2022年专题三柯西不等式的应用 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题三不等式的证明（柯西不等式）1下列不等式的证明明过程：若 a，b R，则若 x，yR，则；若 xR，则；若 a，b R，ab 0，则其中正确的序号是2设 a，bR+，a+b=1，则+的最小值为（）A.2+ B.2 C.3 D.3已知 a b0，cd0，则与的大小关系为4已知 a， b，cR，且 a+b+c=0，abc0，则+ +的值（）A.小于 0 B.大于 0 C.可能是 0 D.正负不能确定5若不等式（1）na2+对任意 nN*恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. 2，） B.（ 2，） C.3，） D.（ 3，）6设 a，b，c（， 0） ，则对于 a+ ， b+

2、，c+，下列正确的是都不大于 2 都不小于 2 至少有一个不小于 2 至少有一个不大于27定义在R 上的函数f （ x） =mx2+2x+n 的值域是0 ，+），又对满足前面要求的任意实数m， n 都有不等式恒成立，则实数a 的最大值为（）A.2013 B.1 C. D.8已知 a、 b、c 是 ABC的三边长， A=， B=，则（）A.AB B.AB C.AB D.AB9设正实数xyz、 、满足04322zyxyx，则当zxy取得最小值时，2xyz的最大值为（）A.0 B. 2 C . 98 D. 94名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心

3、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10设正实数zyx,满足04322zyxyx,则当zxy取得最大值时，zyx212的最大值为（）A0B1C49D311 （2012?湖北）设a，b， c，x，y，z 是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A. B. C. D.12用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A. B.3 C.4 D.513若23529xyz，则函数213456uxyz的最大值为（）A.5 B.2 15 C.2

4、30 D.3014对任意正数x， y 不等式（ k）x+ky恒成立，则实数k 的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.415已知 x2+4y2+kz2=36，且 x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（）A.1 B.4 C.8 D.916设 x、y、z 是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则 x+y+z 等于（）A. B. C. D.17已知 x，y，z 均为正数，且x+y+z=2，则+的最大值是（）A.2 B.2 C.2 D.318实数 ai（ i=1 ，2，3，4， 5，6）满足（ a2a1）2+（ a3a2）2+（ a4 a3）2+（ a5 a4）2+（a6a5

5、）2=1 则（ a5+a6）（a1+a4）的最大值为（）A.3 B.2 C. D.119设a，b，c，x，y，z均为正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz 20，则abcxyz 等于 ( ) A.14 B.13 C. 12 D.34名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载参考答案1、【解析】试题分析：依次分析4 个命题： a0，b 0 时，0，故不正确当x=，y=时，检

6、验不正确，利用基本不等式可得正确，综合可得答案解：当 a，bR且 a 0，b0 时，0，故不正确当 x=，y=时， lgx 和 lgy 都等于 lg2 ，小于 0，故不正确|=|x|+| 2=4，故正确若 a，bR，ab0，则，故正确故答案为、点评： 本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题2D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值解： a，bR+，a+b=1， a2+b2=12ab，又=a2+b2+5+26 2ab+2=6 2ab+2（ ab+2）=10，+，当且仅当= 时，等号成立，故+的最小值为，

7、故选： D点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题3【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论解：=因为 a b 0，cd0，所以， ac0，bd 0，ba0，又 c d0，则有 ac bd，即 ac bd，则 bd ac0，所以（ b+a） （ba）（ bdac） 0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以，=

8、0，即故答案为点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系4A【解析】试题分析：因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把a+b+c=0 变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断解： a+b+c=0，abc0，a，b，c 中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设 a0，b0，c 0由 a+b+c=0 得 a=（ b+c）代入得，+ =+ +， （ b）+（ c） （）4，即，=0，故选 A点评：本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条

9、件正确判断a，b， c 的符号5A【解析】试题分析：对n 进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决解：当 n 为正偶数时，a2恒成立，又2为增函数，其最小值为2=a当 n 为正奇数时，a2+ ，即 a 2恒成立而 2为增函数，对任意的正整数n，有 2 2，a 2故 a 2，） 点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题6【解析】试题分析：因为a，b，c（， 0） ，所以 a+b+ +c+ 6，再假设三个数都小于名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

10、 - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2，则 a+ +b+c+ 6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于2解：因为a，b， c（， 0） ，所以 a+ +b+ +c+ 6假设三个数都小于2则 a+ +b+ +c+ 6所以假设错误所以至少有一个不小于2故正确的序号为，故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题7A【解析】试题分析：根据已知条件可以得到m 0，mn=1 ，n0由已知的不等式可得：只要让小于等于的最 小 值即可因 为m ，n 0 ， 所以有=， 所以只要求的最大值即可，所以只要

11、求m2+n2的最小值即可，根据m2+n22mn=2知 m2+n2的最小值为2，这样即可求出的最小值为1，所以，所以就能得到a 的最大值了解：定义在R上的函数f （x）=mx2+2x+n 的值域是 0 ，+） ；m 0， mn=1 ， n0；=；m2+n22mn=2 ， 2+m2+n24，；即的最大值为1；，即的最小值是1；，a2013，实数a 的最大值为2013故选 A点评：考查二次函数： y=ax2+bx+c 值域的求法， 利用基本不等式： a+b，a2+b22ab 求最值8A名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载【解析】试题分析：由题意得 c a+b，故 B=，变形后再放大，可证小于 A解： a、b、c 是 ABC的三边长， ca+b，B=+=A，BA，故选 A 点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式9B【解析】试题分析： 由已知得1342344322xyyxxyyxxyyxyxxyz，yx2时等号成立，代入已知得2yz，则222=422(1)22xyzyyy。10 B 【解析】试题分析：134213414322xyyxxyyxyxyxxyzxy，当且仅当

13、yx2时成立，因此22222464yyyyz，所以11)11(1221222yyyzyx. 考点：（1）基本不等式的应用， （2）利用二次函数求最值。11 C【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可解：由柯西不等式得， （a2+b2+c2） （x2+y2+ z2）（ax+by+ cz）2，当且仅当时等号成立a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，等号成立=名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

14、 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故选 C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造12 C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数y=?，从而求得函数的最大值解 ： 由 柯 西 不 等 式 可 得 ， 函 数y=?=4，当且仅当=时，等号成立，故函数 y 的最大值为4，故选： C点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2（ a2+b2） （c2+d2） ，在求解函数最值中的应用，属于基础题13 C【解析】试题分析：由柯西

15、得不等式，222( 213456)(121134156)uxyzxyz122(111 )(223456)3(23511)3(2911)120 xyzxyz，2 30u，选 C.考点：柯西不等式.14 A【解析】试题分析：根据题意可得（k）x+ky2，不等式（ k）x+ky恒成立，可得2，化简可得（ 2k+1） （k1）0，由此求得k 的最小值解：由所给的选项可得k1，（ k）x+ky2，x、y 都是正实数，不等式（ k）x+ky恒成立，2， 2，化简可得（2k+1） （k 1）0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

16、 - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解得k（舍去），或 k1，故 k 的最小值为1，故选： A点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题15 D【解析】试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2） （1+ +）（ x+y+z）2，再根据 x+y+z 的最大值为 7，可得 36（ 1+ +）=49，由此求得正数k 的值解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2） （1+ + ）（ x+y+z）2，即 36 （1+ +）（ x+y+z）2再

17、根据 x+y+z 的最大值为7，可得 36（1+ + ）=49，求得正数k=9，故选： D点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题16 A【解析】试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2） （d2+e2+f2）（ ad+be+cf ）2，当且仅当等号成立解： x、y、z 是正数， x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，（ 22+22+12） （x2+4y2+9z2）=94（ 2x+4y+3z）2=36，可设， （k 为常数），代入 2x+4y+3z=6，得 k=，x+y+z=故选 A点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题17 C【解析】试题分析

18、： 利用柯西不等式，可得（1+2+3） （x+y+z）（+）2，结合 x+y+z=2，即可求出+的最大值解： x、y、z 是正数，（ 1+2+3） （x+y+z）（+）2，x+y+z=2，+=2，+的最大值是2故选： C名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题18 B【解析】试题分析：由柯西不等式可得： （a2a1）2+

19、（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1） （a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（ a5 a4）+（a6a5）2，结合条件，即可得出结论解：由柯西不等式可得： （a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2 （1+1+1+4+1） （ a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2= （a5+a6）（ a1+a4）2， （a5+a6）（ a1+a4）28，（ a5+a6）（ a1+a4）2，（ a5+a6）（ a1+a4）的最大值为2，故选 B点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题

20、的能力，利用 （a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（ a5 a4）2+（a6a5）2 （1+1+1+4+1） （ a2a1）+（a3a2）+（ a4a3） +2（a5a4）+（a6a5）2，是解题的关键19 C【解析】 柯西不等式， (axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2) 等号成立的条件是axbycz. 又a2b2c2 10，x2y2z240，axbycz20，(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2) ，因此axbycz12，故abcxyz 12.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -