2022年不等关系与不等式经典教案 .pdf

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1、优秀教案欢迎下载不等关系与不等式【学习目标】1了解不等式(组)的实际背景2掌握比较两个实数大小的方法3掌握不等式的八条性质【学法指导】1 不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式 (组 )表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可2作差法是比较两个数(或式 )大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论3不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形一、知识温故1不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小

2、于大于等于小于等于至多至少不少于不多于2关于实数a、b大小的比较：ab0?；ab0?；ab0?. 3常用的不等式的基本性质(1)ab? ba(对称性 )；(2)ab，bc? ac(传递性)；(3)ab? acbc(可加性 )；(4)ab，c0? acbc；ab，cb，cd? acbd；(6)ab0，cd0? acbd；(7)ab0，nN，n2? anbn；(8)ab0，nN，n2?nanb.二、经典范例问题探究一实数比较大小问题 1(实数比较大小的依据 ) 在数轴上不同的点A 与点 B 分别表示两个不同的实数a 与 b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，

3、b 之间具有以下性质：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载如果 ab 是正数，那么；如果 ab 是负数，那么；如果 ab 等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即ab0? ab；ab0? ab；ab0? ab. 问题 2(作差法比较实数的大小 ) 向一杯 a 克糖水中加入 m克糖，糖水变得更甜了 你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论问题探究二不等式的基本性质问题 3

4、在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质请同学们借助前面的性质证明性质6：如果 ab0，cd0，那么 acbd. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载问题 4初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式 )的重要依据请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等

5、式基本性质的应用解不等式：16x34b，则 acbc2，则 ab；(3)若 ababb2；(4)若 cab0，则acabcb；(5)若 ab，1a1b，则 a0， b0. 小结在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定变式练习 5:判断下列各命题是否正确，并说明理由(1)若ca0，则 ab；(2)若 ab0 且 cd0，则ad bc；(3)若 ab，ab0，则1ab，cd，则 acbd. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

6、 - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载三、过关测试一、选择题1若 a， b，cR，ab，则下列不等式成立的是() A.1ab2C.ac21bc21Da|c|b|c| 2已知 a0，babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a3已知 a、 b 为非零实数，且ab，则下列命题成立的是() A a2b2Ba2bab2C.1ab21a2bD.baab4若 x(e1,1)， aln x，b2ln x，cln3x，则 () A abcBcabC bacDbc0，则下列不等式中正确的是() A ba0 Ba

7、3b30 C a2b20 6若 abc 且 abc 0，则下列不等式中正确的是() A abacBacbcC a|b|c|b| Da2b2c2二、填空题7若 1 a5， 1b 2，则 ab 的取值范围为 _8若 f(x)3x2x1， g(x) 2x2x1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是 _9若 xR，则x1x2与12的大小关系为_10设 n1，nN，Ann1，Bn1n，则 A 与 B 的大小关系为_三、解答题11设 ab0，试比较a2b2a2b2与abab的大小12设 f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中 x0 且 x 1，试比较f(x)与 g(x)的大小名师归纳总结 精品学

8、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载能力提升13若 0a1a2,0b1b，则下列不等式成立的是() A.1ab2C.ac21bc21Da|c|b|c| 2已知 a、b 为非零实数，且ab，则下列命题成立的是() Aa2b2Ba2bab2C.1ab21a2bD.baab3若 x(e1,1)，aln x，b 2ln x，c ln3x，则() AabcBcabCbacDbc0 且 a1，M loga(a31

9、)，Nloga(a21)，则 M，N 的大小关系为() AMNDMN5若 abc 且 ab c0，则下列不等式中正确的是() AabacBacbcCa|b|c|b| Da2b2c2 二、填空题6若 1a5， 1 b2，则 ab 的取值范围是_7若 xR，则x1x2与12的大小关系为 _8设 n1，nN，Ann1，Bn1n，则 A 与 B的大小关系为_三、解答题9比较 x61 与 x4x2的大小，其中xR. 10设 ab0，试比较a2b2a2b2与a ba b的大小11.已知 12a60,15b36，求 ab 及ab的取值范围四、探究与拓展12设 f(x)1 logx3，g(x)2logx2，其

10、中 x0 且 x1，试比较f(x)与 g(x)的大小名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载部分参考答案：问题 2：设原来 a 克糖水中含糖b 克，加入 m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为bab)证明如下：bmambaa(bm)b(am)a(am)m(ab)a(am)，又a，b，m均为正数且ab，ab0，m(ab)0 ，a(am)0，m(ab)a(am)0. 因此，bmamba

11、，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了问题 3：证明ab0c0?acbc0cd0b0?bcbd0?acbd.问题 4： 解16x3423x112? 2x98x1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)? 2x8x10 ( 不等式两边都加上9)? 10 x1 (不等式两边都乘以110，不等式方向改变 ) 变式练习1：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得60 x 70y500，x3且xN，y2且yN.变式练习2： (x31)(2x2 2x):x3 2x22x1 (x3x2) (x22x 1)x2(x1) (x1)2 (x1)(x2x1) (x1)(x12)234 ， (x12)2340，x1

12、 0， (x1)(x12)234 0， x3 12x22x. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载变式练习3：解(1)(a3)(a5)(a2)(a 4) (a22a15) (a22a8) 70. (a3)(a5)bc2知c0，c20，ab，故该命题为真命题(3)abaab；又abbb2， a2abb2，故该命题为真命题(4) ab0，ab，caab0，1(ca)(cb)0，在ca1

13、cb0，又ab0，acabcb. 故该命题为真命题(5) 由已知条件知ab?ab0，又1a1b?1a1b0?baab0，ab0，ba0，abb，a0，b0，故该命题为真命题变式练习5：解(1)ca0?1ab，故 (1) 错(2)ab0cd0?adbc0?ad bc成立，故 (2) 对(3) 错例如，当a1，b 1 时，不成立(4)错例如，当ac1，b d 2 时，不成立过关测试：1、答案C 解析对 A，若 a0b，则1a0，1b1b，A 不成立；对 B，若 a1，b 2，则 a2b，ac21bc21恒成立， C 正确；对 D，当 c0 时， a|c|b|c|，D 不成立名师归纳总结 精品学习资

14、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载2、答案D 解析取 a 2，b 2，则ab 1，ab212，abab2a. 3、答案C 解析对于 A，当 a0，b0 时， a2b2不成立；对于 B，当 a0 时， a2b0，ab20，a2bab2不成立；对于 C，a0，1ab21a2b；对于 D，当 a 1，b1 时，baab 1. 4、答案C 解析1ex1，1ln x0.令 tln x，则 1t0，ab.ca t3

15、tt(t21)t(t 1)(t1)，又1t0，0t11， 2t10，ca. cab. 5、答案D 解析由 a|b|得 ab0，且 ab0. ba0，故 B 错而 a2b2(a b)(a b)0，C 错6、答案A 解析由 abc 及 abc 0知 a0，c0，bc，abac.故选 A. 7、答案1,6解析1b2，2b1，又 1a5，1ab6. 8、答案f(x)g(x)解析f(x)g(x)x22x2(x1)210，f(x)g(x)9、答案x1 x212解析x1x2122x1x22 1x2 x122 1x2 0，x1x212. 10、答案AB 解析A1nn 1，B1n1n. nn1B. 11、解方法

16、一作差法a2b2a2b2a ba baba2b2 ab a2b2a2b2abab ab2 a2b2a2 b2ab2ab a bab a2b2 ab0，ab0，ab0,2ab0. 2ab abab a2b20，a2 b2a2b2abab. 方法二作商法 ab0，a2 b2a2 b20，a ba b0.a2b2a2b2a ba bab2a2b2a2b22aba2b212aba2b21.a2 b2a2 b2abab. 12、解f(x)g(x)1logx32logx2logx3x4，当0 x1，3x41，或x1，03x41，即 1x43时， logx3x40，f(x)g(x)；名师归纳总结 精品学习资

17、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载当3x41，即 x43时， logx3x40，即 f(x)g(x)；当0 x1，03x4 1，或x1，3x4 1，即 0 x1，或 x43时， logx3x40，即 f(x)g(x)综上所述，当1x43时，f(x) g(x) ；当x43时，f(x) g(x) ；当 0 x1，或x43时，f(x) g(x) 13、答案A 解析方法一特殊值法令 a114，a234，b114

18、， b234，则 a1b1a2b2101658，a1a2b1b261638，a1b2a2b161638，581238，最大的数应是a1b1a2b2. 方法二作差法 a1 a21b1b2且 0a1a2,0b1a1，b21b1b1， 0a112，0b10，a1b1a2b2a1b2 a2b1. (a1b1a2b2)122a1b112a1b1b1(2a11)12(2a1 1) (2a11) b1122 a112b1120，a1b1a2b212. 综上可知，最大的数应为a1b1 a2b2. 14、解5x2y2z2(2xy4x2z2) 4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2 (z1)2

19、0，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy12且 z1 时取到等号课后练习答案：1C2.C3.C4.C5.A6 1,67.x1x2128.AB9解x61(x4 x2)x6x4x21 x4(x2 1) (x21)(x2 1)(x41) (x2 1)2(x21)0. 当 x 1 时， x61x4x2；当 x 1 时， x61x4x2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载综上所

20、述， x61 x4 x2，当且仅当x 1 时取等号10解方法一作差法a2b2a2b2abab(ab)(a2b2)(ab)(a2b2)(a2b2)(ab)(ab)( ab)2(a2b2)(a2b2)(ab)2ab(ab)(ab)(a2b2). ab0，ab0，ab0,2ab0. 2ab(ab)(ab)(a2b2)0，a2b2a2b2a ba b. 方法二作商法ab0，a2b2a2b20，abab0. a2b2a2b2abab(ab)2a2b2a2b22aba2b212aba2 b21.a2b2a2b2a ba b. 11 解15b36， 36 b15. 1236a b6015，24ab45. 又

21、1361b115，1236ab6015，13ab4. 24ab45，13ab4. 12解f(x)g(x)1logx32logx2logx3x4，当0 x1，3x41，或x1，03x41，即 1x43时， logx3x40，f(x) g(x)；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载当3x41，即 x43时， logx3x40，即 f(x)g(x)；当0 x1，03x4 1，或x1，3x4 1，即 0 x1，或 x43时， logx3x40，即 f(x)g(x)综上所述，当1 x43时， f(x)g(x)；当 x43时， f(x)g(x)；当 0 x1，或 x43时， f(x)g(x)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -