2022年新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案 .pdf

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1、名师精编优秀教案DCBADCBAFE12第一章三角形的证明第一节等腰三角形（一）模块一预习反馈（ P2P6）一知识点1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ） 。 （论证）2、全等三角形的对应边相等, 对应角相等。3、等腰三角形性质定理：（等边对等角）。 （论证）4、推论（三线合一）：。 （论证）5、等边三角形性质定理：。 （论证）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1. 如图，已知 D =C， A =B，且 AE = BF。求证： AD = BC。2如图，在 ABC中，AB = AC，AD AC BAC = 100。求1、3、B的度数。3如图，在 ABC

2、中，D为 AC上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若C = 29 ，求A。模块三能力提升1填空：（1）如图，在 ABC中，AB = AC，点 D在 AC上，且 BD = BC = AD。请找出所有的等腰三角形。（2）等腰三角形的顶角为50，则它的底角为。（3）等腰三角形的一个角为40，则另两个角为。（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。2如图，在 ABC中，AB = AC，D是 BC边上的中点，且DE AB ，DF AC 。求证： 1 =2。ABCDEF321ABCDDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

3、1 页，共 19 页名师精编优秀教案A E D B C 1 2 A B F DE C 模块四：课下练习能力提升1. ABC 中， AB AC ，A50，P是ABC 内一点，且 PBC ACP ，求 BPC的度数 _ 2已知：如图，在 ABC中，AB AC ，BD ，CE是ABC的角平分线 . 求证： BD CE. 3如图， A、B、F、D在同一直线上， AB=DF ， AE=BC ，且 AE BC. 求证： AEF BCD ，EF CD. 第一节等腰三角形（二）模块一预习反馈（ P5例 1P9）一知识点1、等腰三角形两个底角的平分线相等；2、等腰三角形腰上的高相等；3、等腰三角形腰上的中线相等

4、；4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；（以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页名师精编优秀教案EABCDEABCDEABCD5等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60 。6、两个角相等的三角形是等腰三角形。 （等角对等边）7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。模块二基础训练1. 在如图的等腰三角形ABC中，(1) 如果ABD=13ABC ，ACE=

5、13ACB呢?由此，你能得到一个什么结论? (2) 如果 AD=12 AC，AE=12 AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD=13 AC，AE=13 AB 呢?由此你得到什么结论 ? 2想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。a) 三角形中必有一个内角不少于60 度；b) 一个三角形中不能有两个角是钝角；c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。3、如图，ABC中，BD AC于 D，CE AB于 E，BD = CE。求证：ABC是等腰三角形。模块三能力提升1、如图，在 ABC中，AB = AC ，DE BC ，求证： ADE 是等腰三角形。2、如图， E是 ABC

6、 内的一点， AB = AC，连接 AE 、BE 、CE ，且 BE = CE，延长 AE，交 BC边于点 D。求证： AD BC 。EABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页名师精编优秀教案模块四：课下练习1、在 ABC 中，ABAC ，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，B等于 _度2、如图，在 ABC中， B、C的平分线交于 E，过 E作 DF BC交 AB于 D，交 AC于 F若 BD CF8，则线段 DF的长（）. A 9 B7 C 8 D6 3. 在ABC中， ABC123，CD A

7、B于 D，AB a，则 DB等于（）. A.a23 B.2a C.3a D.4a第一节等腰三角形（三）模块一预习反馈（ P10P11）一知识点1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。2、等边三角形的判定1） 三个角都相等的三角形是等边三角形。2） 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形。 （证明）3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （证明）模块二基础训练1、 已知：如图， ABC是等边三角形， DE BC ，交 AB 、AC于 D、E。求证： ADE 是等边三角形。2、如图， ABC是等边三角形， BD = CE，1 =2

8、。求证： ADE 是等边三角形。EABCD21EAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名师精编优秀教案3、如图，在 RtABC中， B = 30 ，BD = AD，BD = 12，求 DC的长。模块三能力提升1、填空：（1）如图 1，BC = AC，若，则 ABC是等边三角形。（2）如图 2，AB = AC，BC AD ，BD = 4，若 AB = ，则 ABC是等边三角形。（3）如图 3，在 RtABC中，B = 30，AC = 6cm ，则 AB = ；若 AB = 7，则 AC = 。图 1 图 2 图 3

9、2、如右图，已知 ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD 。模块四：课下练习1、填空：（1）如图 1，AB = AC，AD是ABC的一条中线， AB = 5 ，若 BD = ，则ABC 是等边三角形。（2）如图 2，BAC 120，ABAC ，AB 14，则 AD = 。图 1 图 2 2、已知：ABC中，90ACB，ABCD，30A，AB = 40 ，求 DB的长。CBAD30?CBAABCDABCABCDDCBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师精编优秀教案B A C D 3、在四边形 ABCD

10、中， A=60 ， B=D=90 ，BC=2 ，CD=3 ，求： AB的长第二节直角三角形（一）模块一预习反馈（ P14P16）一知识点1、直角三角形的两个锐角互余。 （性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一

11、个定理的逆定理。模块二基础训练1、如图， BA DA于 A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证： BA DC 。2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则 a =_。3、已知：如图， ABC中，CD AB于 D，AC =4，BC =3，DB =59。DCBA12915精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页名师精编优秀教案（1）求 DC的长； （2）求 AD的长； （3）求 AB的长；（4）求证： ABC是直角三角形 . 模块三能力提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角

12、形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。1）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5 所示， ACB 90，AC 80米， BC 60米，若线段 CD是一条小渠，且 D点在边 AB上，已知水渠的造价为 10 元/ 米，问 D点在距 A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？模块四：课下练习1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。（1）矩形是平行四边

13、形。（2）内错角相等，两直线平行。（3）如果yx，则22yx。（4）全等三角形对应角相等。（5）对顶角相等（6）如果 ab=0, 那么 a=0,b=0； 2、如图， AB BC ，DC BC ，E是 BC上一点， BAE =DE C=60 ，AB =3，CE =4，则 AD等于。3 、如图所示的一块地，ADC=90 ，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师精编优秀教案CADB第二节直角三角形（二）模块一预习反馈（ P18P20）一

14、知识点斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（ “斜边、直角边”或“ HL” ）（证明）模块二基础训练1、在 RtABC中，C = 90 ，且 DE AB ，CD = ED，求证： AD是BAC的角平分线。2、如图， ACB = ADB = 90，AC = AD，E是 AB上的一点。求证： CE = DE。3、在ABC ABC 中， CD ，CD 分别分别是高，并且AC AC ，CD=CDACB= ACB 求证： ABC ABC EDABCCBADECCADBBDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师精编

15、优秀教案模块三能力提升1、填空： . 如下图， RtABC 和 RtDEF ， C =F=90。（1）若 A=D ，BC =EF ，则 RtABC RtDEF的依据是 _. （2）若 A=D ，AC =DF ，则 RtABC RtDEF的依据是 _. （3）若 A=D ，AB =DE ，则 RtABC RtDEF的依据是 _. （4）若 AC =DF ，AB =DE ，则 RtABC RtDEF的依据是 _. （5）若 AC =DF ，CB =FE，则 RtABC RtDEF的依据是 _. 2、如下图， CD AD ，CB AB ，AB=AD ，求证： CD=CB 。模块四：课下练习1. 已知

16、 x、y 为正数，且034222yx，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）. A.5 B.25 C.7 D.15 2. 折叠矩形纸片 ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠 AD边与对角线 BD重合，得折痕 DG ，如图，若 AB=2 ，BC=1 ，求 AG的长. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师精编优秀教案EDABCEDABCCBADE第三节线段的垂直平分线（一）模块一预习反馈（ P22P23）一、知识点1、线段垂直平分线上的点到这条线段

17、两个端点的距离相等。（性质）2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1、如图，在 ABC中， C = 90 ，DE是 AB的垂直平分线。1）则 BD = ；2）若 B = 40 ，则 BAC = ， DAB = ， DAC = ， CDA = ；3）若 AC= 4， BC = 5 ，则 DA + DC = ，ACD 的周长为。2、如图， DE为ABC 的 AB边的垂直平分线， D为垂足，DE交 BC于 E， AC = 5 ，BC = 8，求 AEC的周长。3、在 ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交A

18、C于 D，ABC和DBC 的周长分别是 60cm和 38cm ，求 AB 、BC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页名师精编优秀教案CBADE132CBADE模块三能力提升1、如图，已知 AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于 D。1）若 DBC 的周长为 24cm ，则 BC = cm；2）若 BC = 8cm，则 BCD 的周长是 cm。2、已知在 ABC中，DE是 AC的垂直平分线， AE = 3cm，ABD的周长是 13cm ，求ABC的周长。模块四：课下练习1、如图， ABC中，AB

19、= AC，A = 40 ，DE为 AB的中垂线，则 1 = ，C = ， 3 = ， 2 = ；若 ABC的周长为 16cm ，BC = 4cm，则 AC = ，BCE的周长为。2、如图，在 ABC中，AB的垂直平分线交 AC于 D ，如果AC= 5cm ，BC= 4cm ，AE = 2cm，求 CDB 的周长。第三节线段的垂直平分线（二）EDABCEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页名师精编优秀教案模块一预习反馈一知识点1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、尺规作图

20、：已知直线外一点作直线的垂线。证明 1 模块二基础训练1、用尺规作线段的垂直平分线。2、已知直线l和l上一点 P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。3、已知：线段 a、h，求作： ABC ，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h作法：模块三能力提升1、 ABC的三条边的垂直平分线相交于点P， 若 PA = 10， 则 PB = ， PC = 。2、已知：线段 a=4cm 、h=6cm求作： ABC ，使 AB = AC，且 BC = a ，高 AD = h作法：模块四：课下练习1、如果ABC的边 BC 的垂直平分线经过顶点A，与 BC 相交于点D，且2ABAD ，则ABC中必有

21、一个内角的度数为（）. A. 45 B. 60 C. 90 D.1202、如图， ABC 中，124A， BC 边上的垂直平分线交AC 于D，交 BC 于E，BABABAABPha精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页名师精编优秀教案BD分ABC为两部分若:3: 2ABDDBC，则C（）. A.24 B. 16 C.30 D. 89. ABC 中，AB=AC ，BAC=100 ，两腰 AB 、AC的垂直平分线交于点 P，则（）. A.点 P在ABC 内 B.点 P在ABC 底边上 C.点 P在ABC 外D.点 P的位

22、置与 ABC 的边长有关第四节角平分线（一）模块一预习反馈（ P28P29）一知识点1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（性质）2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师精编优秀教案模块二基础训练1、如图， CD AB ，BE AC ，垂足分别为 D、E，BE 、CD相交于 O ，且1 =2。求证： OB = OC 。2、如图， AB = AC，DE为 ABC 的 AB边的垂直

23、平分线， D为垂足， DE交 BC于 E。求证： BE + EC = AB。3、如图，在 ABC中，AC = BC，C = 90 ，AD是ABC的角平分线， DE AB，垂足为 E。（1）已知 CD = 4cm，求 AC的长；（2）求证： AB = AC + CD。模块三能力提升1、如图， CD AB ，BE AC ，垂足分别为 D、E，BE 、CD相交于 O ，且 OB = OC 。求证： 1 =2。2、如右图，已知BE AC于 E，CF AB于 F，BE 、CF相交于点 D，若 BD=CD 。求证： AD平分 BAC 。模块四：课下练习1、如图， E是线段 AC上的一点， ABEB于 B，

24、AD ED于 D，且 1 =2，CB = CD。21OEDABCEDABCEDABC21OEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师精编优秀教案求证： 3 =4。2、如图，在 ABC中，BE AC ，AD BC ，AD 、BE相交于点 P，AE = BD。求证： P在 ACB 的角平分线上。3、如图， E为 AB边上的一点， DA AB于 A，CB AB于 B，1 = C，DE = EC。求证： DA + CB = AB。第四节角平分线（二）模块一预习反馈（ P30P31）一知识点1、三角形三条角平分线相交

25、于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。231EDABC4PCBADECBADE1B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师精编优秀教案2、如图，求作一点P，使 PC = PD，并且点 P到 AOB 两边的距离相等。3、 （1）利用角平分线的性质，找到ABC内部距三边距离相等的点。（2）在右图 ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。模块三能力提升1、填空：（1）如图 1，点 P为ABC三条角平分线交点， PD

26、AB，PE BC ，PF AC ，则PD_PE_PF. （2）如图 2，P是AOB 平分线上任意一点，且PD=2cm ，若使 PE=2cm ，则 PE与 OB的关系是 _. （3）如图 3，CD为 RtABC斜边上的高， BAC的平分线分别交CD 、CB于点 E、F，FG AB ，垂足为 G ，则 CF_FG ，1+3=_ 度， 2+4=_度，3_4，CE_CF. 图 1 图 2 图 3 2、已知：如图在 ABC中， C=90，AD平分 BAC ，交 BC于 D ，若 BC=32 ，且 BD CD=9 7，求： D到 AB边的距离 . BAOCBADO精选学习资料 - - - - - - -

27、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师精编优秀教案模块四：课下练习能力提升1、如图， RtABC中，C=90o ，BD是角平分线， DE AB ，垂足为 E，BC=6 ，CD=3 ，AE=4 ，则 DE=_ ，AD=_ ，ABC 的周长是 _2. 如图， ABC中，C=90o ，BD平分ABC交 AC于 D ，DE是 AB的垂直平分线，DE=21BD ，且 DE=1.5cm ，则 AC等于（）. A3cm B 7.5cm C6cm D4.5cm 3已知， RtABC中，C=90 ，AD平分 BAC交 BC于 D，若 BC=32 ，且 BD CD=9 7，

28、则D到 AB的距离为（）. A.18 B.16 C.14 D.12 第一章回顾与思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。【学习过程】模块一预习反馈一预习要求1请同学们阅读教材1 页39 的内容，并选做教材41 页的复习题。A B C D E B C D E A 精选学习资料 - - -

29、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页名师精编优秀教案2预习过程中请注意：不懂的地方要用红笔标记符号；完成你力所能及的习题；数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。二知识点1、等腰三角形的性质：（边）； （角）； “三线合一”的内容。2、等边三角形的性质：（边）； （角）。3、判定等腰三角形的方法有： （边）； （角）。4、判定等边三角形的方法有： （边）； （角）。5、线段垂直平分线的性质定理：。逆定理：。三角形的垂直平分线性质：。6、角的性质定理：。逆定理：。三角形的角平分线性质：。7、三角形全等的判定方法有：。8

30、、30锐角的直角三角形的性质：。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法： 1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边； 4）等腰三角形三线合一的性质； 5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等； 2）平行线性质； 3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角； 6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明： 主要利用

31、等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。模块二基础训练2、已知：如图， D是ABC的 BC边上的中点， DE AC ，DFAB ，垂足分别是 E、F，且DE=DF 。求证： ABC是等腰三角形。2、如图，在 ABC中，AB=AC ，AB的垂直平分线交 AC于点 E，已知 BCE 的周长为 8，AC BC=2. 求 AB与 BC的长. EFCDABEDCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师精编优秀教案C E A D BBCAED图 1 模块三能力提升1、已知，等腰三角形的一边长为6，另一边长为3，

32、则此等腰三角形的周长是2、等腰三角形的底角为15, 腰上的高为 16, 那么腰长为 _ _ 3、等腰三角形的一个角是80 度，则它的另两个角是4、如图 1，在 ABC 中，已知 AC=27 ，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，BCE的周长等于 50，则 BC的长为。5、如图 2，在 ABC 中， C=90 ， A的平分线交 BC于 E，DE AB于 D ，BC=8 ，AC=6 ，AB=10 ，则 BDE 的周长为 _。6、. 如图 3，在 ABC 中， ACB=90 ,BE 平分 ABC ，DE AB于 D，如果 AC=3 cm ，那么 AE+DE 等于。图 2 图 3 7、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”, 其逆命题是_.它是一个 _命题。8、如图， AC平分 BAD ，CE AB，CF AF ，E、F 是垂足，且 BC = CD。求证： （1）BCE DCF ；（2）DF = EB。CBADEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页