2022年上海市高考数学试题卷文科 .pdf

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1、上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14 题，每小题4分，共 56 分） .1 （ 4 分） （2016?上海）设x R，则不等式 |x3|1 的解集为2 （ 4 分） （2016?上海）设z=，其中 i 为虚数单位，则z 的虚部等于3 （ 4 分） （2016?上海）已知平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0 ，则 l1，l2的距离4 （ 4 分） （2016?上海）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76则这组数据的中位数是（米）5 （4分） （2016?上海）若函数f（x）=4sinx+acosx 的最大值为5，

2、则常数 a=6 （ 4 分） （2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x） =1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x） =7 （ 4 分） （2016?上海）若x，y 满足，则 x2y 的最大值为8 （ 4 分） （2016?上海）方程3sinx=1+cos2x 在区间 0，2 上的解为9 （ 4 分） （2016?上海）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于10 （4 分） （2016?上海）已知 ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于11 （4 分） （2016?上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所

3、选的两种水果相同的概率为12 （4 分） （2016?上海）如图，已知点 O （0，0） ，A（1，0） ，B （0， 1） ，P 是曲线 y=上一个动点，则?的取值范围是13 （4 分） （2016?上海）设a0，b0若关于x，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围是14 （4 分） （2016?上海）无穷数列an由 k 个不同的数组成，Sn为an的前 n 项和，若对任意 n N*，Sn 2， 3，则 k 的最大值为二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否则一脸得零分）.15 （5 分） （2016?上海）设a R，则 “ a1” 是“ a21”

4、 的（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D 既非充分也非必要条件16 （5 分） （2016?上海）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）A直线 AA1 B直线 A1B1C直线 A1D1D直线 B1C117 （5 分） （2016?上海）设 a R， b 0， 2 ） ，

5、 若对任意实数x 都有 sin （3x） =sin（ax+b） ，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A1 B2 C3 D4 18 （5 分） （2016?上海）设f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题： 若 f（x） +g（x） 、f（x）+h（x） 、g（x） +h（x）均是增函数，则f（x） 、g（ x） 、h（ x）均是增函数； 若 f（x）+g（x） 、f（ x）+h（x） 、g（x）+h（x）均是以T 为周期的函数，则 f（x） 、 g（x） 、 h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 和 均为真命题B 和 均为假命题C 为真命

6、题， 为假命题D 为假命题， 为真命题三、简答题：本大题共5 题，满分74 分19 （12 分） （2016?上海）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与 OC 所成的角的大小20 （14 分） （2016?上海）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走 于是，菜地分别为两个区域S1和 S2， 其中 S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1和 S2的分界线C 上的点到河边与到F点

7、的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为 EF 的中点，点F 的坐标为（ 1，0） ，如图（1）求菜地内的分界线C 的方程；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - （2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是 S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为设M 是 C 上纵坐标为1 的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的 “ 经验

8、值 ” 21 （14 分） （2016?上海）双曲线x2=1（ b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线 l过 F2且与双曲线交于A、B 两点（1）若 l 的倾斜角为， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b=，若 l 的斜率存在，且|AB|=4 ，求 l 的斜率22（16 分）（ 2016?上海）对于无穷数列an与 bn ， 记 A=x|x=an， n N*， B=x|x=bn， n N*，若同时满足条件： an ，bn均单调递增； A B= ?且 AB=N*，则称 an与bn是无穷互补数列（1）若 an=2n1，bn=4n2，判断 an与bn是否为无穷互补数列，并说明理

9、由；（2）若 an=2n且 an与bn 是无穷互补数列，求数量bn 的前 16 项的和；（3）若 an与 bn 是无穷互补数列，an 为等差数列且a16=36，求 an 与bn的通项公式23 （18 分） （2016?上海）已知a R，函数 f（ x）=log2（+a） （1）当 a=1 时，解不等式f（x） 1；（2）若关于x 的方程 f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设 a0，若对任意t ，1，函数 f（x）在区间 t，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

10、- - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2016 年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 题，每小题4分，共 56 分） .1 （ 4 分） （2016?上海）设x R，则不等式 |x3|1 的解集为（ 2，4）【考点】 绝对值不等式【分析】 由含绝对值的性质得1x3 1，由此能求出不等式|x3|1 的解集【解答】 解： x R，不等式 |x3|1， 1x31，解得 2 x4不等式 |x3|1 的解集为（ 2，4） 故答案为：（ 2，4） 【点

11、评】 本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用2 （ 4 分） （2016?上海）设z=，其中 i 为虚数单位，则z 的虚部等于3【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 利用复数的运算法则即可得出【解答】 解： z=3i+2，则 z 的虚部为 3故答案为： 3【点评】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（4 分） （2016?上海）已知平行直线l1： 2x+y1=0， l2： 2x+y+1=0 ， 则 l1， l2的距离【考点】 两条平行直线间的距离【分析】 直接利用平行线之间的距离公式求解即可【解

12、答】 解：平行直线l1：2x+y1=0，l2：2x+y+1=0 ，则 l1， l2的距离：=故答案为：【点评】 本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力4 （ 4 分） （2016?上海）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76则这组数据的中位数是1.76（米） 【考点】 众数、中位数、平均数【分析】 将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可【解答】 解：将 5 位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，名师归纳总结 精品学习资料 -

13、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 故答案为： 1.76 【点评】 本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键5 （ 4 分） （2016?上海）若函数f（x） =4sinx+acosx 的最大值为5，则常数a= 3【考点】 两角和与差的正弦函数；三角函数的最值【分析】 利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得 a的值【解答】 解：由于函数f（ x）=4s

14、inx+acosx=sin（x+ ） ，其中， cos =，sin =，故 f（x）的最大值为=5， a= 3，故答案为： 3【点评】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题6 （ 4 分） （2016?上海）已知点（3，9）在函数f（x） =1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x） =log2（ x1） （ x1）【考点】 反函数【分析】 由于点（ 3，9）在函数 f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得 a=2可得 f（ x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换即可得出f（x）的反函数f1（x） 【解答】

15、解：点（ 3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，9=1+a3，解得 a=2f（x）=1+2x，由 1+2x=y，解得 x=log2（ y1） ， （y1） 把 x 与 y 互换可得： f（x）的反函数f1（x）=log2（x 1） 故答案为： log2（x1） ， （x1） 【点评】 本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （ 4 分） （2016?上海）若x，y 满足，则 x2y 的最大值为2【考点】 简单线性规划【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】 解：画出可行域（如图），设 z=x2y?

16、 y=xz，由图可知，当直线 l 经过点 A（0，1）时， z 最大，且最大值为zmax=02 1=2故答案为： 2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 【点评】 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8 （ 4 分） （2016?上海）方程3sinx=1+cos2x 在区间 0，2 上的解为或【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值【

17、分析】 利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可【解答】 解：方程3sinx=1+cos2x，可得 3sinx=22sin2x，即 2sin2x+3sinx2=0可得 sinx=2， （舍去） sinx=，x 0，2 解得 x=或故答案为：或【点评】 本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力9 （ 4 分） （2016?上海）在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112【考点】 二项式定理的应用【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8在展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项

18、【解答】 解：在（）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，2n=256，解得 n=8，（）8中， Tr+1=，当=0，即 r=2 时，常数项为T3=（ 2）2=112故答案为： 112名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题10 （4 分） （2016?上海）已知 ABC 的三边长分

19、别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于【考点】 解三角形的实际应用【分析】 可设 ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值【解答】 解：可设 ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=，可得 sinC=，可得该三角形的外接圆半径为=故答案为：【点评】 本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题11 （4 分） （2016?上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的

20、两种水果相同的概率为【考点】 古典概型及其概率计算公式【分析】 利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案【解答】 解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种两同学相同的选法种数为由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为故答案为：【点评】 本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

21、- 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 （4 分） （2016?上海）如图，已知点 O （0，0） ，A（1，0） ，B （0， 1） ，P 是曲线 y=上一个动点，则?的取值范围是，【考点】 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】 设出=（x，y） ，得到?=x+，令 x=sin ，根据三角函数的性质得到?=sin +cos =sin（ +） ，从而求出?的范围即可【解答】 解：设=（ x，y） ，则=（x，） ，由 A（1，0） ，B（0， 1） ，得：=（1，1） ，?=x+，令 x=sin ，则?=sin +cos =sin（ +） ，故?的范

22、围是 ，故答案为： ，【点评】 本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题13 （4 分） （2016?上海）设a0，b0若关于x，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围是（2，+）【考点】 参数方程化成普通方程【分析】 根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b 的关系，再使用基本不等式得出答案【解答】 解：关于x， y 的方程组无解，直线 ax+y1=0 与直线 x+by1=0 平行， a=，且即 a=且 b 1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

23、 - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - a0，b0 a+b=b+2故答案为：（ 2，+） 【点评】 本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题14 （4 分） （2016?上海）无穷数列an由 k 个不同的数组成，Sn为an的前 n 项和，若对任意 n N*，Sn 2， 3，则 k 的最大值为4【考点】 数列与函数的综合【分析】 对任意 n N*，Sn 2 ，3，列举出n=1，2，3，4 的情况，归纳可得n 4 后都为 0或 1 或 1，则 k 的最大个数为4【解答】 解：对任意n N*， Sn 2 ，3，可得当 n=1 时， a1=S1=

24、2 或 3；若 n=2，由 S2 2，3 ，可得数列的前两项为2，0；或 2，1；或 3， 0；或 3， 1；若 n=3，由 S3 2，3 ，可得数列的前三项为2，0，0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1， 1；或 3，0，0；或 3，0， 1；或 3，1，0；或 3，1， 1；若 n=4，由 S3 2，3 ，可得数列的前四项为2，0，0，0；或 2，0，0， 1；或 2，0，1，0；或 2，0， 1， 1；或 2，1，0，0；或 2，1，0， 1；或 2，1， 1，0；或 2，1， 1， 1；或 3，0，0，0；或 3，0，0， 1；或 3，0， 1，0；或 3，0， 1， 1；或

25、 3， 1，0，0；或 3， 1，0，1；或 3， 1，1，0；或 3， 1，1， 1；即有 n 4后一项都为0 或 1 或 1，则 k 的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1， 1，或 3，0，1， 1故答案为： 4【点评】 本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否则一脸得零分）.15 （5 分） （2016?上海）设a R，则 “ a1” 是“ a21” 的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D 既非充分也非必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件

26、的判断【分析】 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】 解：由 a21 得 a1 或 a 1，即“ a 1” 是“ a21” 的充分不必要条件，故选： A【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础16 （5 分） （2016?上海）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

27、- - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - A直线 AA1 B直线 A1B1C直线 A1D1D直线 B1C1【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系【分析】 根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项【解答】 解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF 为异面直线；B1C1和 EF 在同一平面内，且这两直线不平行；直线 B1C1和直线 EF 相交，即选项D 正确故选： D【点评】 考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断

28、，并熟悉正方体的图形形状17 （5 分） （2016?上海）设 a R， b 0， 2 ） ， 若对任意实数x 都有 sin （3x） =sin（ax+b） ，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A1 B2 C3 D4 【考点】 终边相同的角【分析】 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同【解答】 解：对于任意实数x 都有 sin（3x）=sin（ax+b） ，则函数的周期相同，若a=3，此时 sin（3x）=sin（3x+b ） ，此时 b=+2 =，若 a=3，则方程等价为sin（3x）=sin（ 3x+b）=sin（3xb）=sin（ 3xb+ ） ，则b+ ，则 b=，综上满

29、足条件的有序实数组（a，b）为（ 3，） ， （ 3，） ，共有 2 组，故选： B【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键18 （5 分） （2016?上海）设f（x） 、g（x） 、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题： 若 f（x） +g（x） 、f（x）+h（x） 、g（x） +h（x）均是增函数，则f（x） 、g（ x） 、h（ x）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

30、- - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 均是增函数； 若 f（x）+g（x） 、f（ x）+h（x） 、g（x）+h（x）均是以T 为周期的函数，则 f（x） 、 g（x） 、 h（x）均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 和 均为真命题B 和 均为假命题C 为真命题， 为假命题D 为假命题， 为真命题【考点】 复合命题的真假【分析】 举反例说明命题不成立； 根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T） ，f（x）+h（x）=f （x+T ）+h（x+T） ，h（x）+g（ x）=h（ x+T）+g（x+T ） ，由此得出： g（

31、x） =g（x+T ） ，h（x）=h（x+T） ，f（x）=f（x+T） ，即可判断出真假【解答】 解：对于 ，举反例说明：f（ x）=2x，g（x） =x，h（x） =3x；f（x） +g（x） =x，f（x）+h（ x）=5x，g（x）+h（x） =2x 都是定义域R 上的增函数，但g（x）=x 不是增函数，所以 是假命题；对于 ，f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T） ，f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T） ，h（ x）+g（ x）=h（x+T ）+g（x+T） ，前两式作差可得：g（x） h（x）=g（x+T）h（x+T） ，结合第三式可得：g（x）=g（ x+T）

32、 ，h（x）=h（x+T ） ，同理可得： f（x）=f（x+T） ，所以 是真命题故选： D【点评】 本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目三、简答题：本大题共5 题，满分74 分19 （12 分） （2016?上海）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与 OC 所成的角的大小【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可（2）设

33、点 B1在下底面圆周的射影为B，连结 BB1，即可求解所求角的大小【解答】 解： （1）将边长为1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：? 12?1= 侧面积为： 2? 1=2 （2）设点 B1在下底面圆周的射影为B，连结 BB1， OB，则 OBO1B， AOB=，异面直线O1B1与 OC 所成的角的大小就是COB，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 大小

34、为：=【点评】 本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （14 分） （2016?上海）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走 于是，菜地分别为两个区域S1和 S2， 其中 S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1和 S2的分界线C 上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为 EF 的中点，点F 的坐标为（ 1，0） ，如图（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是 S2面积的两倍，由此得到S

35、1面积的经验值为设M 是 C 上纵坐标为1 的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的 “ 经验值 ” 【考点】 圆锥曲线的轨迹问题【分析】（1）设分界线上任意一点为（x， y） ，根据条件建立方程关系进行求解即可（2）设 M（x0，y0） ，则 y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可【解答】 解： （1）设分界线上任意一点为（x，y） ，由题意得 |x+1|=，得y=2， （0 x 1） ，（2）设 M（x0，y0） ，则 y0=1，x0=，设所表述的矩形面积为S3，则 S3=2 （+1）

36、=2 =，设五边形 EMOGH 的面积为S4，则 S4=S3SOMP+SMGN= 1+=，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - S1 S3=，S4S1=，五边形 EMOGH 的面积更接近S1的面积【点评】 本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强， 难度较大21 （14 分） （2016?上海）双曲线x2=1（ b0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线 l过 F2且与双曲线交

37、于A、B 两点（1）若 l 的倾斜角为， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设 b=，若 l 的斜率存在，且|AB|=4 ，求 l 的斜率【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质【分析】（1）由题意求出A 点纵坐标，由F1AB 是等边三角形，可得tanAF1F2=tan=，从而求得b 值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线l 的方程 y0=k（x2） ，即 y=kx 2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k 值【解答】 解： （1）若 l 的倾斜角为，F1AB 是等边三角形，把 x=c=代入双曲线的方程可得点A 的纵坐标为b2，由 tanAF1F2=t

