2022年不等式的易错点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载汉川二中程涛一不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘，（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知abc，且0abc则ca的取值范围是 _（答：12,2）2.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22, 0bababa则若； baba11, 0 则若； baabba则若,0；、 baba则若, 0；bcbacabac则若,0； 11,abab若，则0 ,0ab。其中正确

2、的命题是_ （答：）；3.设,1x yRxy则使成立的充分不必要条件是A 1xyB 1122xy或C 1xD xb，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2b2B.( 21) a 0 D.ba1 正确答案： B。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。6.若 ab0，且mbmaba，则 m 的取值范围是（A. mR B. m0 C. m0 D. bm 0，即 x 1时，原不等式等价于x2 x 2 0 ，解得 x 2 ；当 x 1 = 0，即 x = 1时，显然)(xg无意义，其解集为综上所述，原不等式的解集为x|x 2 错因：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解原因

3、是忽略了不等式中“”具有相等与不相等的双重性事实上，不等式 f(x) )(xg0 与0)(, 0)(xgxf或 g(x) = 0同解. 错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况. 0)(,0)(xgxf即当 x l ” “ = ”合成的，故不等式f(x)(xg 0 可转化为 f(x) )(xg 0 或 f(x) )(xg = 0 分析二：在不等式f(x) )(xg0 中，按 g(x) 的取值情况分类，有两种情况：(1)g(x) 0时, 等式等价于,0)(, 0)(xgxf(2)g(x) = 0时 只须 f(x) 有意义即可 . 4. 设函数21fxxax，其中0a，解不等式1fx错解：不等式

4、f(x)1，12x1 + ax 两边平方，得x2 + 1 (1 + ax)2 , 即 x(a2 - 1)x + 2a0a 0 ，当 a 1 时， x 0 ，或 x -122aa；当 0 a 0 可得 x0正解：不等式f(x)1，即12x1 + ax 由此得 11 + ax ，即 axO ，其中 a 0 原不等式等价于不等式组. 0,)1 (122xaxx即. 0, 02) 1(2xaxax当 0 a 1时，原不等式的解集为x|0 x212aa; 当 a1时, 原不等式的解集为 x|x O5.解不等式21axx aRax错因：分类讨论不完全名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

5、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（答：0a时，|0 x x；0a时，1|0 x xxa或；0a时，1|00 xxxa或6. 要 使 满 足 关 于x的 不 等 式2290 xxa（ 解 集 非 空 ） 的 每 一 个x的 值 至2430 xx和2680 xx中的一个，则实数a的取值范围是 _.（答：817,8）7.设实数, x y满足2211xy，当0 xyc时，c的取值范围是 _（答：21,8.若对于任意 xR，都有(m2)x22(

6、m2)x40 恒成立，则实数m 的取值范围是。正确答案： (2,2) 。错误原因：容易忽视m2。9. 不 等 式(1)20 xx的 解 集 是A |1 x xB |1 x xC |21 x xx且D |21x xx或错解：选 B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2 的情形。正确答案为D。三多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元( 变量) 时, 需将这些元分别虚拟定位为“常量”、 “参元”、 “变元”等 .若定位点不到位 , 解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍. 元的定位问题往往不是绝对的, 定位切入点不同 , 解题的途径也不同, 处理好元的定位问题,

7、 不但可以开辟问题解决的新途径, 给解题带来极大的简便, 而且能培养学生的分析问题的思维能力.1. 设a、b、c0,2 , 证明224abcabc222abbcca. 分析 此不等式有三个元, 且每项次数不全相同, 学生常因元太多不易定位, 而陷入误区 , 实际上原等式中a、b、c三个元中只有a是一次的 ,故可将a视作变元 , 其余b、c视作常量即可解决问题. 证明 设2222( )4(222)(422 )2f aa bcabcabbccabcbc a bcbc . 则( )f a为关于元a的一次函数 , 且a、b、c0,2 . 要证( )f a0,即要证( 0 )f0,且(2)f0 .2(0

8、)()fbc0 ,且22(2)2(422 )2fbcbcbcbc22(2)(2)bc0 . 当a、b、c0,2 时, ( )f a0 . 即224abcabc222abbcca四利用不等式求参数范围时易混淆的概念不等式的恒成立 ,能成立（即恒有解）,恰成立等问题：1).恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）若不等式fxA在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上minfxA若不等式fxB在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上maxfxB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

9、 - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2). 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的minfxB. 3). 恰成立问题若不等式fxA在区间D上恰成立 , 则等价于不等式fxA的解集为D；若不等式fxB在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxB的解集为D.1设1.( )lg,f xx若0abf(b)f(c), 则下列结论中正确的是A (a-1)

10、(c-1)0 B ac1 C ac=1 D ac1 错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数( )lgf xx的图象 ,由图可得出选D. 2.若不等式1112nnan对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 _（答：32,2）错解原因是不等式解集的端点值没有考虑清楚3.已知函数 y=21(3x)52ax在-1 ，+）上是减函数，则实数a 的取值范围（）A a-6B -60a-6C -8a-6D 8a-6正确答案： C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0 这一隐含条件。4.x 为实数，不等式 |x3|x1|m 恒成立，则m 的取值范围是（）A.m2 B.m2 D.m1，则 y=x+12x的

11、最小值为 _ 答案：122点评：误填： 4，错因：12xxy122xx，当且仅当12xx即 x=2 时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载7.设220,0,12baba，则21ab的最大值为错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由220,0,12baba得：2212ba，且201b，原式=224213(1)(

12、1)1222bbbb，求出最大值为1。8. 数列an 的通项式902nnan，则数列 an中的最大项是（）A、第 9 项B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项D、第 9项和第 10 项 答案： D 点评：易误选A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域N* 。9、已知 a,bR，且满足 a+3b=1，则 ab的最大值为 _. 错解：61错因：由, 1)3(2ba得19622baba，191622baab，等号成立的条件是0ba与已知矛盾。正解：12110.已知实数 x、y 满足 x2+y2=1，则 (1xy)(1+xy)( ) A.有最小值21，也有最大值1 B.有最小值43，也有

13、最大值1 C.有最小值43，但无最大值D.有最大值 1，但无最小值正确答案： B 。错误原因：容易忽视x、y 本身的范围。11. 数列an 的通项式902nnan，则数列 an 中的最大项是（）A、第 9 项B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项D、第 9项和第 10 项 答案： D 点评：易误选A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域N* 。六对一元二次不等式与二次函数的图象，二次方程的根之间的关系不能灵活掌握及合理转化应用1.方程xkxk2250()的两根都大于2，求实数k的取值范围。解：设方程的两根为xx12，则必有4504)2(2)5(04)2(0)5(4)2(0)2)(

14、2(0)2()2(022121kkkkkkxxxx说明：此题易犯这样的错误：4222121xxxx，且x x124和判别式0联立即得k的范名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载围，原因是xx1222和只是xx124的充分条件， 即xx124不能保证xx1222和同时成立 . 2.已知实数 x,y 满足yxyx，则 x 的取值范围是。答案： 40 xxx或错解： 40 xxx或错因：将方

15、程作变形使用判别式，忽视隐含条件“0y” 。3.已知21,xx是方程)(0)53()2(22Rkkkxkx的两个实根，则2221xx的最大值为（）A、18 B、19 C、955D、不存在答案： A 错选： B 错因：2221xx化简后是关于k 的二次函数，它的最值依赖于0所得的 k 的范围。4.若不等式 ax2+x+a0的解集为，则实数 a 的取值范围（）A a-21或 a21B a21C -21a21D a21正确答案： D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。5.不等式 ax2+ bx + c0 ，解集区间（ - 21，2） ，对于系数 a、b、c，则有如下结论

16、： a 0 b 0 c 0 a + b + c 0 a b + c 0 ， 其 中 正 确 的 结 论 的 序 号 是_. 正确答案 2 、3、 4 错因：一元二次函数的理解6. 4ko 是函数 y=kx2kx1 恒为负值的 _条件错解：充要条件错因：忽视0k时1y符合题意。正解：充分非必要条件7.设函数862kxky的定义域为 R，则 k 的取值范围是。A、91kk或B、1kC、19kD、10k答案： B 错解： C 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用0。8.若Ryx,，且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是。答案：)18由原方程可得1810816882,08, 0,0,2)8(xxyxxxyxyxxxy则错解：),182,(设xtytyx设代入原方程使用判别式。错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则 x8 则 x+y8 9. 已 知xf是 定 义 在,0的 等 调 递 增 函 数 ，,yfxfxyf且12f， 则 不 等 式23xfxf的解集为。正确答案：43|xx错误原因：不能正确转化为不等式组。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -