2022年点与曲线空间投影的探讨_学士学位论说 2.pdf

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1、西安文理学院学士学位论文点与曲线空间投影地探讨系 院 名 称数学与计算机工程学院西安文理学院数学与计算机工程学院精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页点与曲线空间投影地探讨（西安文理学院数学与计算机工程学院，陕西西安， 710065）摘要： 空间投影是解读几何地重要内容之一，而且其应用很广泛.本文介绍了空间投影地概念，给出了点与曲线空间投影地概念及其求法，并分析了空间曲线在坐标平面地投影地误区所在，将点与曲线空间投影整体做了归纳，并总结了几种投影地具体求法.关键词：空间地点；空间地直线；空间地曲线；投影.The pro

2、jection of points and curves in spaceWang Chun( Mathematics and computer engineering Xian University of Arts and Science College of Xian, Shaanxi,710065)Abstract: the analytic geometry of space projection is one of the important contents, but also its application is very extensive. This paper introd

3、uces the concept of space projection is presented, and the curve of space projection concept and method, and an analysis of space curve in a coordinate plane projection of the misunderstandings, the points and curves in space projection overall summarized, in the projection of lines, points in the p

4、rojection plane, straight line in the plane of projection, curve in the coordinates of the projection and the curve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.Key words: point of space 。 space straight line。 space curve 。 pro

5、jection.前言：投影在几何研究领域有着重要地位，点与曲线是几何研究中比较普遍地东西，也是至关重要地内容，有许多技巧和方法需要我们掌握，本文主要通过实例说明问题并将其归纳总结，也指出了在求投影时经常出错地地方，并总结了求点与曲线地各种投影地方法.一、预备知识空间曲线地一般方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页空间曲线 C 可看作空间两曲面地交线.0),(0),(zyxGzyxF叫做空间曲线地一般方程.特点：曲线上地点都满足方程，满足方程地点都在曲线上，不在曲线上地点不能同时满足两个方程 .空间曲线地一般方程0)

6、,(0),(zyxGzyxF，当给定1tt时，就得到曲线上地一个点),(111zyx，随着参数地变化可得到曲线上地全部点.二、空间点地投影1、空间点到直线地投影定义：点到直线地投影就是由点向直线做垂线，这条垂线和直线地交点即所求地投影.求法：过点0p作平面与 L 垂直， L 与交点 p 即为点0p在直线 L 上地投影点 .0pLp例 1、求点(1,2,3)在直线上2310 xy地投影？解：所求投影就是该直线与以(2, 3,1)为法向量地，且过点(1,2,3)地平面地交点 ，所求平面方程为：2(1)3(2)30 xyz，即xozy1S2SC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

7、纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页231xyz，与直线方程联立即可解出67x,6714y,4314z，所以所求投影为6674371414(,).2、空间点到平面地投影定义 : 点到平面地投影就是由已知点向已知平面作垂线，垂线与已知平面地交点即为投影点 .求法：过0p作直线 L 与垂直， L 与交点 p 即为点0p在平面上地投影点 .0PLP例 2、平面 L 为2260 xyz,点为(0,0,0)O,求点O在平面 L 上地投影 .解：过已知点(0,0,0)O，作垂直于平面2260 xyz地直线：直线地参数方程 为0 xt, 02yt, 02zt；x= t, y = 2t,

8、 z = 2t，求该直线与平面2260 xyz地交点 , 直线方程代入平面方程，得 9t=6 ，故23t，于是244333( , , )，即为所求投影点 .例 3、已知点(1,2, 3)A,求点 A 在平面23510 xyz上地投影点B？解：过点(1,2, 3)A向平面23510 xyz做垂线，交平面于B因为向量(2,3,5)为平面地法向量，所以过线段AB 地直线地方向向量为(2,3,5)，所以根据空间直线地点向式可得：垂线AB 地方程为12x=23y=35z，它与平面23510 xyz地交点 B 即为投影点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

9、 -第 4 页，共 14 页所以将上述两个方程联立解出B（-519，219,319）.三、空间曲线地投影1、直线在空间平面地投影定义：直线在平面地投影就是直线上每一点在平面地投影点构成地直线.求法 : 过 L 作平面1与垂直，则1与地交线为 L 在上地投影 .L通常求直线在平面地投影，我们采取地方法是：（1）、在直线上任取两点，分别向平面做垂线，垂线与平面交点所在地直线就是直线到平面地投影；（2）、过直线L 作平面1与垂直，则1与交线为就是直线L 在平面地投影 .例 4、直线 L：x2yz12xyz0。在平面x+y+2z=5 上地投影直线方程是什么？解：在直线 L: x2yz12xyz0上取点

10、 A(0,1,-1),B(13,0, 23).过 A 作平面x+y+2z=5 地垂线 x=y-1=12z,交平面 x+y+2z=5 于点 C(1,2,1). 过 B 作平面x+y+2z=5 地垂线13x=y= 232z,交平面 x+y+2z=5 于点 D(43,1, 83).直线 CD:3(x-1)=-(y-2)=35(z-1),就是 L 在平面 x+y+2z=5 上地投影直线 .例 5、求直线x2yz103x2yz10,在平面0 xyz上地投影直线方程 .解：0 xyz地法向量为 (1,1,1) ，过直线x2yz103x2yz10地平面束方程为21(321)0 xyzkxyz，即(13 )(

11、22 )(1)10k xk ykzk (1)，法向量为 (1+3k,2-2k,k-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页1)，若该法向量与 (1,1,1)垂直，则(13 )*1(22 )*1(1)*10kkk，即2k+2=0，k=-1；代入 (1) 21(321)0 xyzxyz，即24220 xyz，即210 xyz该平面与平面30 xyz地交线就是投影直线，直线就是x2yz10 xyz30，也可化成较简单地形式23y,73xz .2、空间曲线在平面地投影2.1、空间曲线在坐标面上地投影设空间曲线 C地一般方程为由上

12、述方程组消去变量z，x，y 后所得地方程分别为：H ( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0 表示曲线 C在xoy面上地投影 , 表示曲线 C在yoz面上地投影 , 表示曲线 C在 xoz面上地投影 . 设空间曲线地一般方程：0),(0),(zyxGzyxF，消去变量z 后得：0),(yxH这就是曲线关于xoy地投影柱面，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页投影柱面地特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影地坐标面.如图 :投影曲线地研究过程.例 6、求曲线211222zzyx在坐标面

13、上地投影.解（ 1）消去变量z 后得,4322yx在xoy面上地投影为,04322zyx（2）因为曲线在平面21z上，所以在xoz面上地投影为线段.;23|,021xyz（3）同理在yoz面上地投影也为线段.空间曲线投影曲线投影柱面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页.23|,021yxz例 7、 求抛物面xzy22与平面02zyx地截线在三个坐标面上地投影曲线方程 .解:截线方程为0222zyxxzy（1）消去z得投影,004522zxxyyx（2）消去z得投影,0042522yxxzzx（3）消去x得投影.002

14、22xzyzy补充 : 由空间曲线围成地空间立体或曲面在坐标面上地投影.空间立体曲面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页例 8、设一个立体，由上球面224zxy和223()zxy锥面所围成，求球面与锥面围成圆地曲线在xoy平面地投影 .解:半球面和锥面地交线为, )( 3,4:2222yxzyxzC, 122yxz得投影柱面消去面上的投影为在则交线xoyC. 0, 122zyx一个圆 ,2.2、在寻求 L 在坐标平面上地投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面地投影时常有如下典型错误：0(1 )求1L: 222222(1)1

15、2(1)1xyzxyyz在xoy平面上地投影曲线.解：从1L地两个方程中消去z得到20 xy，故1L :在xoy平面上地投影曲线地方程为200 xyz0(2 )求2L:2222220 xyzaxyax关于xoz平面地投影柱面地方程,解:从2L地两个方程消去y ,即得到2L关于xoz平面地投影柱面地方程 :22zaax，容易看出这两个解答都是不完善地，因为1L和2L均为两个曲面地交线,且 其 中至 少各有一个曲面是封闭地,即范围是有限地,所以1L在xoy平面 上 地 投 影,1L在xoz平面上地投影也只能在有限范围内.其实由以上所作,我们只能断定1L在柱面20 xy上，2L在柱面220zaxa上

16、，而它们各自是否与柱面地直母线都相交尚待讨论 .现来求1L在xoy平面上地投影曲线 ,易见1L可表成2222(1)1(1)0(2)xyzxy，由第一式知: 221xy，于是1L精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页地投影曲线应是曲线200 xyy，在xoy平面地单位圆内地部分,讨论不等式组22201xyxy，首先20yx，此外又有210yy，故解得5 120y，所以1L在xoy平面上地投影曲线应为200 xyz，5 120y.完全相仿 , 2L关于xoz平面地投影柱面方程为220zaxa，0 xa.现在我们就以寻求空间

17、曲线L: 12( , , )0(1)( , , )0(2)F x y zFx y z，在xoy平面上地投影曲线及关于xoy平面地投影柱面为例, 给出其正确地解法如下:从方程（ 1）、（ 2）消去坐标z，得( , )0f x y（3），如果记xoy平面上地曲线0T: ( , )00f x yZ以 及 当 方 程 （ 1 ） 或 （ 2 ） 显 含z时 ，记xoy平 面 上 地 区 域, ,0 |( , , )0ziiDx yF x y z关于 有实解，再根据L 地新方程是L:1( , , )0( , )0F x y zf x y或者 L:2( , , )0( , )0F x y zf x y,那

18、么，曲线在xoy平面上地投影就是10rDr，或者20rDr，而 L 在xoy平面地投影柱面为( , )0,( , ,0)f x yx yr，作为特殊情况，我们易见曲线( , , )00,0F x y zAxByCzDC在xoy平 面 上 地 投 影 曲 线 及 关 于x o y平 面 地 投 影 柱 面 方 程 分 别 为(,)00A xB yDCFxyz和( , ,)0AxBy DCF x y.例 9、对于曲线L: 2222244(1)3812(2)yzxzyzxz，由第一式乘以3 再减去第二式得：240yx， 又 由 （ 1 ） 式 知21(, 0 )220Dxyyx， 解 不 等 式 组

19、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页2240220yxyx，得22y，故L 在xoy平面上地投影曲线方程为2400yxz且22y， （ 或 者10 x） ， L 关 于x oy平 面 地 投 影 柱 面 为240yx，22y.例 10、对于曲线L：222222(1)0(2)xyzaxyax将（ 2）式改写成2222()( )aaxy，易见在xoy平面上圆0r：22222()( )aaxy整个被包括在半径为a 地圆222xya之内，即01rD，故 L 在xoy平面地投影柱面即为圆柱面：22222()( )aaxy.下

20、面在求此曲线在yoz平面地投影柱面.把L 地 方 程 首 先 改 写 成L ：22222(1)0(3)xyzazax进 而 在 把 它 改 写 成L: 2222220(3)()( )(4)aazazaxy，又易知对于任意y，z，方程（ 3）关于x 均有实解，故从曲线 L 地最后形式地方程立即可知L 在yoz地投影柱面为22222()( )aazay.就以上所论可见，问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产生地限制条件.如果在问题（2）中，将2L写成2222()xyzaya ax，那么由第二式立即有0 xa，再 将 第 二 式 代 入 第 一 式 ， 即 消 去z就 得 到 关 于xoz

21、平 面 地 投 影 柱 面 方 程220,0zaxaxa.同样道理，对于一些归结为消去参数地问题，特别由曲线族生成曲面时，我们务必考虑为使这些参数在实数范围对点地坐标所产生地限制条件，否则难以活得正确结论.2.3、空间曲线在一般平面上地投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面地投影，现在我们来研究一下空间曲线在一般平面地投影有哪些问题：所谓空间曲线C 在平面 P 上地投影线 ,是将 C 上地每一点作P 地垂直线与P 地交点地集合 .问题 1 ： 求空间曲线C 在一般平面P ：0AxByCzD上地投影曲线l 地方程 . 方法一空间曲线C 可看成两个空间曲面地交线,即可用,0,0Fx y zG x y

22、 z ( 1)表示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页 ( 1) 式称为曲线C 地一般方程 .所求投影曲线l 可看成由两个空间曲面地交线，一个是已知平面P,另一个是经过已给空间曲线C 且垂直于已知平面P 地柱面 ,故问题转化为求这一柱面方程.设柱面地准线地方程为, ,0, ,0Fx y zG x y z，母线方向,bA B C，点 M( x , y, z) 属于柱面地充要条件是点M 在某一条母线上，即存在准线上一点1M(1x, 1y, 1z ) ， 使 得 点M位 于 过 点1M且 以b 为 方 向 向 量 地

23、直 线 上 . 因 此 ， 有111111,0,0FxyzGxyz，方法二空间曲线C 也可用参数方程表示,即111xxAtyyBtzzCt，其中 t 为参数 .经过 C 上任意一点,x ty tz t，作P 地垂直线方程为xx tyy tzz tsABC，则该 垂直 线方程可写 成参数 式 :000,.xx ts Ayy ts Bzz ts C代 入平面P 地方程求出s,记 为0s：0222Ax tBy tCz tDsABC，设 t 在 C 地定义域内变动,即得 l 地参数方程如上,注意 , 当 t 变动时，0s不是常数 .特别地，若P 为xoy平面 ,则0,1ABDC于是 l 地参数方程为0

24、0 xx tyy tzz ts C，即曲线C 在xoy平面上地投影曲线只要将其参数方程中地z = z ( t ) 换成 z = 0 即可 .例 11、求空间曲线22:2xyzCxz在平面：23xz上地投影曲线地方程.解投影曲线地方程可看作平面 P 和经过空间曲线C 且垂直于平面P地柱面地交线 .先求柱面方程 :柱面地准线方程为22020 xyzxz，母线方向为1,0, 2b，设点 M( x , y, z ) 是 柱 面 上 一 点 ,点1M (1x, 1y, 1z ) 为 准 线 上 一 点 ,则 有22111110,20;xyzxz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

25、总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页111,2 .xxtyyzzt， 由 以 上 两 式 消 去1x , 1y , 1z及t, 可 得 柱 面 方 程 为222425420100.xyzxzxz故投影曲线方程为22223,425420100.xzxyzxzxz.例 12、 求曲线3cos,:4sin, 025,xCyz在平面10 xyz上地投影曲线地方程 .解：经过已知曲线C 上任意一点,xyz作已知平面地垂直线方程为3cos4sin5111xyzs，则该垂直线方程可写成参数式: 3cos,4sin,5.xsyszs代入已知平面方程求出s,记为0s :03cos4sin5

26、13s，于是得到投影点地坐标: 0003cos,4sin,5.xsyszs，上式即为所求投影曲线地参数方程.总结，由上面可知，点与曲线在空间地投影在解读几何中地位地重要性，将它总结归纳可以为以后研究解读几何提供了便利.结束语综上所述，数学研究就是不断总结学习新知识地过程，通过研究学习不断发现问题，并将其改正完善.在本节所涉及点与曲线在空间地投影就是通过总结以前所学地知识，找出解决地办法，并将我们容易出错地地方分析研究，不但采用具体实例说明，而且采用数形结合，可以让我们直观地发现问题，为解读几何研究提供便利，另外，本文将点与曲线在空间投影扩展到由曲线围成地立体图形也给了研究和分析地投影，为今后数

27、学研究提供了很好地素材.【参考文献】 1 同济大学数学教研室.高等数学 M . 北京 :高等教育出版社, 1996. 2 钱昌本 .高等数学解题过程中地分析和研究 M . 北京 : 科学出版社 , 2005.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页 3 孙本旺 ,汪浩 . 数学分析中典型例题和解题方法M . 长沙 :湖南科学技术出版社, 1983. 4 徐利治 ,王兴华 . 数学分析地方法及例题选讲M . 北京 :高等教育出版社, 1984.5 李养成 , 郭瑞芝 . 空间解读几何 M . 北京 :科学出版社 ,200

28、7: 77 - 79.6吕林根 .解读几何第四版 M. 高等教育出版社，2005.7李建华 .射影几何 M. 北京 :科学出版社 ,2011.8徐文智 .高等数学 M. 西安电子科技大学，2010.9唐伦章 .高等代数 M. 化学工业出版社，2010.10陈治中 . 线性代数与解读几何 M. 北方交通大学出版社，2003.11郑宝东 . 线性代数与解读几何 M. 北京 :高等教育出版社,2000.12水乃翔 .从空间曲线问题地典型错误谈起 P.湖州师专学报1984:55-57.致谢本论文是在我地指导老师闫焱副教授地亲切关怀和悉心指导下完成地.她用严谨地治学精神，精益求精地工作作风，在忙碌地教案

29、之余抽出时间对我地论文给予最细致地指导，不断地督促并为我指导，同时也深深地感染和激励着我.在此我要向我地指导老师致以最衷心地感谢和深深地敬意.同时，也向帮助和指导过我地各位老师表示最衷心地感谢！另外，在论文地撰写过程中，我地同学和朋友不但为我提供了很多地论文素材，指导我计算机使用技术，而且对文章提出了修改意见，给予我热情地帮助，在此，对所有帮助过我地同学致以诚挚地谢意.同时，感谢学校给我提供地良好学习环境，让我能够学习这么多知识，图书馆能够提供相关资料，从而能顺利完成毕业论文撰写和学业. 在论文即将完成之际，我地心情无法平静，从开始进入课题到论文地顺利完成，有多少可敬地师长、同学、朋友给了我无言地帮助，在这里请接受我诚挚地谢意! 最后，我衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩地各位老师、教授.王春春2012 年 5 月 14 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页