP M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页学习好资料欢迎下载 DFC DCF 30 FDC 12

6、0 ， DFA 150CEAB， ACE BAC 120 DCE 150 ， DFA DCE ADE FDC 120 ADF EDC 120FDE 在 ADF和 EDC中ADF EDC ， DFDC， DFA DCE ADF EDC ， AFCE 1 FCACAF41 3 过 D 作 DGAC于 G，则 GC 12FC32DCGCcos30 3 当点 E在点 C下方时i）情形 1，如图 2 在 CA延长线上取点F，使 DFDC，连接 DF则 FDCF DCE 30 ， FDC 120又 ADE120 ， ADF EDC 120ADC ADF EDC ， AFCE 1 FCACAF41 5， D

7、C533 ii）情形 2，如图 3 过 D 作 DF AC于 F，过 E作 EG BC于 G则 BDF 9030 120又 ADE120 ， ADF EDG 120ADB ADF EDG，AFDFEGDG设 DCx，则 DG32x432x12x1232x解得 x15339343（舍去）， x253393综上所述， DC的长为3 或533 或533934 如图 1 是边长分别为43 和 3的两个等边三角形纸片ABC和 C D E 叠放在一起（C与 C 重合） ，固定 ABC ，将 CDE绕点 C顺时针旋转30 得到 CDE ，连接 AD、BE，CE的延长线交 AB于 F（如图 2） （1）探究线

8、段BE与 AD 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）将图 2 中的 CDE沿射线 CF方向以每秒1 个单位的速度平移，平移后的CDE记为A B D C E l F 图 1 G A B D C E l F 图 2 F C B A 图 3 l E D G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页学习好资料欢迎下载PQR （如图 3） ，当点 Q 与点 F重合时停止平移设 PQR移动的时间为t 秒，PQR与 AFC重叠部分的面积为S，求 S与 t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，如果对

9、于同一个S的值，对应的t 值恰好有两个，直接写出t 的取值范围解： （1）BE AD证明： ABC， CDE都是等边三角形ACBC，DC EC ， DCE ACB60 BCE 30 ， ACE 30 ACD30 ， ACDBCE ACD BCE ，BEAD（2）当点 R 恰好落在AC上时（如图1） ACF 30 ， RPQ 60 ， PRC 90PC2PR6，QC633 又 CF BCcos30 43326 PCCF，此时点P与点 F重合所需时间t131 3（秒）当点 R恰好落在AB上时（如图2）所需时间t2( 632) 192（秒）当点 Q 与点 F重合时，所需时间t3616（秒）此时点 P

10、与点 F重合，所需时间为3 秒当 0 t3 时（如图3）设 PR、RQ分别交 AC于 M、 N ACF 30 ， PQR 60 ， QNC 30QNQC ， RNMQNC 30 RMN90 ，RNRQNQRQQC 3t RM12( 3t ) ，MN32( 3t ) SRMN12MNRM38( 3t)2 而 SPQR123332934C A EB D( C )图 1 C A E B ( C)图 2 D F C A Q B 图 3 F P R C A Q B 图 1 F R ( P)C A Q B 图 4 F P R G C A Q B 图 3 F P R M N C A Q B 图 2 F P

11、R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页学习好资料欢迎下载SSPQRSRMN93438( 3t )2 即y38t2334t938当 3 t92时（如图4）设 PR交 AB于 G，则 PFt3，GF3( t3)SSPQRSPFG93432( t3)2 即y32t233t934当92t6时（如图5）设 RQ交 AB于 H，则 FQ 6t，HQ3( 6t )SSFQH32( 6t)2（3）0t92且 t3 5在等腰 ABC中， AB AC，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度m 得到线段AD（1）如图 1，若 BAC 30

12、，30 m180 ，连接 BD，请用含 m 的式子表示 DBC的度数；（2）如图 2，若 BAC 60 ， 0 m360 ，连接 BD、DC，直接写出BDC为等腰三角形时 m 所有可能的取值_；（3）如图 3，若 BAC 90 ，射线 AD与直线 BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AEBE2，若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由解： （1） ABAD， BADm ABDADB9012mABAC， BAC 30 ， ABCACB 75 DBC ABCABD75( 9012m)即 DBC 12m15（2）30 、120 、210 、300分四种情况，如图所示A B D C

13、图 1 A B D C 图 2 A B D C 图 3 E C A Q B 图 5 F P R H A D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页学习好资料欢迎下载（3）存在两个符合条件的m 的值， m30或 m330如图 1，当点 E在线段 BC上时，作EF AB 于 F在 ABC中， BAC 90 ，ABAC， ABC45在 RtBEF中， FBE 45 ， BE 2EF在 RtAEF中，AEBE2， AE2BE2EF sinmEFAE12， m30如图 2，当点 E在 CB延长线上时，作EF AB于 F则 BE

14、2EF AEBE2， AE2BE 2EF sinEAF EFAE12， EAF 30m3306如图，在ABC中， BAC 90 ，AB AC6， D 为 BC的中点（1）若 E 、F分别是 AB、AC上的点，且AECF，求证： AED CFD ；（2）当点 F、E分别从 C、A 两点同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点 A、B时停止；设 FED的面积为y，F 点运动的时间为x，求y与 x 的函数关系式；（3）在（ 2）的条件下，点F、E分别沿 CA、AB的延长线继续运动，求此时y与 x 的函数关系式（1）证明：BAC 90 ， ABAC6，D 为 BC的中点 BADDAC

15、 BC45ADBDDCAECF ， AED CFD（2）解：依题意有：FCAEx AED CFD A B C D E F 图 1 A B C D E F 图 2 A B D C E 图 1 F A B D C E 图 2 F C A E B D C A B D C A B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页学习好资料欢迎下载S四边形AEDFSAEDSADFSCFDSADFSADC9SEDFS四边形AEDFSAEF912( 6x) x12x23x9y12x23x9 （3）依题意有：AFBE x6，ADDB， AB

16、DDAC45 DAF DBE135 ADF BDE，SADFSBDESEDFSEAFSADB12( x6) x912x23x9 y12x23x9 7如图 1，过 ABC的顶点A 作高 AD，将点 A 折叠到点D（如图 2） ，这时 EF为折痕，且BED 和 CFD都是等腰三角形，再将BED和 CFD沿它们各自的对称轴EH、 FG折叠，使 B、C两点都与点D 重合，得到一个矩形EFGH （如图 3） ，我们称矩形EFGH为 ABC的边BC上的折合矩形（1）若 ABC的面积为 6，则折合矩形EFGH的面积为 _；（2）如图 4，已知 ABC，在图 4中画出 ABC的边 BC上的折合矩形EFGH ；

17、（3）如果 ABC 的边BC 上的折合矩形EFGH 是正方形，且BC2a，那么， BC 边上的高AD_，正方形 EFGH的对角线长为_（1）3 （2）作出的折合矩形EFGH为网格正方形（3）2a，2a8如图，在ABC中，点 D、 E分别在边BC、 AC上，连接 AD、 DE，且 1BC（1）由题设条件，请写出三个正确结论； （要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：_；结论二： _；图 1 图 2 图 3 图 4 A B D C B D ( A)E F C E F H D G A B C A B C D E 1 A B C E F

18、H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页学习好资料欢迎下载结论三： _（2）若 B45 ，BC2，当点 D 在 BC上运动时（点D 不与点 B、C重合），求 CE的最大值；若 ADE是等腰三角形，求此时BD 的长（注意：在第（2）小题求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）（1）如： ABAC； BADCDE ； ADBDEC ； ADC AED ；ABD DCE ； ADE ACD；ABDCADDEBDCE；AEADADACDECD；等（2） BC45 ， ABAC， BAC 90BC2， ABAC

19、2 解法一：1EDC BDAB， 1B EDC DAB， ABD DCE BDCEABDC，即 BDDCCEAB设 BDx，CE y，则 DC2x有 x( 2x) 2y，即y22x22x22( x1)222220，当 x1 时， y最大值22CE的最大值为22解法二：1C， DAECAD， ADE ACDADAEACAD， AD2AEAC( ACCE)AC 22CE CE222AD2当 AD 最小时， CE最大由垂线段最短，可知ADBCABAC， D 为 BC的中点 BAC 90 ， AD12BC1221 CE222122即 CE的最大值为22分三种情形加以讨论：A B C （备用图）A B

20、C D E 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页学习好资料欢迎下载1）当 AEDE时，则 DAE145 BAC 90 ， AD 平分 BACABAC， D 为 BC的中点BD12BC1 2）当 ADDE 时解法一：1EDC BDAB， EDC DAB又 B C， ABD DCEABDC 2， BD BCDC22 解法二：1C， DAECAD ADE ACD当 ADDE时， DCAC2 BDBCDC 22 2）当 ADAE时，则 AED145 ， DAE90此时点D 与 B重合，与题意不符，应舍去综上所述，若ADE

21、是等腰三角形，则BD 的长为 1 或 22 9 （ 1）如图，在RtABC中， ABC90 ，BDAC于点 D求证： AB2ADAC ；（2）如图，在RtABC中， ABC90 ，点 D 为 BC边上的点， BE AD 于点 E，延长 BE交 AC于点 F若ABBCBDDC 1，求AFFC的值；（3）在 RtABC中， ABC90 ，点 D为直线 BC上的动点（点 D 不与 B、C重合），直线BEAD 于点 E ，交直线AC于点 F若ABBCBDDCn，请探究并直接写出AFFC的所有可能的值（用含 n 的式子表示），不必证明（1）证明：如图，BDAC， ABC90 ， ADB ABC 又 A=

22、A， ADB ABC ABACADAB， AB2 ADAC（2）解：方法一：如图，过点C作 CG AD 交 AD 的延长线于点G BEAD， CGD BED 90 ， CG BF又ABBCBDDC 1， ABBC2BD2DC ，BDDC又 BDECDG ， BDE CDG EDGD12EG 由（ 1）可知： AB2AEAD，BD2DEADAEDEAB2BD2(2BD)2BD2 4， AE4DEAEEG4DE2DE2 B F A C E D B A C D 图图B A C D 图F E B A C D 图G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

23、-第 9 页，共 24 页学习好资料欢迎下载又 CG BF，AFFCAEEG2 方法二：如图，过点D 作 DGBF交 AC于点 GABBCBDDC1，ABBC，BDDC12BCDGBF ，FCFGBCBD2， FC 2FG由（ 1）可知： AB2AEAD，BD2DEADAEEDAB2BD2BC2BD2 4又 DGBF，AFFGAEED4AFFCAF2FG2（3）当点D 在 BC边上时，AFFC的值为 n2n当点 D 在 BC延长线上时，AFFC的值为 n2n当点 D 在 CB延长线上时，AFFC的值为 nn210 （福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图 1，在等腰直角ABC中

24、， AB AC， BAC90 ，小敏将一块三角板中含45 角的顶点放在点 A 上，从 AB边开始绕点A 逆时针旋转一个角 ，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点 D，直角边所在的直线交直线BC于点 E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接 AM，旋转中发现：若AD 平分 BAM，则 AE也平分 MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当 0 45 时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE 、DE之间存在如下等量关系：BD2CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿 AD 所在的直线对折得到ADF，连接 EF （如图 2） ；小亮的方法：将ABD绕点 A 逆时针

25、旋转90 得到 ACG ，连接 EG （如图 3） 请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45 135 且 90 时，等量关系BD2CE2DE2仍然成立现请你继续探究：当135 180 时（如图 4） ，等量关系BD2CE2DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由A B C D E M 图 1 A B C D E F 图 2 A B C D E G 图 3 A B C F E B A C D 图G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页学习好资料欢迎下载证明：（1）

26、BAC 90 ， DAE45 BADEAC 9045 45 ， DAMMAE45AD 平分 BAM， BADDAM MAEEAC ， AE平分 MAC（2） （法一）小颖的方法：将ABD 沿 AD 对折得到 AFD，连接 EF （如图 2）由对折可得：BAD FAD ， DFA B 45 ，DFDB由（ 1）的结论可得：FAE CAEAFAB，AB AC， AF ACAEAE， AEF AEC AFE C45 ，EF EC DFE 4545 90在 RtDEF中， DF2EF2DE2即 BD2CE2DE2（法二）小亮的方法：将ABD绕点 A 逆时针旋转90 得到 ACG ，连接 EG （如图

27、3）由旋转可得：GAC DAB， ACG B45 ，CG BD，AGAD BADEAC 45 ， GACEAC 45 GAEDAE45AEAE， AGE ADEGEDE， ECG 4545 90在 RtECG中， CG2CE2GE2即 BD2CE2DE2（3）等量关系BD2CE2DE2仍然成立法一：将 ABD 沿 AD 对折得到 AFD，连接 EF （如图 41）则 BDFD， AFABAC， AFDABD18045 135FAD BAD， DAE45 EAF FAD45 ， EAC 90BAD45 BAD45 EAF EACAEAE， AFE ACEEFEC ， AFE C45 DFE 13

28、545 90在 RtDEF中， DF2EF2DE2即 BD2CE2DE2法二：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转90 得到 ACG ，连接 EG（如图 42）则 BDCG ， ADAG， ACG ABD18045 135DAG 90 ， DAE 45 DAE 45 ， GAE9045 DAE GAEA B C D E M 图 1 A B C D E F 图 2 A B C D E G 图 3 A B C 45E D A B C 图 41 45F E D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页学习好资料欢迎下载AEAE，

29、 ADE AGE ， GE DE ECG 13545 90在 RtECG中， CG2CE2GE2即 BD2CE2DE211 （福建模拟）如图，在ABC中， AB AC5，BC6，点 D 为 AB边上的一动点（不与A、B 重合） ，过 D 作 DEBC，交 AC于点 E把 ADE沿直线 DE折叠，点A 落在点 A处，连接 BA设 ADx， ADE 的边 DE上的高为y（1）求y与 x 的函数关系式；（2）当 x取何值时，以点A、B、D 为顶点的三角形与ABC相似；（3）当 x取何值时，A DB 是直角三角形？（4）当 x取何值时，ADB 是等腰三角形？解： （1）过 A 作 AMBC于 M，交

30、DE于 N，则 BM12BC 6 DEBC， ANDE，即yAN在 RtABM 中， AM52324 DEBC， ADE ABCADABANAM，x5y4y45x（0 x5）（2） ADE由 ADE折叠得到，ADAD，A E AE由（ 1）可得 ADE是等腰三角形，即ADAEADADAEAE，四边形ADAE是菱形DAAC， BDABACABAC5，BC6， BAC ABC ， BAC C BDA ABC， BDA C有且只有当BDAD 时， DBA ABC5x x， x52（3） BDA A90 ， D 不可能为直角顶点若 BA D90四边形ADAE是菱形，点A必在 DE垂直平分线上，即直线A

31、M 上A C B E D AA C B 备用图A C B E D AN M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页学习好资料欢迎下载ANANy45x，AM4， AM| 485x|在 RtABM 中， AB2AM2BM2( 485x)232在 RtABD中， AB2AD2BD2x2( 5x)2( 485x)232 x2( 5x)2，解得 x0（舍去）或x3532若 ABD90解法一：AMB 90 ， BAM ABMBAABBMAM，BA534， BA 154在 RtABD中， AD2AB2BD2x2 (154)2( 5

32、x)2，解得 x12532解法二：由知，AM| 485x|在 RtABM 中， AB2AM2BM2( 485x)232在 RtABD中， A B2A D2BD2x2( 5x)2( 485x)232 x2( 5x)2，解得 x5（舍去）或x12532综上，当x3532或 x12532时， ADB 是直角三角形（4）若 BDAD，由（ 2）知， x52若 BDBA ，则 BD2AB2( 5x)2( 485x)232，解得 x0（舍去）或x7039若 A D A B，则 A D2AB2x2 ( 485x)232，解得 x5（舍去）或x1253912 （福建模拟）如图，在RtABC中， ACB 90

33、，AC8，BC6，点 D 是射线 CA上的一个动点（不与C、A 重合） ，DE直线 AB 于 E点，点 F是 BD 的中点，过点F作 FG直线AB 于 G 点，连接EF ，设 ADx（1）若点D 在 AC边上，求FG的长（用含x 的式子表示） ；若点 D 在射线 CA上， BEF的面积为S ，求 S与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围（2）若点 D 在 AC边上，点P是 AB边上的一个动点，DP与 EF相交于 O 点，当 DPFP的值最小时，猜想DO与 PO之间的数量关系，并加以证明A C B E D AN M A B C 备用图A G F B E D C 精选学习资料 - - - -

34、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页学习好资料欢迎下载解： （1） ACB 90 ，AC8，BC 6，ABAC2BC2826210 sinABCAB61035，cosAACAB81045 AED 90 ，ADx， DEADsinA35xDEAB，FGAB， FGDE又 F是 BD的中点， FG12DE310 x在 RtADE中， DE35x，AE ADcosA45xi）当点 D 在 AC边上时，如图1 BEABAE 1045x S12BEFG12( 1045x)310 x325x232x（0 x8）ii）当点 D 在 CA延长线上时，如图2 B

35、EABAE 1045xS12BEFG12( 1045x)310 x325x232x（x0）（2）猜想： DO3PO证明：作点D 关于 AB的对称点D，连接 DF 交 AB 于点 P，如图 3 则 DPFP的值最小由（ 1）知 FG12DE12D E ，即 DE2FG由 D PE FPG ，得 EP2PG23EG过 P作 PH AB交 EF于 H，则 PH23FG13DE由 DOE POH，得 DO3PO13 （福建模拟）如图，在RtABC中， A90 ，AB 6，AC8，点 D、 E分别是边AB、AC上的动点将ABC沿 DE 折叠，使点A 落在 BC边上的点F处（1）当 DEBC时，判断以DE

36、为直径的圆与BC的位置关系，并说明理由；（2）当 DEF为等腰三角形时，求AD 的长；（3）若以 D、 E、F为顶点的三角形与ABC相似，求 AD 的长；（4）随着点 D、E的移动，点F位置也在不断变化，当点D 从点 B开始移动，至点E与点 C重合，直接写出这一过程中点F移动的路径的长A G F B E D C O P DH 图 3 E D A B C A B C A G F B E D C 图 2 A G F B E D C 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页学习好资料欢迎下载解： （1）连接 AF交

37、DE于 G，则 AFDE，AGFG12AF在 RtABC中， A90 ，AB 6，AC8， BC10 DEBC， AFBC， ADE ABC得 DE12BC5， GF52SABC12BCAF12ABACAFABACBC6810245， GF12AF12552以 DE为直径的圆与BC相交（2） DFE DAE 90 ，当 DEF为等腰三角形时，只能DFEF此时 DEF为等腰直角三角形，145 2145 ， ADF90DFAC， BDF BAC，BDDFBAAC设 ADx，则 DFx，BD6x6xx68，解得 x247即 AD 的长为247（3）当 FDE ABC时， FDE ABC ADE FD

38、E ， ADEABC， DEBC由（ 1）知，此时AD12AB3 当 FDE ACB时， FED ABC连接 AF交 DE于 G则 AFDE，AGFG12AF， DAGADE90又 ADE FDE ， BACB 90 DAGB， AFBF同理 AFCF， AFBFCF 12BC5 AG12AF52由 ADG BCA，得ADAGBCBAE D A B C F G E D A B C F 2 1 E D A B C F G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页学习好资料欢迎下载得AD52106， AD256（4）4 提

39、示：当点D 与点 B 重合时， BF1BA6 CF11064当点 E与点 C重合时， CF2CA8 点 F移动的路径的长为F1F2CF2CF184 4 14 （上海模拟）如图，ABC中， ABAC 10，BC12，P是边 AB 上的一个动点，过点P作 PDAB交 BC相于点 D，以点 D 为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形DEFG ，其中D、E在边 BC上， F在边 AC上（1）设 BP的长为 x，正方形 DEFG的边长为y，求y关于 x 的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）当 P、G、F三点共线时，求BP的长；（3）P、D、G 三点能否构成等腰三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说

40、明理由解： （1） ABC中， ABAC10，BC 12 BHHC6，AHAB2BH28 过 A 作 AH BC于 H，则 DBP ABHBDABPDAHBPBH，即BD10PD8x6BD53x，PD43x又四边形DEFG是正方形，EF BC，EF DEy由 FCE ABH，得 EC 34y53xy34y12 y2021x487当点 G 落在边 AB上，易知 AGF ABC得y128y8，即y2452021x487245，解得 x5425E D A B C F1 F2 B C A 备用图E P D B C A F G B C A 备用图E P D B C A F G H E P D B C A

41、 F G H B C A H M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页学习好资料欢迎下载过 C作 CMAB于 M由 CBM ABC，得 BM3655425x365（2）当 P、G、F三点共线时，连接PG则 PGBD， PGD90 AHB DPGBDP90 BAH PDG ABH，得 PG43y由 APF ABC，得43yy128y8，即y72232021x4877223，解得 x9023即 BP的长为9023（3）若 PDGD则43x2021x487，解得 x3 若 PDPG，则 PDGPGD PDGPDB90 ，

42、 BPDB90 ， BC PDGPGDBC PDG ABC，得 PD56y43x56(2021x487)，解得 x18067若 PGDG同理可得 GPD ABC，GD56PD109x2021x487109x，解得 x2166515 （浙江模拟）如图，已知直线l：y3x6 与 x 轴、y轴分别相交于A、B 两点，点C的坐标为（ 8， 0） 直线 l 沿 x 轴正方向平移m 个单位（ 0m10）得到直线l，直线 l与 x轴、直线BC分别相交于点D、E（1）求 sinACB的值；（2）当 CDE的面积为152时，求直线l的解析式；（3）将 CDE沿直线 l对折得到 CDE，记 CDE与四边形ADEB

43、重叠部分的面积为S ，求S关于 m 的函数关系式，并求当S最大时四边形DCEC 的周长E P D B C A F G H E P D B C A F G E P D B C A F G E P D B C A F G E A B D x O y l lC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页学习好资料欢迎下载解： （1）y3x6，当 x 0 时，y6 B（0，6） ， OB6 C（8，0） ， OC8 BC6282 10 sinACBOBBC61035（2）y3x6，当y0 时， x2 A（2，0） ， ACBC1

44、0 SABC12ACOB1210630 由题意知ll， CDEN CABSCDESABC(CDCA)2，15230(CD10)2CD5， D（ 3，0）设直线 l的解析式为y3xb，把 D（ 3，0）代入，得b9 直线 l的解析式为y3x9 （3）由（ 2）可知，当m5 时，点 C正好落在AB上当 5 m10 时，点 C在 ABC内SSCDESCDE(CDCA)2SABC(10m10)230310( 10m)2当 0m 5 时，点 C 在 ABC外，设 CD、CE分别交 AB于点 F、 GACBC10， ABC是等腰三角形易知 DAF 、 EBG 、 CDE都是与 CAB相似的等腰三角形SDA

45、FSEBG(m10)2SABC310m2S302310m2310( 10m)26m910m2综上可知， S关于 m 的函数关系式如下：S6m910m2（0m 5）310( 10m)2（5m10）显然，在5m10 范围内，当m5 时， S最大152在 0m 5 范围内， S6m910m2910(m103)210，当 m103时， S最大10 E A B D x O y l lC E A B D Cx O y l lC E A B D CG x O y l lC F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页学习好资料欢迎下

46、载当 m103时， S最大10 易知四边形DCEC 是菱形，所以当S最大时四边形 DCEC 的周长 4( 10m) 4(10103)80316 （江苏模拟）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45的位置（如图1 中的位 置） 例如，图 2 是某巷子的俯视图，巷子路面宽 4m，转弯处为直角， 车辆的车身为矩形ABCD ，CD与 DE、CE的夹角都是45 时，连接 EF ，交 CD于点 G，若 GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过（1）试说明长8m，宽 3m 的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽 3m 的 消防车通过该弯道，可以将转弯

47、处改为圆弧（MM 和NN分别是以 O 为圆心，以OM 和 ON 为半径的弧） ，具体方案如图3，其中 OMOM ，请你求出ON 的最小值解： （1）作 FHEC于 H，则 FHEH4 EF42且 GEC 45GC12DC4， GEGC 4 GF4243，即 GF的长度未达到车身宽度消防车不能通过该直角转弯（2）若 C、D 分别与 M 、M 重合，则 OGM 为等腰直角三角形OG4，OM42 OFON OMMN424 FG842 3 C、D 在MM 上连接 OC ，设 ONx在 RtOCG中， OGx3，OCx4，CG 4 由勾股定理得( x3)242( x4)2解得 x4. 5 即 ON的最小

48、值为4. 5 米17 （上海模拟）如图，在RtABC中， C90 ，点 O 为 AB中点，以O 为坐标原点，x轴与 AC平行，y轴与 CB平行，建立直角坐标系， AC与y轴交于点M， BC与 x 轴交于点N 将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O 处，绕点O 旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线 CA、射线 BC于点 P、Q（1）证明： OMP ONQ；图 2 D B A G C E F 图 3 N O M MN图 1 D B A G C E F H D B A E C N O M MNG F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19

49、页，共 24 页学习好资料欢迎下载（2）若 A60 ，AB4，设点 P的横坐标为x，PQ长为y当点 P在边 AC上运动时，求y关于 x的函数关系式及定义域；（3）若 A60 ，AB4，当 PQC的面积为32时，求 CP的长（1）证明：由题意知POQ MON90 PONQON90 ， POM PON90 QONPOMONAC，OMBC，且 C90 ， OMPONQ90 OMP ONQ（2）解：在RtABC中， C90 ， A60 ，AB4 AC2， BC 23 O 是 AB的中点，且ONAC，OMBCOM3，ON 1 则 P（x，3） ，CP 1x由 OMP ONQ，得OMONMPNQNQMPO

50、NOM|x|3，CQx33 在 RtCPQ中，yPQCP2CQ2( 1x)2(x33)2233x292即y关于 x 的函数关系为y233x292（1x1）（3）当点Q 在边 BC上时由（ 2）知， CP 1x，CQx33 SPQC12CPCQ12( 1x)(x33) 32解得 x10， x22 CP1 或 3 当点 Q 在 BC延长线上时易知， CP 1x，CQx33 SPQC12CPCQ12( 1x)(x33) 32解得 x117，x217 A B P C x O M y Q N A B P C x O M y Q N A B P C x O M y Q N 精选学习资料 - - - - -