38、an=，求得 b2=2， b=，故双曲线的渐近线方程为y= bx=x，即双曲线的渐近线方程为y=x（2）设 b=，则双曲线为x2=1，F2（2，0） ，若 l 的斜率存在，设l 的斜率为k，则 l 的方程为y0=k（x2） ，即 y=kx2k，联立，可得（ 3k2）x2+4k2x4k23=0，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 由直线与双曲线有两个交点，则3k2 0，即 k=36（1+k2） 0

39、 x1+x2=，x1?x2=|AB|=?|x1x2|=?=?=4，化简可得， 5k4+42k2 27=0，解得 k2=，求得 k=l 的斜率为【点评】 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“ 设而不求 ” 的解题思想方法，是中档题22（16 分）（ 2016?上海）对于无穷数列an与 bn ， 记 A=x|x=an， n N*， B=x|x=bn， n N*，若同时满足条件： an ，bn均单调递增； A B= ?且 AB=N*，则称 an与bn是无穷互补数列（1）若 an=2n1，bn=4n2，判断 an与bn是否为无穷互补数列，并说明理由

40、；（2）若 an=2n且 an与bn 是无穷互补数列，求数量bn 的前 16 项的和；（3）若 an与 bn 是无穷互补数列，an 为等差数列且a16=36，求 an 与bn的通项公式【考点】 数列的应用；数列的求和【分析】（1）an与bn不是无穷互补数列由4?A，4?B，4?AB=N*，即可判断；（2）由 an=2n，可得 a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20 ，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得 d=1 或 2，讨论 d=1，2 求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式【解答】 解： （1）

41、 an 与bn 不是无穷互补数列理由：由an=2n1，bn=4n2，可得 4?A，4?B，即有 4?AB=N*，即有 an与bn不是无穷互补数列；（2）由 an=2n，可得 a4=16，a5=32，由an与 bn是无穷互补数列，可得b16=16+4=20 ，即有数列 bn 的前 16 项的和为（1+2+3+ +20）（ 2+4+8+16 ）= 2030=180；（3）设 an为公差为d（d 为正整数）的等差数列且a16=36，则 a1+15d=36，由 a1=36 15d 1，可得 d=1 或 2，若 d=1，则 a1=21，an=n+20，bn=n（1 n 20） ，与an与 bn是无穷互补

42、数列矛盾，舍去；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 若 d=2，则 a1=6，an=2n+4， bn=综上可得， an=2n+4，bn=【点评】 本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题23 （18 分） （2016?上海）已知a R，函数 f（ x）=log2（+a） （1）当 a=1 时，解不等式f（x） 1；（2）若关于x 的方程

43、f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设 a0，若对任意t ，1，函数 f（x）在区间 t，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围【考点】 函数的最值及其几何意义；一元二次不等式；指、对数不等式的解法【分析】（1）当 a=1 时，不等式f（x） 1 化为： 1，因此2，解出并且验证即可得出（2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（+a）+log2（x2）=0， （+a）x2=1，化为： ax2+x1=0，对 a 分类讨论解出即可得出（3） a0， 对任意 t ， 1， 函数 f （x） 在区间 t， t+1上单调递减， 由题

44、意可得 1，因此 2，化为： a=g（t） ，t ，1，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】 解： （1）当 a=1 时，不等式f（x） 1 化为：1，2，化为：，解得 0 x1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1） （2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1，化为： ax2+x1=0，若 a=0，化为 x1=0，解得 x=1，经过验证满足：关于x 的方程 f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素1若 a 0，令 =1+4a=0，解得 a=，解得 x=2经过验证满足：关于x 的方程 f（x）+log2（x

45、2） =0 的解集中恰有一个元素1综上可得： a=0 或名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - （3）a0，对任意t ， 1，函数 f（x）在区间 t，t+1上单调递减， 1， 2，化为： a=g（t） ，t ，1，g （t）=0，g（t）在 t ，1上单调递减，t=时， g（t）取得最大值，=a 的取值范围是【点评】 本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、 利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -