2022年三角函数对称轴与对称中心 .pdf

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1、学习必备欢迎下载三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴： x=k+/2（kz) 对称中心： (k ，0）（ kz)y=cosx 对称轴： x=k（kz) 对称中心：（k+/2 ，0）(kz) y=tanx 对称轴：无对称中心：（k ，0）(kz) 两角和与差的三角函数cos( +)=coscos-sin sin cos( -)=coscos+sin sin sin( )=sin coscossin tan( +)=(tan +tan)/(1-tan tan )tan( -)=(tan -tan )/(1+tan tan )和差化积公式sin +sin =2sin( +)/2cos(-)/

2、2sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2cos -cos= -2sin( +)/2sin(-)/2积化和差公式sin cos=(1/2)sin(+)+sin( -)cossin =(1/2)sin(+)-sin( -)coscos=(1/2)cos(+)+cos( -)sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( -)倍角公式sin(2 )=2sin cos=2/(tan +cot )cos(2 )=cos² -sin² =2cos²-1=1- 2sin² tan(2 )=2t

3、an /(1 -tan² )cot(2 )=(cot² -1)/(2cot)sec(2 )=sec² /(1 -tan² )csc(2 )=1/2*sec csc三倍角公式sin(3 ) = 3sin-4sin³ = 4sin sin(60 +)sin(60 -)cos(3 ) = 4cos³ -3cos = 4cos cos(60+)cos(60 -)tan(3 ) = (3tan-tan³ )/(1-3tan² ) = tantan( /3+)tan( /3-)cot(3 )=(cot³ -3cot

4、)/(3cot-1) n 倍角公式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载sin(n )=ncos(n-1)sin -C(n,3)cos(n-3)sin3 +C(n,5)cos(n-5)sin5 -cos(n )=cosn -C(n,2)cos(n- 2)sin2 +C(n,4)cos(n-4)sin4 -半角公式sin( /2)= (1-cos)/2)cos( /2)= (1+cos

5、)/2)tan( /2)= (1-cos)/(1+cos )=sin /(1+cos )=(1-cos)/sin cot( /2)= (1+cos )/(1-cos)=(1+cos )/sin =sin /(1-cos)sec( /2)= (2sec /(sec +1)csc( /2)= (2sec /(sec -1) 辅助角公式Asin+Bcos=(A²+B²)sin( +arctan(B/A)Asin+Bcos=(A²+B²)cos( -arctan(A/B) 万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan²(a/2)cos(a

6、)= (1-tan²(a/2)/(1+tan²(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan²(a/2) 降幂公式sin& sup2; =(1-cos(2 )/2=versin(2)/2cos²=(1+cos(2 )/2=covers(2)/2tan² =(1-cos(2 )/(1+cos(2)三角和的三角函数sin( +)=sin coscos+cossin cos+coscossin -sin sin sin cos( +)=coscoscos-cossin sin -sin cossin -sin sin costan(

7、+)=(tan +tan+tan-tan tan tan ) (1-tan tan -tan tan -tan t角的三角函数值正弦余弦正切余切0 0 1 0 不存在/6 1/2 3/23/33/4 2/22/21 1 /3 3/21/2 33/2 1 0 不存在0 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.)c0+c1(

8、x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x -a)n (n=0.)它们的各项都是正整数幂的幂函数 , 其中 c0,c1,c2,.cn.及 a 都是常数 , 这种级数称为幂级数 . 泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.+f(n)(a)/n!*(x-a)n+实用幂级数：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!+ ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+( -1)(k-1)*(xk)/k (|x|1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-+( -1)(k-1)*(x(2k-1)/

9、(2k-1)!+ . (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+( -1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x 1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+( -1)(k-1)*(x2k-1)/(2k-1)!+ (-x)cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)k*(x2k)/(2k)!+(-x

10、)arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - (|x|1)arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + (|x|1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中， 往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。傅立叶级数傅里叶级数 又称三角级数f(x)=a0/2+ (n=0. ) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/( .-) (f(x)dxan=1/( .-) (f(x)cosnx)dxbn=1/( .-) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负余弦第一

11、，四象限为正第二，三象限为负正切第一，三象限为正第二，四象限为负编辑本段相关概念三角形与三角函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中 R 为外接圆的半径)2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB + b cosC 3

12、、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍，即 a2=b2+c2-2bc cosA 4、正切定理 (napier 比拟 )：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（ a-b ）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC, 总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明 : 已知 (A+B)=( -C) 所以 tan(A+B)=tan( -C) 则(tanA+tanB)/(1-tanA

13、tanB)=(tan -tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地 ,我们同样也可以求证:当 +=n(nZ)时，总有tan +tan +tan =tan tan tan 三角函数图像：定义域和值域sin(x),cos(x) 的定义域为R,值域为 -1,1 tan(x) 的定义域为x 不等于 /2+k ,值域为 R cot(x) 的定义域为x 不等于 k, 值域为 R y=a sin(x)+b cos(x)+c 的值域为 c- (a²+b²) , c+(a²+b² ） 初等三角函数导数三角函数图

14、像y=sinx-y=cosxy=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/cos2x =sec2x y=cotx-y= -1/sin2x = - csc2x 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx- y=1/ (1 -x²) y=arccosx-y= -1/ (1 -x²

15、;) y=arctanx-y=1/(1+x²) y=arccotx-y= -1/(1+x²) 倍半角规律如果角 a 的余弦值为1/2 ，那么 a/2 的余弦值为 3/2反三角函数三角函数的 反函数 ，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x ，反余弦Arccos x ，反正切Arctan x ，反余切 Arccot x 等，各自表示其正弦、余弦、 正切、余切、 正割、 余割为 x 的角。为限制 反三角函数 为单值函数，将反正弦函数的值y 限在 y=- /2 y/2，将 y 为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x ；相应地，反余弦函数y=arccos x 的主值限在0y

16、；反正切函数 y=arctan x的主值限在 -/2y/2 ；反余切函数y=arccot x的主值限在0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。其概念首先由欧拉 提出，并且首先使用了arc+ 函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). 反三角函数主要是三个：y=arcsin(x) ，定义域 -1,1，值域 -/2, /2 ，图象用红色线条；y=arccos(x) ，定义域 -1,1 ，值域 0, ，图象用兰色线条；y=arctan(x) ，定义域 (-,+ )，值域 (-/2, /2) ，图象用绿色线条；si

17、narcsin(x)=x, 定义域 -1,1, 值域【-/2, /2】证明方法如下：设arcsin(x)=y, 则 sin(y)=x , 将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得。编辑本段高等数学内容总体情况高等代数 中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinz=e(iz)-e(-iz)/(2i) cosz=e(iz)+e(-iz)/2 tanx=e(iz)-e(-iz)/ie(iz)+ie(-iz) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z) 1z/1！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！ 此时三角函数定义域 已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解：对于微

18、分方程组y=-y;y=y ，有通解Q,可证明名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数 ，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。: 复数域内正余弦函数的性质（1）对于 z 为实数 y 来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。（2）复数域内正

19、余弦函数在z 平面是解析的。（3）在复数域内不能再断言|sinz| 1,|cosz| 1。（4）sinz 、cosz 分别为 奇函数 ，偶函数 ，且以 2为周期。编辑本段三角函数的性质定理三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。正弦定理于边长为a, b 和 c 而相应角为A, B 和 C 的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 其中 R 是三角形的外接圆半径。它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数(sinA)/a 是通过

20、 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（ 1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。余弦定理对于边长为a, b 和 c 而相应角为A, B 和 C 的三角形，有：c2=a2 b2 2ab cosC.也可表示为：cosC= （a2 b2c2 ）/ 2ab. 这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。正切定理对于边长为a, b 和 c 而

21、相应角为A, B 和 C 的三角形，有：(a+b)/(a-b) = tan(A+B)/2/tan(A-B)/2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载编辑本段三角函数在解三次方程中的应用一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。一元三次方程aX3 bX2 cXd=0 ，（ a，b，c，dR，且 a0 ）重根判别式：A=b2 3ac；B=bc 9ad ；C=c2

22、 3bd。总判别式： =B24AC 。当 =B2 4AC 0 时， 盛金公式 ：X=( b2A(1/2)cos( /3)/(3a)；X(2，3)=( b A(1/2)(cos(/3) 3(1/2)sin(/3)/(3a)，其中 =arccosT，T=(2Ab 3aB)/(2A(3/2) ， (A0， 1T1)。在利用 卡尔丹公式 解三次方程时，对于x3+px+q=0 ，有x1=( -p/3)cos( /3)x2=( -p/3)cos( /3+2/3)x3=( -p/3)cos( /3+4/3)对于一般的方程ax3+bx2+cx+d=0，只需令x=y-b/(3a) 即可化为上式求解。例：一建筑物

23、的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为 70.5dm （为了减少占用楼顶面积，取长高宽），满储水量为10082.44(dm)3，立体对角线为1903.17dm ，问：如何施工才能达到设计要求？解：设取长、宽、高分别为X、 X、 X，依题意：X X X=70.5 ；X X X=10082.44 ；X2X2X2=1903.17 。解这个方程组。根据韦达定理，得一元三次方程：X3 70.5X2 1533.54X 10082.44=0 a=1 ，b=70.5 ， c=1533.54 ，d=10082.44 。A=369.63 ；B=17372.61 ；C=219308.8716，=22444974.63 0。根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。应用盛金公式求解。=90 。把有关值代入盛金公式，得：X=12.4(dm) ；X=34.6(dm) ；X=23.5(dm) 。经检验，结果正确。因为取长高宽，所以，应取长为34.6dm ；高为 23.5dm ；宽为 12.4dm 来进行施工。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -