2022年一元二次方程的解析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一元二次方程的解法例析【要点综述】 ：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是， 再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次

2、”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法； 3、公式法； 4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法0时有解，0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法0时，方程有解； 0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

3、 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例1： 已知，解关于的方程。分析 ：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明： 由本题可见，只有项系数不为 0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为 0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）； （2）（3）； （4

4、）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载其解为。通过观察不难发现第（1） 、 （2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（ 3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的 1210，所以此方程也可用直接开平方法解；第（ 4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解

5、答了。解： （1）（注意不要丢解）由得，由得，原方程的解为：，（2）由得，由得原方程的解为：，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（3），原方程的解为：，（4），即，原方程的解为：，说明 ：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢

6、解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）； （2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析： 用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为 1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上

7、一次项系数的一半的平方。解： （1）二次项系数化为1，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：，原方程的解为：，（2）二次项系数化为1，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载即直接开平方得：，原方程的解为：，说明： 配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把

8、常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（1）； （2）分析： 用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

9、- - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解： （1），化为一般式：求出判别式的值： 0代入求根公式：，（2）化为一般式：求出判别式的值：0，说明： 公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

10、- - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例5：用分解因式法解下列方程。（1）； （2）分析： 分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（ 2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解： （1）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，（2）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，说明： 使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这

11、样才能达到降次的目的。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单

12、方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。例6：选用恰当的方法解下列方程。（1）； （2）（3）； （4）分析： 第（ 1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（ 4）题采取配方法较为简便。解： （1）整理得：直接开平方得：，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）分解因式得

13、：，（3）整理得：求出判别式的值：0 ，（4）配方得：直接开平方得：，总结： 直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数， 而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是， 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

14、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -