2022年一元二次方程的概念及解法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载一元二次方程的概念及解法1、一元二次方程一一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项判断是一元二次方程的标准：整式方程一元方程二次方程二一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一考点 ：一元二次方程的概念，一元二次方程的解知识图谱知识精讲三点剖析名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

2、- - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载二重难点 ：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解三易错点 ：1. 确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项-二次项的系数是否为零即可；2. 注意对于关于x的方程20axbxc，当0a时，方程是一元二次方程；当0a且0b时，方程是一元一次方程；3. 一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看题模一：概念例 1.1.1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A2210 xxB20axbxcC223253xxxD121xx例 1.1.2方程 (2)310mmxmx

3、是关于x的一元二次方程，则m_ 例 1.1.3若方程211mxm x是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_例1.1.4方程13242xx的 二次项系数是 _，一 次项系数是 _，常数项是_ 题模二：解例1.2.1关 于x的 一 元 二 次 方 程22110axxa的 一 个 根 是0 ， 则a的 值 为_例 1.2.2已知1x是关于x的方程20 xmxn的一个根，则222mmnn 的值为 _随练 1.1若03)2(22xxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为 _。题模精讲随堂练习名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

4、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载随练1.2关于x的方程023)1()1(2mxmxm，当m_时是一元一次方程；当m_时是一元二次方程随练 1.3若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为 _随练 1.4若关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+xa2+1=0 有一个根为0，则 a 的值等于（）A1B0C1D1 或者 1随练 1.5已知方程2230 xmxn的两根分别是2、3，则mn_随练 1.6若 x=1 是关于 x 的一元二次方程x2+3mx+n=0的

5、解，则6m+2n=_ 随练1.7若关于x 的一元二次方程为ax2+bx+5=0（ a0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A2018B2008C2014D20122、直接开平方法一 直接开平方法若20 xa a，则x叫做a的平方根，表示为xa ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法二直接开平方法的基本类型12(0)xa a解为： xa22()(0)xab b解为： xab32()(0)axbc c解为： axbc422()() ()axbcxdac解为：()axbcxd一考点 ：直接开平方法二重难点 ：直接开平方法三易错点 ：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解

6、，如果是两个相等的解，也要写成12xxa的形式知识精讲三点剖析名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载题模一：直接开平方法例 2.1.1求下面各式中x的值：（1）249x；（2）2125x例 2.1.2求x的值：21(51)303x随练 2.1解下列方程：（1）2280 x（2）225160 x（ 3）2190 x随练 2.2解关于x的方程：2269(52 )xxx随练 2.3若方程2

7、24xa有实数根，则a的取值范围是 _.随练 2.4解关于x的方程：22(31)85x3、配方法一配方法题模精讲随堂练习知识精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法二配方法的一般步骤：运用配方法解形如20 (0)axbxca的一元二次方程的一般步骤是：1二次项系数

8、化1；2常数项右移；3配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；4化成2()xmn 的形式 ；5若0n，选用直接开平方法得出方程的解22220 (0)()0 ()()022bbbaxbxcaa xxca xacaaa222224()()2424bbbbaca xcxaaaa一考点 ：配方法二重难点 ：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围三易错点 ：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解题模一：配方法例 3.1.1用配方法解方程：2640 xx例 3.1.2用配方法解下列方程：（1）22810 xx（2）

9、2420 xx（3）211063xx（4）2312 3yy例 3.1.3用配方法解方程2210 xx时，配方后得到的方程为（）A21)0 x（B21)0 x（C21)2x（D21)2x（例 3.1.4用配方法解关于x的方程20 xpxq（pq，为已知常数）三点剖析题模精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 3.1.5已知2246130 xyxy，x、y为实数，求yx 的值题模二

10、：最值问题例 3.2.1试用配方法说明223xx的值恒大于 0例 3.2.2已知x、y为实数，求代数式22247xyxy的最小值例 3.2.3已知a， b，c是整数，且24ab，210abc，求 abc 的值随练 3.1用配方法解方程：22310 xx随练 3.2若把代数式257xx化为2xmk 的形式，其中m、k为常数，则km随练 3.3已知a，b，c均为实数，且4ab，224310cabc，求ab的值随练 3.4用配方法说明21074xx的值恒小于 0随堂练习名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

11、 - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载随练 3.5已知x，y为实数，求代数式2254824xyxyx的最小值4、公式法一公式法公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa根的判别式24bac，12,x x 是方程的两根，若240bac，则21,242bbacxa二公式法解一元二次方程的一般步骤1把方程化为一般形式；2确定a、 b 、c的值；3计算24bac 的值；4若240bac，则代入公式求方程的根；5若240bac，则方程无解三判别式与根的关系10时，原方程

12、有两个不相等的实数解；20时，原方程有两个相等的实数解；30 时，原方程没有实数解一考点 ：公式法二重难点 ：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况三易错点 ：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“”的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解知识精讲三点剖析题模精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载题模一：公式法例 4.1.1用公式法解关于x的一元二次方程2121

13、30mxmxm例 4.1.2解方程：x2+4x 1=0例 4.1.3解方程1(61)432(2)2xxxx例 4.1.4用公式法解关于x的一元二次方程212130mxmxm例 4.1.5解方程：320 x xx题模二：判别式与根的关系例 4.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）Ax2+1=0Bx23x+1=0Cx22x+1=0Dx2x+1=0例 4.2.2已知关于x的一元二次方程2210mxx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A1mB1mC1m且0mD1m且0m例 4.2.3关于 x 的方程（ a-6 ）x2-8x+6=0 有实数根，则整数a 的最大值是（）名师归纳

14、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载A6B7C8D9随练 4.1用公式法解一元二次方程22310 xx随练 4.2解方程 (5)(7)1xx随练 4.3解关于x的方程：20 xpxq随练 4.4解关于x的方程210 xx随练 4.5下列一元二次方程中无实数解的方程是（）Ax2+2x+1=0Bx2+1=0Cx2=2x-1Dx2-4x-5=0随练4.6若关于x 的一元二次方程2210kxx有两

15、个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A1kB1kC 1k且0kD1k且0k随练 4.7已知关于x 的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0 有实数根，则m的取值范围是（）Am -54且 m 1Bm 54且 m 1Cm 54Dm -54且 m 0随堂练习名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载5、因式分解法一因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0 ，而另一边易于分解成两个一次

16、因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0 ，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则0a或0b一 考点 ：因式分解法解一元二次方程二 重难点 ：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程三 易错点 ：没有化成0ab的形式，例如由2211xx直接得到211x从而导致漏解或者直接得到210 x从而导致错解题模一：因式分解法例 5.1.1用因式分解法解方程：23430 xx x例 5.1.2用因式分解法解方程：23440 xx例 5.1.3用因式分解法解方程：22

17、921610 xx知识精讲三点剖析题模精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 5.1.4用因式分解法解方程：222320 xmxmmnn，（m、n为常数）随练 5.1用因式分解法解方程：22136xx随练 5.2用因式分解法解方程：2251053 1xxx随练 5.3用因式分解法解方程：26350 xx随练 5.4用因式分解法解关于x的一元二次方程2216 31720mxmx

18、（21m）6、根与系数的关系一韦达定理随堂练习知识精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载如果20(0)axbxca的两根是1x ，2x ，则12bxxa，12cx xa（隐含的条件：0 ）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20 xpxq的两个根，则12xxp ，12xxq 二韦达定理与根的符号关系在24bac0的条件下，若1x ，2x 是20(0)

19、axbxca的两根（其中12xx ）我们有如下结论：11200cx xa，若0ba，则12xx；若0ba，则12xx21200cx xa若0ba，则120 xx；若0ba，则210 xx更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)axbxca的两根（其中12xx ），且m为实数，当0 时，一般地：（1）121()()0 xmxmxm，2xm（2）12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm（3）12()()0 xmxm且12()()0 xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件一 考点 ：韦达定理二 重难点 ：韦

20、达定理的应用1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根，求作方程；4结合根的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理三 易错点 ：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模一：韦达定理例 6.1.1若方程240 xxc的一个根为23 ，则方程的另一个根为_，c_三点剖析题模精讲名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

21、- - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 6.1.2设1x 、2x 是方程222120 xkxk的两个不同的实根，且12118xx，则k 的值是例 6.1.3如果a， b都是质数，且2130aam，2130bbm，求baab的值随 练6.1已 知m，n是 有 理 数 ， 并 且 方 程20 xmxn有 一 个 根 是52 ， 那 么mn_随练6.2已知关于x的方程222(2)50 xmxm有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值随练 6.3已知关于 x 的方程24280 xxm的一个根大于1，另一

22、个根小于1，求m的取值范围随练 6.4如果实数,a b分别满足222aa，222bb，求11ab的值随堂练习名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载作业 1若2|1|0ba，则下列方程一定是一元二次方程的是（）A250axxbB221350bxaxC21170axbxD2110bxax作业 2已知关于x的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a的取值范围作业 3已知方程2240

23、abxxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值？作业 4若 n（n0）是关于x 方程 x2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（）A1B2C-1D-2作业 5关于x的一元二次方程22240mxxm有一根为0，则m的值为 _.作业 6解方程：23 16x作业 7解关于x的方程：23(1)27x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载作业 8用直接开平方法解下列一元二次方程（1）29

24、160 x（2）25160 x（3）22531xx（4）224 259 31xx作业 9解方程：22830 xx作 业10将 方 程2410 xx化 为2xmn的 形 式 ， 其 中m，n是 常 数 ， 则mn_ 作业11已知方程260 xxq可以配方成27xp的形式，那么262xxq可以配成下列的（）A25xpB29xpC229xpD225xp作业 12已知2210mnmnmn，则11mn的值为 _作业 13已知23ab，23bc，则222abcabbcac的值为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

25、- - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载作 业 14实数a，b，c满足2617ab，2823bc，2214ca，则abc的 值为_作业 15设12123yzx，求代数式222xyz的最小值作业 16解方程235 210 xx作业 17用公式法解方程：20axbxc（a、b、c为常数且0a）作业 18设方程22140 xx求满足该方程的所有根之和作业 19一元二次方程x2+2x+1=0 的根的情况（）A有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根作业 20已知关于x 的一元二次方程m2x

26、2+（2m-1）x+1=0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Ak-14Bm 14且 m 1Cm 14且 m 0Dm -14且 m 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载作业 21若关于x的方程22110kxkxk有实数根，求k的取值范围作业 222353xxx的解是（）A52xB3xC152x，23xD25x作业 23用因式分解法解方程2269484xxxx作业 24解

27、关于x的方程2220 xpqxpq pqpq作 业25已 知 方 程22240 xm xm的 一 个 解 为1， 则 另 一 个 解 为 _ ，m_作业 26已知方程2230 xmx的两根的平方和为5，则 m=_ 作业 27实数k为何值时，关于x的一元二次方程2(23)(24)0 xkxk（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？（3）一根大于3，一根小于3？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - -

28、- - - 精品资料欢迎下载作业28阅读材料：设一元二次方程20(0)axbxca的两根是1x、2x，则根与系数关系为：12bxxa，12cx xa 已知210pp，210qq，且1pq，求1pqq的值作业 29已知方程2（m+1 ） x2+4mx+3m=2 ，根据下列条件之一求m的值（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0作业 30阅读下面的例题，解方程x2|x| 2=0 解：原方程化为|x|2|x| 2=0令 y=|x| ，原方程化成y2 y2=0 解得： y1=2，y2=1 当|x|=2 ，x=2；当 |x|= 1 时（不合题意，舍去）原方程的解

29、是x1=2 x2=2 请模仿上面的方法解方程：（x1）25|x 1| 6=0作业 31解方程组：22240240 xyxyxy作业 32观察下表，回答问题，第_个图形中“”的个数是“”的个数的5 倍名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载作业 33观察下列方程及其解的特征：（1）x+1x=2 的解为 x1=x2=1；（2）x+1x=52的解为 x1=2，x2=12；（3）x+1x=1

30、03的解为 x1=3，x2=13；解答下列问题：（1）请猜想：方程x+1x=265的解为 _；（2）请猜想：关于x 的方程 x+1x=_的解为 x1=a，x2=1a（a 0）；（3）下面以解方程x+1x=265为例，验证（ 1）中猜想结论的正确性解：原方程可化为5x2-26x=-5 （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）作业34已知三个关于x的一元二次方程20axbxc，20bxcxa，20cxaxb恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -