2022年三角函数最值的求法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载三角函数最值的求法摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。关键词：三角函数；最值；求法。三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容， 同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。一上下界法。根据1sin x或1cosx把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成kxA)sin(或kxA)cos(（其中、k、

2、A、均为常数） 的形式， 然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法。例 1：求函数xxy2sincos2的最值。分析：先把原函数变形，然后根据1cosx直接求出最值。解：xxy2sin22cos1xx2si n2c o s212121)2c o s (25x帮所求2125maxy，2125miny例 2：已知函数.,2cos32sinRxxxy求y的最大值、最小值及相应的x的集合；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - -

3、 - - - - 精品资料欢迎下载解：sin3cos2sin()2223xxxy当2232xk，即4,3xkkZ时，y取得最大值2，此时x的取值范围为|4,3x xkkZ；当2232kx，即Zkkx,354时，y取得最小值2，此时x的取值范围为Zkkxx,354|。点评： （1）这种基本题型非常重要，在高考考题中出现的频率较高；（2）当自变量x的取值范围有限制时，我们在转化时往往要注意变量x的取值范围，否则容易造成结果错误。小结：应用上下界法必须注意，在将式子化为形如kxA)sin(或kxA)cos(后应全面考虑使等式成立的各个条件，否则将可能出现错误。二二次函数法将题目中的代数式转化为含有三

4、角函数名的二次函数的形式，进而利用二次函数的知识来求解。例 3：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值 . 解 f(x)=(cos2x-23)2-45, 当 cos2x=1, 即 x= k (k Z)时，1miny，当 cos2x=-1, 即 x= k +2( k Z) 时，5maxy.小结：这里将函数f(x) 看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1 ，1 上的最值问题. 三运用几何方法通常我们在解决代数问题时可以把函数代表式转化为熟悉的几何问题来解决，这种方法称为几何法。例 4：求函数的sin2( )5 cos1f的最值函数。分析：函数( )f的

5、形式刚好可以看成是定点和动点的连线的斜率，利用图形我们可以一眼看出它的最值。解：如图，原式变为sin( 2)( )5cos( 1)f这表示定点( 1, 2)M和动点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(5 cos ,sin)P的连线的斜率，而动点P的轨迹方程为2215xy它是一个椭圆，故( )f的极值即过点M向椭圆所作的两切线的斜率。设斜率为k，切点为11(,)xy则切线方程为111

6、5x xy y，因点M在切线上，故有111215xy。解方程组111215xy221115xy解得11152,77xy或1152,33xy，所以两切线的斜率为：1222223173,155221173kk故maxmin13( ),( )22ff. 小结：注意在运用几何方法求极值时必须先把它化成表示定点到动点连线的斜率的形式。四不等式法利用均值不等式来求最值。设12,na aa均为正数，则他们的几何平均值不超过算术平均值，即1212nnnaaaa aan（当且仅当12naaa时等号成立）。例 5：若02x，求2sincosyxx的最大值。分析：函数表达式2sincosyxx刚好符合原理的要求，故

7、用不等式法求最值较方便。解：将函数变形为2242221sincos2sincoscos2yxxxxx02x2222331 2sincoscos124()( )232327xxxy42 3279y)72,715(1Q)2,1(M)32,35(2Q图（ 1）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载故当且仅当222sincosxx即6arccos3x时，函数2sincosyxx有最值，且为ma

8、x2 39y。小结： 利用不等式求三角函数最值是一条有效的途径，相较其它方法比较容易掌握，但必须注意各项必须为正值。五用判别法定义： 如果三角函数具有y=21112222AxB xCA xB xC的形式， 那么可将其变为一个关于x 的二次方程，然后利用二次方程根的判别式讨论取实数的条件。列一个含 y 的二次不等式， 解此不等式即可得到原三角函数的最值。例 6求函数y=5-4sin+2sin的最值。分析：把原函数化为关于sin的二次函数，利用根的判别式法进行讨论，最终得出结果。解：原函数可变形为：2sin4sin(5)0yRsin164(5)0y解得1ymin1y又sin21y且sin1211y

9、解得101y10maxy小结：用此法求最值的关键是将函数变形成二次方程的形式，再把问题转化为不等式的解。六用导数法利用导数求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数)(xfy在),(ba内的极值；（2）将函数)(xfy的各极值与端点处的函数值)(),(bfaf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例 7求函数4431)(3xxxf在3 ,0上的最大值与最小值。解：4431)(3xxxf( fx)=)2)(2(42xxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

10、- - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载令0)( xf得2x或2x又因为3 ,0 x，所以2x下面分两种情况讨论：（）当2,0 x时，,0)( xf此时)(xf在此区间上单调递减；（）当3, 2x时，,0)( xf此时)(xf在此区间上单调递增。因此，当2x时，)(xf有极小值，并且极小值为43)2(f又由于1)3(, 4)0(ff因此，函数4431)(3xxxf在3,0上的最大值是，最小值是43。小结： 在利用导数求函数的最值时，要注意极值与最值的区别与联系。极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，且

11、极大值与极小值可以同时存在着若干个或不存在，极大值不一定比极小值大。而最值是个整体概念，是整个定义域上的最大值与最小值，从个数上看，最值是唯一的。所以在做这类题时，必须先求出极大（小）值，然后再与端点处的函数值进行比较，得到函数在整个定义域内的最大（小）值。以上列举了常用的六种求三角函数的最值的方法，具体题型应用哪种方法来解决就必须依据解题者自己的灵活运用。如能正确运用这六种方法，不但能提高解题者的解题速度，而且对培养其解题思维能力有着重要的意义。参考文献：人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，数学（必修2、必修 4、必修 5 及选修 1-1） ，人民教育出版社， （A 版）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -