§221椭圆及其标准方程.ppt

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1、2.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程一、椭圆的定义： 平面内到两个定点平面内到两个定点F1、F2的距离之和等的距离之和等于常数（大于于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距。1F2F),(yxMF1F2M(x,y)oxyF2yxoF1M(x,y) 焦点在焦点在x轴上轴上,焦点是焦点是 焦点在焦点在y轴上轴上,焦点是焦点是 )0( 12222babxayF1(-c,0) 、F2(c,0)0( 12222babyaxF1(0,-c) 、F2(0,c)焦距（焦距（2C

2、）判断判断椭圆标准方程的焦点椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上焦点在分母大的那个轴上。注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专用名词，是个专用名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的。就是指上述的两个方程，形式是固定的。求椭圆方程的方法和步骤：求椭圆方程的方法和步骤：根据题意，设出标准方程；根据题意，设出标准方程；（根据焦点的位置设出标准方程根据焦点的位置设出标准方程）根据条件确定根据条件确定a,ba,b的值并写出方程；的值并写出方程；即为先定位（定焦点位置）即为先定位（定焦点位置）再定值（基本量再定值（基本量a,b,c的值）的值）练习：练

3、习：5写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 221116xy 22211611yx(1)a=4,b=1,焦点在焦点在x轴上轴上.(2)a=4,c= 焦点在焦点在y轴上轴上.解解：1）关键点：椭圆的焦点在）关键点：椭圆的焦点在x轴上。轴上。 所以标准方程为：所以标准方程为：)0( 12222babyax因为：因为：2a=10,2c=8 所以所以a=5,c=494522222cab则椭圆的标准方程为则椭圆的标准方程为192522yx例例1.求适合下列条件的求适合下列条件的椭圆的标准方程椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（4,0）、（）、

4、（4,0）椭）椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；即为先定位即为先定位再定值再定值用用待定系数法待定系数法求解椭圆方程求解椭圆方程解解:(2)焦点在焦点在y轴上，标准方程为：轴上，标准方程为：22221yxab222235352()(2)()(2)22223110102 1022a10a 22210 4 6bac 所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为161022xy例例1.求适合下列条件的椭圆的标准方求适合下列条件的椭圆的标准方 程：程：(2)两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（0,-2）（）（0,2）并且椭圆）并且椭圆经过点经过点)25,23

5、(（3 3）焦点在）焦点在 轴上，轴上， ， ；x:2:1a b 6c 例例1.求适合下列条件的椭圆的标准方求适合下列条件的椭圆的标准方 程：程：即为先定位（定焦点位置）即为先定位（定焦点位置）再定值（基本量再定值（基本量a,b,c的值）的值）注意等式注意等式c2=a2 - -b2的运用的运用用用待定系数法待定系数法求解椭圆方程时求解椭圆方程时练一练：练一练：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1 1）焦点在）焦点在 轴上，轴上， ，且过点，且过点 y225ab(2,0)（2 2）焦距为）焦距为 ， . .61ab（3 3）焦点在焦点在x 轴上，且经过点轴上，且

6、经过点(2，0)和点和点(0，1). 22132yx2212516xy2212516yx或2214xy（4 4）经过点经过点(2，0)和点和点(0，1). 2214xy5.5.求和椭圆求和椭圆 有共同的焦点，且经过点有共同的焦点，且经过点 的的 椭圆方程椭圆方程.229436xy(2, 3)2211015xy221.41.xkyyk练习 方程的曲线是焦点在 轴上的椭圆， 求的取值范围2241xky解：方程化为114122kyx轴上的椭圆，曲线是焦点在 y0411kk且.40 k即2222.12,0 ,2aa xya练习 若椭圆的一个焦点是（） 求 的值。为标准方程：分析：首先将椭圆变形1212

7、22ayax, 42102aaa且.451a解出练习：练习：2 7(7,0),( 7,0)椭圆椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距离等于的距离等于8，则点，则点P到另到另 一个焦点一个焦点F2的距离是的距离是_22110064xy1612椭圆椭圆 的焦距是的焦距是_，焦点坐标为，焦点坐标为_， 若若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，则的弦，则 的周长为的周长为_， 的周长为的周长为_221169xy2F CD12CFF2 7 8三角形三角形CF1F2通常叫做焦点三角形，其周长为定值通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a + 2c2212tantan22FCFbb其面积为其面积为注意：注意：

8、1.当当焦点位置不明确焦点位置不明确时，可设椭圆标准方程为时，可设椭圆标准方程为: mx2+ny2 =1(m,n0) ,可使运算简便；可使运算简便； 2. 画图画图是为了寻找图中的等量关系，以建立方程是为了寻找图中的等量关系，以建立方程.例例2 2 已知椭圆经过两点，已知椭圆经过两点， 求椭圆方求椭圆方程程 3 53 52 2（- ，）与（ ，）mx2+ny2 =1(m, n0)或或 是椭圆是椭圆两种标准方程的统一形式两种标准方程的统一形式 221,(0,0)xymnmnmn，（1）即为先定位（定焦点位置）即为先定位（定焦点位置）再定值（基本量再定值（基本量a,b,c的值）的值）用用待定系数法

9、待定系数法求解椭圆方程时求解椭圆方程时（2）当）当焦点位置不明确焦点位置不明确时，可设椭圆标准方程为时，可设椭圆标准方程为: mx2+ny2 =1(m,n0) ,可使运算简便；可使运算简便；（3）若由题设求出基本量）若由题设求出基本量a,b,c的值，但不能确的值，但不能确定焦点位置，应该分两种情况说明方程定焦点位置，应该分两种情况说明方程注意等式注意等式c2=a2 - -b2的运用的运用例例 已知已知 B、C 是两个定点，是两个定点，|BC| = 6，且，且ABC的的周长等于周长等于16，求顶点，求顶点A的轨迹方程的轨迹方程 .ABCxyO解：解：建系如图，建系如图，由题意由题意|AB|+|A

10、C|+|BC|=16|AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6，有有|AB|+|AC|=10|AB|+|AC|=10，由椭圆的定义知由椭圆的定义知：点：点A A的轨迹是椭圆，的轨迹是椭圆，2c=6 , 2a=10， c=3 ，a=5 ，b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .故顶点故顶点A的轨迹方程是：的轨迹方程是：221(0)2516xyy例例3. 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点从这个圆上任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP，求线段，求线段PP的中点的中点M的轨迹。的轨迹。 MPP2-2O解：当解

11、：当M是线段是线段PP的中点时，设的中点时，设动点动点M的坐标为（的坐标为（x ， y），则），则P的坐标为的坐标为 （x ，2 y）因为点因为点P在圆心为坐标原点半在圆心为坐标原点半径为径为2的圆上的圆上 所以有 4)2(22yx1422yx所以点所以点M的轨迹是椭圆，的轨迹是椭圆，4422yx即1422 yx方程是xy相关相关点法点法例例已知已知 是该椭圆上两点，是该椭圆上两点，A点坐标为点坐标为 ， 且且 ， ，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程. .,A B3( 10,10)2| 2 13OB AOBO注意：注意： 1.当当焦点位置不明确焦点位置不明确时，可设椭圆标准方程为时，

12、可设椭圆标准方程为: mx2+ny2 =1(m,n0) ,可使运算简便；可使运算简便； 2. 画图画图是为了寻找图中的等量关系，以建立方程是为了寻找图中的等量关系，以建立方程.221222125.1,(0),.xyabF FabPFPFP例 已知椭圆是两个焦点，是椭圆上一点，求最大时 点坐标 yoF1 1F2 2xP21PFF证明：设2211| ,|tPFtPF令212222124cost tctt由椭圆的第一定义得：att221212212212122221242)(24cost tct tttt tctt2121222244t tt tca12cos212t tb,)2(222121att

13、t t又)(21时取等号当tt 12cos22ab最大。时，即当21), 0(PFFbP例例4.已知椭圆已知椭圆 ，焦点为，焦点为F1和和F2 ，P是椭圆是椭圆 上一点，且上一点，且 ，求，求 的周长和面积。的周长和面积。22221xyab21FPF21PFF21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c.相关知识：相关知识： 注意注意新旧知识的综合运用新旧知识的综合运用1 212121sin2PFFSPFPFFPF222121212122cosFFPFPFPFPFFPF余弦定理：21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c，其其面积面积为为2212tantan22FPFbb课堂小结课堂小结1.1.求椭圆标准方程的问题；求椭圆标准方程的问题；2.2.焦点三角形的周长、面积问题焦点三角形的周长、面积问题. .本节课学习了两类问题：本节课学习了两类问题：P42P42练习：练习：4. 4. P49P49习题习题2.2A2.2A组：组：6 6，7 7，8.8.