2022年三角函数基础,两角和与差倍角公式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载课题三角函数基础，两角和与差、倍角公式教学目标能运用两角和与差公式、倍角公式解答问题。重点、难点公式的熟记和运用。教学内容任意角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合， 此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 例如教材图5-3(1) 中的60角、420角都是第一象限的角，(2) 中135角、225角都是第二象限角.特别规定：如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限.例 2：回答下列问题(1) 锐角是第几象限角? (2) 第一象限的角一定是锐角吗? (3) 小于90的角一定是锐角吗? (4)0 90的角一定是锐角吗

2、? 二、终边重合的角例子：我们可以用集合表示所有与60角终边重合的角36060 ,kkZ. 当0k时，60，集合中也包括了60本身 .一般地 , 我们有 : 所有与角终边重合的角, 连同角在内 , 可构成一个集合360,kkZ, 即任一与角终边重合的角 , 都可以表示成角与整数个周角的和.四、弧度制的定义五、角度制与弧度制的互化七三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角， 终边上任意一点P（除了原点）的坐标为( , )x y，它与原点的距离为2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做 的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做 的余弦，记作cos，即cosxr；名师归纳

3、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（3）比值yx叫做 的正切，记作tan，即tanyx；说明： 的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点( , )P x y在的终边上的位置的改变而改变大小；当()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0， 所以tanyx无

4、意义；八三角函数的定义域、值域函数定义域值域sinyR 1,1cosyR 1,1tany|,2kkZR3例题分析例 2已知角 的终边过点( ,2 )(0)aa a，求 的六个三角函数值。解：因为过点( ,2 )(0)aaa，所以5 |ra，,2xa ya当222 50sin55 |5yaaaraa时，；5cos55xaara； ；当222 50sin55 |5yaaaraa时，；5cos55xaara九三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr） ，对于第三、四象限为负（0,0yr） ；余弦值xr对于第一、四象限为正（0

5、,0 xr） ，对于第二、三象限为负（0,0 xr） ；正切值yx对于第一、三象限为正（, x y同号），对于第二、四象限为负（, x y异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。十诱导公式三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指 k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角） . 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：可概括为：“负名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 -

6、- - - - - - - - 学习必备欢迎下载化正，大化小，化到锐角为终了” （有时也直接化到锐角求值）。)(tan)2tan()(cos)2cos()(sin)2sin(ZkkZkkZkk（公式一）若角的终边与角的终边关于x轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于x轴对称，由单位圆性质可以推得：tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式二）特别地，角与角的终边关于y轴对称，故有tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式三）特别地，角与角的终边关于原点O对称，故有tan)tan(cos)cos(sin)sin(（公式四）诱导公式五：cos)2

7、sin(sin)2cos(诱导公式六：sin)2cos(cos)2sin(诱导公式七：cos)23sin(，sin)23cos(1 确定下列三角函数值的符号：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan( 672 )；（4）11tan32 化简xxxxytantancoscos练习：一、填空题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1是第二象限角，则2是第象限角 . 2已知扇形的

8、半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为. 同角三角函数的基本关系公式: tancossincotsincos1cottan1cossin221 “同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos3sin222tan2cos2sin2 上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。3 由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时 ,要注意讨论符号. 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系 ). 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积( 商数关系 ).阴影部分，顶角两个函数的平方和

9、等于底角函数的平方( 平方关系 ).二、讲解范例：例 1 化简：440sin12解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222例 2 已知sin1sin1sin1sin1是第三象限角，化简解：)sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1 (原式|cos|sin1|cos|sin1sin1)sin1(sin1)sin1(22220cos是第三象限角，tan2cossin1cossin1原式（注意象限、符号）例 3 求证：cossin1sin1cos分析：思路1把左边分子分母同乘以xcos，再利用公式变形；思路2：把左边分子、

10、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路 5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载证法 1：左边 =xxxxxxxxxcossin1cos)sin1(sin1cos)sin1 (cosco

11、s2右边，原等式成立. 证法 2：左边 =)sin1)(sin1(cos)sin1 (xxxxxxx2sin1cos)sin1(xxx2coscos)sin1(xxcossin1右边 . 例 4已知 tan=3，求下列各式的值66222222cossin)8(cos1sin1)7(cossin)6(cossin)5(cossin)4(cos21sin43)3(sin3cos4coscossin2sin)2(cos5sin3cossin4) 1(课后作业1.已知 sincos231，且 0，则 tan的值为 ( ) 3D.33C.3-B.33.A2.若 sin4cos41，则 sincos的值为

12、 ( ) A.0 B.1 C.1 D.1 3.若 tancot2，则 sincos的值为 ( ) A.0 B.2C.2D.24.若sin3cos5cos2sin410，则 tan的值为. 5.若 tancot=2，则 sin4cos4. 6.若 tan2cot22，则 sincos. 7.求证23cossin1cossin14466xxxx. 8.已知 tansin，tansin. 求证： (1)cosnmnm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，

13、共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(注：充分注意用已知角表示要求的角，如)()(2,)(等；注意角的范围对三角函数值的符号 的限制；已知tan,cos,sin中的一个求另外两个，可以通过直角三角形来求简单；正切公式可以变形为：)tantan1)(tan(tantan)tantan1)(tan(tantan，如0000tan2

14、0tan403 tan20 tan4032.二倍角的正弦、余弦、正切公式：cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan熟记降幂公式：22cos1cos2，22cos1sin2注：2)cos(sin2sin1),4cos()4sin(2)22sin(2cos)4(sin211)4(cos2)4(sin)4(cos)22cos(2sin2222)4(sin21 1)4(cos2)4(sin)4(cos)22cos(2sin2222以及)4cos()4sin(，如：已知31)4sin(，则972sin,31)4cos(4.引入辅助角公式：)sin(

15、cossin22baba（其中2, 0且22cosbaa，22sinbab）5.几种题型 有 关 齐 次 多 项 式 的 函 数 化 为kxAy)sin(的 形 式 ， 如xxxycossin2sin22可 以 化 为1)42sin(2xy可以通过换元转化为二次函数问题，如xxy2cossin可以化为1sinsin22xxy，若设xtsin，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载12

16、2tty， 此 时 1 ,1t； 再 如1cossincossinxxxxy可 以 设xxtcossin， 则21cossin2txx从而转化为二次函数2122tty，但需注意此时2,2t。基础过关1、已知3tan,4tan，则)tan(= 。2、167cos43sin77cos43cos= 。3、函数xxxfcossin)(的最小值是。4、设)2,0(),2, 0(，若97)sin(,31cos，则sin= 。例题讲解例 1 （ 1）计算下列各式的值cos80cos20 +sin80sin20 = 1tan151tan15= tan17+tan28 + tan17tan28 = sin7co

17、s15 sin8cos7sin15 sin8= （2）ABC中,已知BABAsinsincoscos则ABC一定是( ) A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定（3）若31sinsin1,coscos22，则cos()= 变式：若13cos(),cos()55则tantan= . 例 2已知2,223,53)sin(,54)cos(且，求2cos的值变式拓展已知41)4tan(,52)tan(，求)4tan(的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3已知11tan,tan27，且,0,，求2的值例 4、求函数xxxxf2sin3)4cos()4cos(2)(的值域和最小正周期。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -