2022年不等式中恒成立问题的解法研究完美 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。在 05年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式” , “恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1 转

2、换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例 1：若不等式2x1m(x2-1)对满足 2m2 的所有 m 都成立，求 x的取值范围。解：原不等式化为(x21)m(2x1)0 记 f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根据题意有：01)-(2x-1)-2(xf(2)01)-(2x-1)-2(xf(-2)22即：01-2x2x03-2x2x22解之：得 x的取值范围为231x2712 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

3、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 2：在 R 上定义运算：xy(1y) 若不等式 (xa)(xa)1 对任意实数 x成立， 则( ) (A) 1a1 (B)0a2 (C)2321a(D) 3122a解：由题意可知(x-a)1-(x+a) 0 对 xR 恒成立记 f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足 (-1)2-4(-a2+a+1)0 化简得4a2-4a-30 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求m 的取值范围。解：设 f(x)=x2-2mx+2m

4、+1 本题等价于函数 f(x)在 0 x1上的最小值大于0， 求 m 的取值范围。(1)当 m0 时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解012mf(0)0m得21m1 时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解02f ( 1 )1m得 m1综合(1)(2)(3) 得21m注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3 求解。3 分离参数法在题目中分离出参数， 化成 af(x) （afmax(x) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精

5、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（aan-1恒成立，求 a0的取值范围。解：依题意：513n+(-1)n-12n+(-1)n2na0513n-1+(-1)n-22n-1+(-1)n-12n-1a0化简，得(-1)n32n-1a0-523n-1+53(-1)n2n-1(1)当 n=2k-1 k N*时 a0152(23)n-1+D 设 g1(n)= 152(23)n-1+51g1(n) 在 n N*时且 n=2k-1,kN*时是增函数g1(n) 的最小值为 g1(1) 31a0-1

6、52(23)n-1+51名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设 g2(n)=- 152(23)n-1+51g2(n) 在 n N*且 n=2k,kN*时是减函数g2(n) 的最大值为 g2(2) 0a00 综上可知 0a00 且 a1, 当 x(-1 ，1)时，不等式 x2-ax21恒成立，则 a的取值范围2, 11 ,21解析：不等式 x2-ax x2-21画出 y1= ax,y2

7、= x2-21的图像。由图可看出21a1 或 10 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0) 1(8) 1(012mmm，所以，)9 ,1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的” 。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3： 在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m 的范围。解析：由 1 ,0(sin,0, 1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3 ,1

8、()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf， 即2)(2)(BfmBfm恒成立， 3, 1(m例 4： （1）求使不等式, 0,cossinxxxa恒成立的实数 a 的范围。解析：由于函43,44),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数 a 的范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - -

9、 - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化， 这样使得xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知恒成立有时当21)(,)1 , 1(,)(, 1,02xfxaxxfaax，求实数 a 的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中

10、做出两个 函 数 的 图 象 ， 如 果 两 个 函 数 分 别 在x=-1 和 x=1 处 相 交 ， 则 由12221) 1(211aa及得 到a 分 别 等 于2 和0.5， 并 作 出 函 数xxyy)21(2 及的图象，所以，要想使函数xax212在区间212xy在区间)1 , 1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而2110aa时，只有才可以，所以2, 1()1 ,21a。)1 , 1(x中恒成立，只须xy2在区间)1 , 1(x对应的图象在由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。练习题： 1、对任意实数x，不等式),(0cossinRcbacxbxa恒成立的充要条件是 _。22bac2、已知不等式：11112.(1)12123alogannnn对一切大于1的自然数 n 恒成立，求实数a 的范围。)251, 1(a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -