2022年中考数学中的《探究性问题动态几何》 .pdf

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1、学习必备欢迎下载中考数学中的探究性问题动态几何动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、 多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力。有关动态几何的概念， 在很多资料上有说明， 但是没有一个统一的定义， 在这里就不在赘述了。本人只是用20XX 年的部分中考数学试题加以说明。一、知识网络动态几何涉及的几种情况动点问题动线问题动形问题二、例题经典1.【 05 重庆课改】 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6） 、点 B（8， 0） ，动点 P 从点 A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点 B开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A

2、 移动 ,设点 P、Q 移动的时间为t 秒(1) 求直线 AB 的解析式；(2) 当 t 为何值时， APQ 与 AOB 相似？(3) 当 t 为何值时， APQ 的面积为524个平方单位？【解】 （）设直线AB 的解析式为ykxb由题意，得b6 8kb0 解得k43b 6 所以，直线AB 的解析式为y43x6（）由AO 6， BO8 得AB 10 所以 APt ， AQ10 2t1 当 APQ AOB 时， APQ AOB 所以6t10210t解得t1130(秒)2 当 AQP AOB 时， AQP AOB 所以10t6210t解得t1350(秒) （）过点Q 作 QE 垂直 AO 于点 E

3、在 RtAOB 中， SinBAO ABBO54y x O P Q A B y P Q A E y x O P Q A B y x O P Q A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载在 RtAEQ 中， QE AQ SinBAO (10-2t) 54858t所以， SAPQ21AP QE21t (858t) 254t4t524解得 t2（秒）或t3（秒） 2.【 05 青岛 】如图，在矩形ABCD 中，AB 6 米， BC8 米，动点 P以 2 米/秒的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动

4、，同时动点Q 以 1 米/秒的速度从点C 出发，沿 CB 向点 B移动，设 P、Q 两点移动t 秒（ 0t5）后，四边形ABQP 的面积为S米2。（1）求面积S与时间 t 的关系式；（2）在 P、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与 CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点 P 的位置；若不能，请说明理由。【解】 （1）过点 P作PE BCE于Rt ABCACABBC中，（米）22226810由题意知：，则APtCQtPCt2102由，得ABBCPECPEAB/ /PEABPCAC即：，PEtPEtt61021035102656()又SA B C126824SSSttttABCPCQ241

5、2656353242()即：Stt353242（）假设四边形与的面积相等，则有：2ABQPCPQ35324122tt即： tt25200bac224541200()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载方程无实根在 、两点移动的过程中，四边形与的面积不能相等。PQABQPCPQ3.【05 乌鲁木齐 】四边形OABC是等腰梯形， OABC。在建立如图的平面直角坐标系中，A （4， 0） ， B（3，2） ，点 M 从 O 点以每秒2 单位的速度向终点 A 运动； 同时点 N 从 B 点出发以每秒 1 个单

6、位的速度向终点C 运动，过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结AC 交 NP 于 Q，连结 MQ 。（1）写出 C 点的坐标；（2）若动点 N 运动 t 秒，求 Q 点的坐标（用含t 的式子表示（3）其 AMQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。（4）当 t 取何值时，AMQ 的面积最大；（5）当 t 为何值时，AMQ 为等腰三角形。【解】 （1）C（1，2）（ 2）过 C 作 CEx 轴于 E，则 CE2 当动点 N 运动 t 秒时， NB t 点 Q 的横坐标为3t| 设 Q 点的纵坐标为yQ 由 PQCE 得312tyQ322tyQ点 Q（322

7、,3tt）（ 3）点 M 以每秒 2 个单位运动，OM2t，AM 42t SAMQ322)24(2121ttPQAM)1)(2(32tt)2(322tt当 t2 时， M 运动到 A 点， AMQ 不存在t2 t 的取值范围是0t2 （ 4）由 SAMQ23)21(32)2(3222ttt。当2321mzxSt时，（ 5） 、若 QM QA QPOA MPAP 而 MP4（ 1t2t） 33t 即 1t3 3t t21当 t21时， QMA 为等腰三角形。若 AQ AM AQ2AP2PQ2222)1(913)322()1(tttAQ=)1(313tAM 42t )1(313t42t 精选学习资

8、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载223131885023131885而t当 t23131885时， QMA 为等腰三角形。 若 MQ MA MQ2MP2PQ29859154985)322()33(222tttt98591549852tt2)24(t09599109492tt解得 t4959或 t 1（舍去）049592 当 t4959时， QMA 为等腰三角形。综上所述：当t21、t23131885或 t4959QMA 都为等腰三角形。4.【 05 宜昌 】如图 1，已知 ABC 的高 AE=5，BC=40

9、3， ABC45， F 是 AE 上的点， G 是点 E 关于 F 的对称点，过点G 作 BC 的平行线与AB 交于 H、与 AC 交于 I，连接IF 并延长交BC 于 J，连接 HF 并延长交BC 于 K（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点 F 在 AE 上运动并使点H、I、K、J 都在 ABC 的三条边上时，求线段AF 长的取值范围（图 2 供思考用）【解】 (1)点 G 与点 E 关于点 F 对称， GF=FE HIBC， GIF= EJF，又 GFI= EFJ， GFI EFJ， GI=JE 同理可得 HG=EK ， HI=JK, 四

10、边形HIKJ 是平行四边形（ 2）当 F 是 AE 的中点时， A、 G 重合，所以AF=2.5 如图 1， AE 过平行四边形HIJK 的中心 F, HG=EK, GI=JE. HG/BE=GI/EC. CEBE,GI HG, CK BJ. 当点 F 在 AE 上运动时 , 点 K、J 随之在 BC 上运动 , 图 1 如图 2，当点F 的位置使得B、J 重合时，这时点K 仍为 CE 上的某一点（不与C、ECGIJECBABEKHFBA图2图1GIHFACGIJBEKHFBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习

11、必备欢迎下载重合） ，而且点H、I 也分别在AB、AC 上设 EF x， AHG ABC 45 ，AE5，BE5GI ，AG HG52x ,CE340 5. AGI AEC ， AG AEGICE. 图 2 (52x)5 5(3405) x1， AF 5x4 25AF4. 5.【 05 漳州 】如图 1，在直角梯形ABCD 中， ADBC，顶点 D， C 分别在 AM ，BN上运动 (点 D 不与 A 重合，点 C 不与 B 重合 )，E 是 AB 上的动点 (点 E 不与 A，B 重合 )，在运动过程中始终保持DE CE，且 AD+DE=AB=a 。（1）求证： ADE BEC；（2）当点

12、E 为 AB 边的中点时 (如图 2)，求证： AD+BC=CD ； DE，CE 分别平分 ADC ， BCD ；（3）设 AE=m ，请探究： BEC 的周长是否与m 值有关，若有关请用含m 的代数式表示BEC 的周长；若无关请说明理由。【解】 （1）太简单，略。（2）过点 E 作梯形两底的平行线交腰CD 于 F，则 F 是 CD 的中点，则 EF 既是梯形ABCD 的中位线，又是RtDEC 斜边上的中线。根据各自的性质：AD+BC 2EF， CD2EF 所以AD+BC CD. 由 EFD 是等腰三角形（FDFE1CD2）得FDE FED 由 EFAD 可得ADE FED FDE ADE ，

13、即 DE 平分 ADC ；同理可证： CE 平分 BCD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载（ 3）设 AD x，由已知AD+DE AB=a 得 DE ax，又 AE m 在 RtAED 中，由勾股定理得：222xmax（ ）化简整理得：22am2ax在 EBC 中，由 AEm，AB a，得 BEam 因为 ADE BEC，所以ADAEDEBEBCEC，即：xmaxamBCEC，解得：ammamaxBC EC.xx（ ）（ ）（ ），所以 BEC 的周长 BE BCECammamaxamxx（ ）（

14、 ）（ ）（ ）maxam1xx（ ） amamx（ ）22amx把式代入，得BEC 的周长 BE BCEC2ax2ax，所以 BEC 的周长与m 无关。6.【05 河北 】如图 12，在直角梯形ABCD 中， AD BC， C 90， BC 16，DC12， AD21。动点 P从点 D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段CB 上以每秒1 个单位长的速度向点B 运动，点 P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点Q 运动到点B时，点 P随之停止运动。设运动的时间为t（秒） 。（ 1）设 BPQ 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（

15、2）当 t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（ 3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O，且 2AOOB 时，求 BQP 的正切值；（ 4）是否存在时刻t，使得 PQBD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。【解】 （1）如图 3，过点 P 作 PMBC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形。 PMDC12 QB 16t， S1212(16t) 96t （2）由图可知： CM PD2t，CQt。以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若 PQBQ。在 RtPMQ 中，22212PQt，由 PQ2BQ2得22212(16)tt，解得 t7

16、2； 若 BPBQ。在 RtPMB 中，222(162 )12BPt。由 BP2BQ2 得：A B Q C P D 图 10 A B M C D P Q 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载222(162 )12(16)tt即23321440tt。由于 7040 23321440tt无解，PBBQ 若 PBPQ。由 PB2PQ2，得222212(162 )12tt整理，得23642560tt。解得1216163tt，（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t71623t秒或秒时，以 B、P、Q

17、 三点为顶点的三角形是等腰三角形。（3）如图 4，由 OAP OBQ，得12APAOBQOBAP2t21，BQ 16t， 2(2t21)16t。t585。过点 Q 作 QEAD ，垂足为E，PD2t，EDQCt， PEt。在 RT PEQ 中， tanQPE123029QEPEt（4）设存在时刻t，使得PQBD 。如图5，过点Q 作QEADS ，垂足为E。由 RtBDCRtQPE，得DCPEBCEQ，即121612t。解得 t9 所以，当t9 秒时， PQBD 。7.【 05 河北课改 】图 15 1至 157 中的网格图均是20 20 的等距网格图（每个小方格的边长均为1 个单位长）。侦察兵

18、王凯在P 点观察区域MNCD 内的活动情况。当5 个单位长的列车（图中的）以每秒 1 个单位长的速度在铁路线MN 上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域 MNCD 内形成盲区 （不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车车头运行到M 点的时刻为0，列车从M 点向 N 点方向运行的时间为t（秒） 。 在区域 MNCD 内，请你针对图15 1，图 152，图 15 3，图 154 中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。 只考虑在区域ABCD 内开成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位） 。如图 155，当 5t 10 时，请你求出用t 表示 y 的函数关系式；

19、如图 156，当 10t15 时，请你求出用t 表示 y 的函数关系式；如图 157，当 15t20 时，请你求出用t 表示 y 的函数关系式；根据 中得到的结论，请你简单概括y 随 t 的变化而变化的情况。 根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD 内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题是额外加分，加分幅度为14 分） 。P A E D C Q B O 图 5 P A E D C Q B O 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载【解】 略 如图 6

20、，当 5t 10时，盲区是梯形AA1D1D O 是 PQ 中点，且OAQD，A1， A 分别是 PD1和 PD 中点A1A 是PD1D 的中位线。又 A1A5t， D1D)5(2 t而梯形 AA1D1D 的高 OQ=10，751510)5(2)5(21ttty7515ty 如图 7，当 10t 15 时，盲区是梯形A2B22C22D22，易知 A2B2是 PC2D2的中位线，且A2B2=5，C2D2=10 又梯形 A2B2C2D2的高 OQ=10，7510)105(21y75y如图 8，当 15 t20 时，盲区是梯形B3BCC3易知 BB3是PCC3的中位线且 BB3tt20)15(5又 梯

21、 形B3BCC3的 高OQ=10 ，ttty1530010)20(2)20(21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载ty15300当 5 t10 时，由一次函数7515ty的性质可知，盲区的面积由0 逐渐增大到75；当 10t15 时，盲区的面积y 为定值 75；当 15t20 时，由一次函数ty15300的性质可知，盲区的面积由75 逐渐减小到 0 通过上述研究可知，列车从 M 点向 N 点方向运行的过程中，在区域 MNCD 内盲区面积大小的变化是：在 0t10 时段内，盲区面积从0 逐渐增大到75

22、；在 10t15 时段内，盲区的面积为定值75；在 15t20 时段内，盲区面积从75 逐渐减小到0 8.【 05 黄岗】 如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、B、C 三点的坐标分别为A（18，0） ，B（18，6） ，C（8，6） ，四边形 OABC 是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒1 个单位，点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 求出直线 OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。 试在中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D 为顶点的三角形与AOC 全等，

23、请直接写出点D 的坐标。 设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。 设从出发起，运动了t 秒。当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。【解】 O、C 两点的坐标分别为O0 ,0，C6 ,8设 OC 的解析式为bkxy，将两点坐标代入得：43k，0b，xy43A，O 是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为180 xxayQP O C（8，6）B（18，6）A（18，0）x y 精选学习资料 - - - - -

24、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载再将 C6, 8代入得：403axxy20274032D6 ,10当 Q 在 OC 上运动时，可设Qmm43,，依题意有：222243tmmtm58， Qtt56,58，50t当 Q 在 CB 上时， Q 点所走过的路程为t 2， OC10， CQ102tQ 点的横坐标为228102tt， Q6 ,22t，105t 11 分梯形OABC 的周长为44，当 Q 点 OC 上时， P 运动的路程为t，则 Q 运动的路程为t22OPQ 中， OP 边上的高为：532221,5322tttOPQS梯形 O

25、ABC 的面积846101821，依题意有：2184532221tt整理得：0140222tt01404222，这样的t不存在当 Q 在 BC 上时， Q 走过的路程为t22， CQ 的长为：tt121022梯形 OCQP 的面积tt1022621 368421这样的t值不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q 两点同时平分梯形的周长和面积9.【 05 宁德 】如图，已知直角梯形ABCD 中， AD BC，B90o ，AB12cm，BC8cm,DC13cm，动点 P 沿 ADC 线路以 2cm/秒的速度向C 运动，动点Q 沿 BC 线路以 1cm/秒的速度向C 运动。 P、Q 两点分别从A

26、、B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止。设运动时间为t 秒， PQB 的面积为ym2。（1）求 AD 的长及 t 的取值范围；（2）当 1.5 tt0(t0为（ 1）中 t 的最大值 )时，求 y 关于 t 的函数关系式；（3）请具体描述：在动点P、Q 的运动过程中，PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载【解】（1）在梯形ABCD 中， AD BC、B90o过 D 作 DEBC 于 E 点AB DE 四边形ABED 为矩形DEAB 12cm

27、在 RtDEC 中， DE12cm， DC13cm EC5cm AD BEBCEC3cm 点 P 从出发到点C 共需31328（秒）点 Q 从出发到点C 共需8189 少）又 t0 ot8 （2）当 t 1.5（秒）时， AP3，即 P 运动到 D 点当 1.5t8 时，点 P 在 DC 边上PC162t 过点 P作 PMBC 于 Ag PMDE PCDCPMDE即162t13PM12 PM1213(162t) 又 BQt y12BQPM12t1213(162t)1213t29613t （3）当 0t1.5 时， PQB 的面积随着t 的增大而增大；当 1.5t4 时， PQB 的面积随着t

28、的增大而（继续）增大；当 4t8 时， PQB 的面积随着t 的增大而减小。10.【05 杭州 】在三角形ABC 中, 60 ,24,16OBBAcm BCcm.现有动点 P 从点A 出发 ,沿射线 AB 向点 B 方向运动 ;动点 Q 从点 C 出发 ,沿射线 CB 也向点 B 方向运动 .如果点 P 的速度是4cm/秒,点 Q 的速度是2cm/秒,它们同时出发,求: (1)几秒钟后 ,PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半? (2)在第 (1)问的前提下 ,P,Q两点之间的距离是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载【解】 （1） 2 秒或 12 秒钟后，PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半（2） PQ4 13或8 7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页