2022年三角函数在实际中的应用 .pdf

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1、精品资料欢迎下载专题 3 锐角三角函数在实际中的应用解题技巧：1如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）；2在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。一仰角、俯角问题1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离 （AB） 是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30 ； 小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离 （CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45 两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点B、D、F 在同一直线上） （1）求小敏到旗杆的距离DF （

2、结果保留根号）（2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据： 1.4， 1.7）2如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A 处，由于点 A 上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B 处或 C 处挖掘，从 B 处挖掘时，最短路线BA 与地面所成的锐角是 56 ， 从 C 处挖掘时，最短路线 CA 与地面所成的锐角是30 ， 且 BC=20m，若考古人员最终从B 处挖掘，求挖掘的最短距离 （参考数据： sin56 =0.83，tan561.48， 1.73，结果保留整数）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学

3、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3 (2014 潍坊 )如图，某海域有两个海拔均为200 米的海岛A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45 ，然后沿平行于AB 的方向水平飞行1.99 104米到达点 D 处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是 60 ，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆 PQ 立在山坡上， 从地面的点 A 看，测得杆顶端点 A 的仰角为 45 ，向前走 6m到达点 B，

4、又测得杆顶端点P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60 和 30 ，（1）求BPQ 的度数；（2）求该电线杆 PQ的高度（结果精确到1m）5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B 的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C 处测得端点 A 的俯角为 60 ，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500 米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 45 ，已知岛屿两端 A、B 的距离 541.91米，求飞机飞行的高度（结果精确到1 米，参考数据： 1.73， 1.41）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

5、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载6 (2015 丹东 10 分)如图， 线段 AB ，CD 表示甲、 乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是 60 米某人站在 A 处测得 C 点的俯角为37 ，D 点的俯角为48 (人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据： sin37 35，tan3734， sin48 710，tan481110) 7.如图，一楼房 AB 后有一假山，其斜坡CD 坡比为 1：，山坡坡面上点E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离 BC=6 米，与亭

6、子距离 CE=20 米，小丽从楼房顶测得点 E 的俯角为 45 （1）求点 E 距水平面 BC 的高度；（2）求楼房 AB 的高 （结果精确到 0.1 米，参考数据 1.414， 1.732）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载8如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF3700 米，从飞机上观测山顶目标 C 的俯角是 45 ，飞机继续以相同的高度飞行300

7、 米到 B 处，此时观测目标C 的俯角是50 ，求这座山的高度CD.(参考数据： sin50 0.77， cos500.64， tan501.20)9.（2015?荆门）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的 B 处沿南偏西 60 方向前进实施拦截， 红方行驶 1000米到达 C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45 方向前进了相同的距离，刚好在 D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离（结果不取近似值）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

8、 - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载10（2015?达州）学习 “ 利用三角函数测高 ” 后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角 AFH=30 ；（2）在测点 C 与山脚 B 之间的 D 处安置测倾器（ C、D 与 B 在同一直线上，且C、D 之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E 的仰角 EGH=45 ；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5 米，并测得 CD 之间的距离为 288

9、米；已知红军亭高度为12 米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB （取1.732，结果保留整数）11 （2015?河南）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30 ，朝大树方向下坡走6 米到达坡底A 处，在 A 处测得大树顶端B 的仰角是 48 ，若坡角 FAE=30 ，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin480.74，cos480.67，tan481.11， 1.73）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

10、- - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载12 （2014?河南）在中俄 “ 海上联合 2014” 反潜演习中，我军舰A 测得潜艇 C 的俯角为30 ，位于军舰 A 正上方 1000 米的反潜直升机 B 测得潜艇 C 的俯角为 68 ，试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度（结果保留整数， 参考数据：sin680.9， cos680.4，tan682.5，1.7）二坡度、坡角问题13如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角 BAE45 ，坝高 BE20 米汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A 处向后水平延伸

11、到F 处，使新的背水坡BF 的坡角 F30 ，求 AF 的长度 (结果精确到1 米，参考数据：21.414 ，31.732)114(2014 山西 )如图，点A、B、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB， BC 表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ，BB， CC分别为110 米， 310米， 710 米，钢缆AB 的坡度 i112，钢缆 BC 的坡度 i211，景区因改造缆车线路，需要从A 到C 直线架设一条钢缆， 那么钢缆AC 的长度是多少米？(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

12、 - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载15 （2015?广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i=1：10（即 EF：CE=1：10） ，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即 CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为 ，已知 tan =，升旗台高AF=1m ，小明身高CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度三方向角问题16如图，小岛在

13、港口 P的北偏西 60 方向，距港口 56海里的 A 处，货船从港口 P 出发，沿北偏东 45 方向匀速驶离港口 P， 4小时后货船在小岛的正东方向 求货船的航行速度 （精确到 0.1 海里/时，参考数据： 1.41， 1.73）17某海域有A、B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西30 的方向上，距A 港口 60 海里有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75 方向的 C 处求该船与B港口之间的距离即CB 的长 (结果保留根号)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

14、- - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载18.如图，要测量A 点到河岸 BC 的距离，在B 点测得 A 点在 B 点的北偏东30 方向上，在C 点测得 A 点在 C 点的北偏西45 方向上， 又测得 BC150 m求 A 点到河岸BC 的距离 (结果保留整数)(参考数据：21.41 ，31.73)19.(20XX 年河南省 )我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图

15、，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角68BAE，新坝体的高为 DE ，背水坡坡角60DCE。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC .(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin680.93,cos680.37, tan682.50,31.73）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载答案1考点 :解直角三角形的应用 -仰角俯角问题分析:（1）过点 A 作 AM EF 于点 M，过

16、点 C 作 CNEF 于点 N设 CN=x，分别表示出 EM、AM 的长度，然后在 RtAEM 中，根据 tanEAM=，代入求解即可；（2）根据（ 1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解解： （1）过点 A 作 AM EF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N，设 CN=x，在 RtECN 中，ECN=45 ，EN=CN=x，EM=x+0.71.7=x1，BD=5，AM=BF=5+x ，在 RtAEM 中，EAM=30=，x1=（x+5） ，解得：x=4+3，即 DF=（4+3） （米） ；（2）由（1）得：EF=x+0.7=4+0.7 4+3 1.7+0.7 9.8 10（米

17、） 答：旗杆的高度约为10米点评: 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解考点:解直角三角形的应用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2 分析:作 ADBC 交 CB 延长线于点 D， 线段 AD 即为文物在地面下的深度 设 AD=x 通过解直角 ABD 求得 BD=；通过解直角 ACD 求得 CD=x，由此列出关于 x的方程，

18、通过方程求得AD 的长度最后通过解直角三角形ABD 来求 AB 的长度即可解：作 ADBC 交 CB 延长线于点 D，线段 AD 即为文物在地面下的深度根据题意得 CAD=30 ，ABD=56 设 AD=x 在直角ABD中，ABD=56，BD=在直角ACD 中， ACB=30 ，CD=AD=x，x=+20解得 x 18.97，AB= 23答：从 B 处挖掘的最短距离为23 米点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、 余弦概念及运算， 关键把实际问题转化为数学问题加以计算3 【思路分析 】首先，过点A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F，易得四边形ABFE 为矩形

19、， 根据矩形的性质， 可得 ABEF， AEBF.由题意可知， AEBF1100200 900 米， CD1.99 104米，然后分别在RtAEC 与 RtBFD 中，利用三角函数求得CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离 AB. 解： 如解图，过点 A 作 AECD 于点 E， 过点 B 作 BFCD， 交 CD 的延长线于点F.则四边形ABFE为矩形，ABEF，AEBF. 由题意可知AEBF1100200900(米)，CD19900(米)在 RtAEC 中， C45 ，AE900(米)，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

20、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载CEAEtanCAEtan45900(米 )，在 Rt BFD 中， BDF 60 ，BF900(米)，DF BFtanBDF900tan603003(米 )，ABEFCDDF CE199003003900(19000300 3)米答：两海岛之间的距离AB 是(19000 3003)米4.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题分析:（1）作 PQAB 交 AB 的延长线于 H，根据三角形的外角的性质计算；（2）设 PQ=xm，根据正、余弦

21、的定义表示出QH、BH，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可解：（1）作 PQAB 交 AB 的延长线于 H，由题意得， QBH=30 ，PBH=60 ，BQH=60 ，PBQ=30 ，BPQ=BQHPBQ=30 ；（2）设 PQ=xm，BPQ=PBQ，BQ=PQ=xm，QBH=30 ，QH= BQ= x，BH=x，A=45 ，6+x=xx，解得 x=2+6 9答：该电线杆 PQ的高度约为 9m点评:本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键5.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

22、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析:过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，设高度为 x 米，在 RtAEC中可得 CE=，在 RtBFD 中有 DF=x，根据 AB=EF=CD+DF CE列出方程，解方程可求得x 的值解：过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，设高度为 x 米ABCD，AEF=EFB=ABF=90 ，四边形 ABFE 为矩形AB=EF，AE=BF由题

23、意可知： AE=BF=x 米，CD=500 米在 RtAEC 中， C=60 ，CE=（米）在 RtBFD 中， BDF=45 ，DF=x（米）AB=EF=CD+DF CE，即 500+xx=541.91 解得：x=99 答：飞机行飞行的高度是99 米6 【思路分析 】本题考查三角函数的实际应用题中有角度没直角三角形，先考虑过点C 向 AB 作垂线 CE 构造直角三角形，利用正切分别求得AB、AE，最后利用线段和差关系求解即可解：过点 C 作 CEAB 交 AB 于点 E ，则四边形EBDC 为矩形，BECD，CEBD 60 米 (2 分) 根据题意可得，ADB48 ， ACE 37 . 在

24、Rt ADB 中， tan48 ABBD，则 ABtan48 BD1110 60 66(米)；(5 分) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载在 Rt ACE 中， tan37 AECE，则 AEtan37 CE34 6045(米 )，(8 分) CDBEABAE664521(米)，乙楼的高度CD 为 21 米 (10 分) 7.考点:解直角三角形的应用 -仰角俯角问题分析:（1

25、）过点 E 作 EFBC 于点 F在 RtCEF 中，求出 CF=EF，然后根据勾股定理解答；（2）过点 E 作 EHAB 于点 H在 RtAHE 中，HAE=45 ，结合（1）中结论得到 CF的值，再根据 AB=AH+BH ，求出 AB 的值解： （1）过点 E 作 EFBC 于点 F在 RtCEF中，CE=20，EF2+（EF）2=202，EF0，EF=10答：点 E 距水平面 BC 的高度为 10 米（2）过点 E 作 EHAB 于点 H则 HE=BF，BH=EF在 RtAHE 中， HAE=45 ，AH=HE，由（1）得 CF=EF=10（米）又BC=6米，HE=6+10米，AB=AH

26、+BH=6+10+10=16+10 33.3（米） 答：楼房 AB 的高约是 33.3 米8 解：设 ECx，在 Rt BCE 中， tanEBCECBE，则 BEECtanEBCECtan5056x(米)，在 Rt ACE 中， tanEACECAE，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载则 AEECtanEACECtan45x(米)，ABBEAE，30056xx，解得： x18

27、00(米)， 这 座 山 的 高 度CD DE EC AF CE 3700 18001900(米)答：这座山的高度是1900 米14 【思路分析 】对于解直角三角形的实际应用问题，首先要考虑把要求的线段和已知线段、角放到直角三角形中求解如解图，过点A 作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BD CC于点 D.分别在 RtAFB 和 Rt BDC 中根据坡度求得AF，BD 的长度，再在Rt AEC 中，根据勾股定理求得AC的长度解：如解 图，过点A 作 AECC 于点 E，交 BB于点 F，过点 B 作 BDCC 于点 D. 则 AFB， BDC 和 AEC 都是直角三角形，四

28、边形AABF，BBC D 和 BFED 都是矩形BFBBFBBBAA 310 110200(米)，CDCC DC CC BB710310400(米)i11 2，i211， AF2BF400(米 )，BDCD400(米)又 FEBD400(米)，DE BF200(米 )AEAFFE800(米)，CECDDE600(米)在 RtAEC 中， ACAE2CE2800260021000(米)答：钢缆AC 的长度为 1000 米16.考点:解直角三角形的应用 -方向角问题第 8 题解图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

29、 - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析:由已知可得 ABPQ，QAP=60 ，A=30 ，AP=56 海里，要求货船的航行速度，即是求 PB 的长，可先在直角三角形APQ 中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出 PB 即可解：设货船速度为x 海里/时， 4 小时后货船在点 B 处，作 PQAB 于点 Q由题意 AP=56 海里， PB=4x 海里，在直角三角形 APQ 中， APQ=60 ，所以 PQ=28在直角三角形 PQB 中， BPQ=45 ，所以，PQ=PB cos45 =2x所以

30、，2x=28，解得：x=7 9.9答：货船的航行速度约为9.9 海里/时17.解：设 MB x，DF CB， CDF 45 ， CDF 是等腰直角三角形，DF CF.(1 分) EN、DM、 CB 分别垂直于AB，DF CB，四边形ENMD、四边形DMBF 为矩形，ENDM BF，EDMN，CF DFBMx，BC4，ENBF4x， (3 分) ANABMNMB，MNDE1，AB 6，AN5x，(5 分) tanEANENAN， EAN31 ，4x5x 0.6 ，解得 x52.(7 分) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

31、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载即 DM 与 BC 的水平距离BM 的长为52(米) (8 分) 18 【思路分析 】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 ADx m用含 x 的代数式分别表示BD，CD.再根据BDCDBC，列出方程并求解即可解：过点A 作 ADBC 于点 D，设 ADx m. 在 Rt ABD 中， ADB90 ， BAD30 ，BDAD tan30 33x.(3 分) 在 Rt ACD 中， ADC90 ， CAD 45 ，CDADx. BDCDBC，33xx150，x 75(33) 95.即 A 点到河岸BC 的距离约为95 m(8 分) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -