2022年中考数学冲刺复习资料二次函数压轴题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2015 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1如图，已知抛物线经过点A（ 1，0） 、 B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（0+1） （0 3）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（ x+1） （x3） =x2+2x

2、+3（2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC 的解析式： y=x+3已知点 M 的横坐标为m，MNy，则 M（m， m+3） 、N（m， m2+2m+3） ；故 MN=m2+2m+3（ m+3）=m2+3m（0m3） （3）如图； SBNC=SMNC+SMNB=MN（ OD+DB）=MN? OB， SBNC=（ m2+3m）?3=（ m）2+（0 m 3） ；当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为2如图，抛物线的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，已知B 点坐标为（ 4， 0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位

3、置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习好资料欢迎下载解： （1）将 B（4， 0）代入抛物线的解析式中抛物线的解析式为：y=x2x2（2）由（ 1）的函数解析式可求得：A（ 1，0） 、C（0， 2） ； OA=1， OC=2，OB=4，即： OC2=OA?OB，又： OCAB， OAC OCB，得： OCA=OBC； ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90 ， ABC 为直角三角形，AB 为

4、 ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0） （3）已求得： B（4，0） 、C（0， 2） ，可得直线BC 的解析式为：y=x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2x2，即：x22x2b=0，且 =0； 44 （ 2b）=0，即 b=4；直线l：y=x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2， 3） 过 M 点作 MNx 轴于 N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB= 2 （2+3）+ 2 3 2 4=4周长类6如图， RtABO 的两直角边OA

5、、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A、B 两点的坐标分别为（3，0） 、 （ 0，4） ，抛物线y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（ 2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1

6、0 页学习好资料欢迎下载（4）在（ 2） 、 （3）的条件下，若点M 是线段 OB 上的一个动点（点M 与点 O、B 不重合），过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t， PMN 的面积为 S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由解： （1）抛物线y=经过点 B（0，4） c=4，顶点在直线x=上，=， b=；所求函数关系式为；（2）在 Rt ABO 中， OA=3，OB=4， AB=，四边形ABCD 是菱形， BC=CD=DA=AB=5，C、D 两点的坐标分别是

7、（5，4） 、 （ 2，0） ，当 x=5 时，y=，当 x=2 时，y=，点 C 和点 D 都在所求抛物线上；（3）设 CD 与对称轴交于点P，则 P 为所求的点，设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，当 x=时， y=， P（） ，（4） MNBD， OMN OBD，即得 ON=，设对称轴交x 于点 F，则（PF+OM）?OF=（+t），SPNF= NF?PF= （t） =，S=（）=（0t4） ，a= 0抛物线开口向下，S存在最大值由SPMN=t2+t=（ t）2+，当 t=时， S取最大值是，此时，点M 的坐标为（ 0，） 精选学习资料 - - - - - - - -

8、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习好资料欢迎下载8在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，且点 A（0，2） ，点 C（ 1，0） ，如图所示：抛物线y=ax2+ax2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）过点 B 作 BDx 轴，垂足为D， BCD+ACO=90 ， ACO+CAO=90 ， BCD=CAO， （1 分）又 BD

9、C = COA=90 ，CB=AC， BCD CAO， （2 分） BD=OC=1，CD=OA=2， （3 分）点 B 的坐标为（ 3，1） ； （4 分）（2）抛物线 y=ax2+ax2 经过点 B（ 3，1） ，则得到 1=9a3a2， （ 5 分）所以抛物线的解析式为y=x2+x2； （7 分）（3）假设存在点P，使得 ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：若以点C 为直角顶点；则延长 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1， （8 分）过点 P1作 P1Mx 轴，CP1=BC， MCP1=BCD， P1MC=BDC=90 ， MP1C DBC （10

10、 分）CM=CD=2， P1M=BD=1，可求得点P1（1， 1） ； （11 分）若以点A 为直角顶点；则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2， （12 分）过点 P2作 P2Ny 轴，同理可证AP2N CAO， （13 分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1） ， （14 分）经检验，点P1（1， 1）与点 P2（2，1）都在抛物线y=x2+x2 上 （16 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习好资料欢迎下载综合类10如图，已知抛物线y=x2+bx

11、+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5， 0） ，另一个交点为A，且与 y 轴交于点C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作 MNy 轴交直线BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1， ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标解： （1）设直线 BC 的解析式为y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC 的解

12、析式为y=x+5；将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x26x+5；（2）设 M（x，x26x+5） （1x 5） ，则 N（x， x+5） ， MN=（ x+5）（ x26x+5）= x2+5x=（ x）2+，当 x=时， MN 有最大值；（3） MN 取得最大值时，x=2.5， x+5= 2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程x26x+5=0，得 x=1 或 5，A（1，0） ，B（5， 0） ， AB=51=4， ABN 的面积 S2= 4 2.5=5，平行四边形CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形

13、CBPQ 的边 BC 上的高为BD，则 BCBD BC=5， BC?BD=30， BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形BCBD， OBC=45 ， EBD=45 ， EBD 为等腰直角三角形，BE=BD=6， B（5， 0） ， E（ 1，0） ，设直线 PQ 的解析式为y=x+t，将 E（ 1，0）代入，得1+t=0，解得 t=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习好资料欢迎下载直线 PQ 的解析式为y=

14、x 1解方程组，得，点 P 的坐标为 P1（2， 3） （与点 D 重合）或 P2（3， 4） 11如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图象过点C（0，1） ，顶点为Q（ 2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO；（4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解： （1）

15、 C（0，1） ，OD=OC， D 点坐标为（ 1，0） 设直线 CD 的解析式为y=kx+b（k0 ） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得：，解得： b=1，k=1，直线 CD 的解析式为： y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习好资料欢迎下载将 C（0，1）代入得： 1=a （2）2+3，解得 a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45 ，OC=OD，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 ， ECD

16、=ODC ， CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，点 E 的坐标为（ 4，1） 如答图所示，设对称轴（直线x=2）与 CE 交于点 M，则 M（2， 1） ，ME=CM=QM=2， QME 与 QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45 ， QEC=QCE= ODC=OCD=45 ， CEQ CDO（4）存在如答图所示，作点C 关于直线QE 的对称点C ，作点 C 关于 x 轴的对称点C ，连接 C C ，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF

17、的周长等于线段CC 的长度（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F ，在线段 QE 上取异于点P 的任一点P，连接 FC ，FP，PC由轴对称的性质可知，P CF的周长 =FC+FP+ PC ；而 F C+F P+ P C是点 C， C 之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+ F P+ PCCC ，即 PCF 的周长大于 PCE 的周长）如答图所示，连接C E，C，C 关于直线 QE 对称， QCE 为等腰直角三角形， QC E 为等腰直角三角形， CEC为等腰直角三角形，点 C 的坐标为（ 4，5） ；C，C 关于 x 轴对称，点C 的坐标为（ 0， 1） 过点 C 作 C

18、Ny 轴于点 N，则 NC=4 ，NC=4+1+1=6 ，在 RtC NC 中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习好资料欢迎下载12如图，抛物线与x 轴交于 A（1，0） 、B（ 3，0）两点，与y 轴交于点 C（0，3） ，设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标（2）试判断 BCD 的形状，并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请直接写

19、出点P 的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y 轴交于点 C（ 0，3） ，可知 c=3即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3把点 A（1，0） 、点 B（ 3， 0）代入，得解得 a=1，b= 2 抛物线的解析式为y=x22x+3 y=x22x+3=（ x+1）2+4顶点 D 的坐标为（ 1，4） ；（2） BCD 是直角三角形理由如下：解法一：过点D 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为E、F在 RtBOC 中， OB=3， OC=3，BC2=OB2+OC2=18，在 RtCDF 中， DF=1，CF =OFOC=43=1， CD2

20、=DF2+CF2=2 在 RtBDE 中， DE=4，BE=OBOE=31=2， BD2=DE2+BE2=20BC2+CD2=BD2 BCD 为直角三角形（3） BCD 的三边，=，又=，故当 P 是原点 O 时， ACP DBC；当 AC 是直角边时，若AC 与 CD 是对应边，设P 的坐标是（ 0，a） ，则 PC=3a，=，即=，解得： a=9，则 P 的坐标是（ 0， 9） ，三角形ACP 不是直角三角形，则ACP CBD 不成立；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习好资料欢迎下载当 AC 是直角边，若A

21、C 与 BC 是对应边时，设P 的坐标是（ 0，b） ，则 PC=3b，则=，即=，解得： b=，故 P 是（ 0，）时，则ACP CBD 一定成立；当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 一定在 B 的左侧，设P 的坐标是（ d，0） 则 AP=1d，当 AC 与 CD 是对应边时，=，即=，解得： d=13，此时，两个三角形不相似；当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 一定在 B 的左侧，设P 的坐标是（ e，0） 则 AP=1e，当 AC 与 DC 是对应边时，=，即=，解得： e=9，符合条件总之，符合条件的点P 的坐标为：15如图，在坐标系xOy 中， ABC 是等

22、腰直角三角形，BAC=90 ，A（1，0） ，B（0，2） ，抛物线 y=x2+bx2 的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当 l 移动到何处时，恰好将ABC 的面积分为相等的两部分？解答：解： （1）如答图1 所示，过点C 作 CDx 轴于点 D，则 CAD +ACD =90 OBA+OAB=90 ， OAB+CAD=90 ， OAB=ACD， OBA=CAD在 AOB 与 CDA 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习好资料欢迎下载 AOB CDA（ASA） CD=OA=

23、1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1） 点 C（ 3，1）在抛物线y=x2+bx2 上，1= 9+3b 2，解得： b=抛物线的解析式为：y=x2 x2（2）在 Rt AOB 中， OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线 BC 的解析式为y=kx+b， B（0，2） ，C（3，1） ，解得 k=， b=2，y=x+2同理求得直线AC 的解析式为：y=x如答图 1 所示，设直线 l 与 BC、AC 分别交于点E、F，则 EF=（ x+2）（ x） =xCEF 中， EF 边上的高 h=ODx=3x由题意得： SCEF=SABC，即：EF?h=SABC，（ x）? （ 3x）= ，整理得：（3x）2=3，解得 x=3或 x=3+（不合题意，舍去） ，当直线l 解析式为x=3时，恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页