2022年二次函数与四边形的动点问题2 .pdf

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1、学习必备欢迎下载72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 二次函数与四边形的动点问题一、 二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线l与抛物线交于A、 C两点，其中C 点的横坐标为2（1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过P点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、 C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不

2、存在，请说明理由练习 1.(河南省实验区) 23如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和 B（0， 4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由练习 2. （四川省德阳市） 25.如图，已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B，的抛物

3、线1l的顶点为(3 4)C，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C（1）求抛物线2l的函数关系式；（ 2）已知原点O，定点(0 4)D，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由A 543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载练习3.（山西卷）如图

4、，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点 （点C在点D的左侧）， 顶点为N， 四边形MDNA的面积为S 若点A，点D同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式， 并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边

5、形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由二、 二次函数与四边形的面积例 1.（资阳市） 25.如图 10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a 0) 与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y轴交于点C，矩形 DEFG 的一条边DE 在线段 AB 上，顶点F、 G 分别在线段BC、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -520 (1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为 (m，0)，矩形 DEFG 的面积为S，求 S 与 m的函数关系，并指出m 的取值范围；(3)

6、当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时， 连接 DF 并延长至点M，使 FM=k DF，若点 M 不在抛物线P上，求 k 的取值范围 . 练习 1.（辽宁省十二市20XX 年第 26 题）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点 H 的坐标为（ 8，0），点 N 的坐标为（ 6， 4）（1）画出直角梯形OMNH 绕点 O 旋转 180 的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C 的坐标（点M 的对应点为A， 点 N 的对应点为B，点 H 的对应点为C）；（2）求出过 A，B，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G 分别在线段CO，OA，AB 上，求四

7、边形BEFG 的面积 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（ 3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，（5）请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，图10 B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载Q同时从点A

8、出发， 点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动， 到点C停止， 点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1： y=x2-4 的图象与x 轴相交于A、C 两点， B是抛物线 l1上的动点 (B 不与 A、C 重合 )，抛物线 l2与 l1

9、关于 x 轴对称， 以 AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D. (1) 求 l2的解析式；(2) 求证：点D 一定在 l2上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三、二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市 )28. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点E，将

10、 POE沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线PD、 PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点D 落在 BC 边上，求过点P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标例 2.（20XX 年沈阳市第26 题）、已知抛物线yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，其中点 B 在 x轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OBOC）是方程x2

11、10 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），过点E 作 EF AC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为S，求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（ 3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时 BCE 的形状；若不存在，请说明理由例 3.(湖南省郴州 ) 27如图，矩形ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角

12、线A 平移，平移后的矩形为EFGH（A、 E、C、G 始终在同一条直线上），当点E 与 C 重时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线交于点M， EH 与 DC 交于点 P， FG 与 DC 的延长线交于点Q 设 S表示矩形PCMH 的面积，S表示矩形NFQC的面积图 2 OCABxyDPEF图 1 FEPDyxBACO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1） S与S相等吗？请说明理由（2）设 AEx，写出 S和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S有最大值，最大值

13、是多少？（3）如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE是等腰三角形练习 1.（07 年河池市）如图12， 四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0）， B（3，4）， C（ 0，4）点M从O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动； 点N从B同时出发， 以每秒 1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ（1）点（填 M 或 N）能到达终点；（2）求 AQM 的面积 S与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当 t 为何值时， S的值最大；（3）是否存在点M，使得 AQ

14、M 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，（4）说明理由练习 2.(江西省 ) 25实验与探究（1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），写出图1，2， 3中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；（2）在图4 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD， ，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef， ， ， ， ，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2， 3，4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，

15、（如图 4）时，则四个顶点的横坐标acme， ，之间的等量关系为；纵坐标bdnf， ， ，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc，(20)Hc，（其中0c）问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标yC()A ab，()D ef，()Bc d，Ox图 4 yC()A(4 0)D，(12)B ，Ox图 1 yC()A(0)D e，()B cd，Ox图 2 yC()A ab，()D eb，()B cd，Ox图 3 xNMQPHGFEDCBA

16、图 11 QPNMHGFEDCBA图图 12 yxPQBCNMOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载72xB(0,A(6,E F xyO 参考答案一、 二次函数与四边形的形状例 1.解：（ 1）令 y=0，解得11x或23xA（-1，0）B（3，0）；将C 点的横坐标x=2 代入223yxx得y=-3， C（2，-3）直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为x（-1 x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2( ,23)x xxP 点在 E 点的上方， PE=

17、22(1)(23)2xxxxx 当12x时 ， PE的 最 大 值 =94（ 3 ） 存 在4个 这 样 的 点F ， 分 别 是1234(1, 0 ) ,(3, 0 ) ,( 47 0 ) ,( 47 , 0 )FFFF，练习 1.解：（ 1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（ 2）点( , )E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，y0, y 表示点 E 到 OA 的距离

18、OA 是OEAF的对角线，2172264()2522OAESSOAyy因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（ 6，0），所以，自变量x的取值范围是1x6根据题意，当S = 24 时，即274()25242x化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点E 有两个，分别为E1（3， 4）， E2（4， 4）点 E1（3， 4）满足 OE = AE ，所以OEAF是菱形；点 E2（4， 4）不满足 OE = AE ，所以OEAF不是菱形当 OA EF，且 OA = EF 时，OEAF是正方形，此时点E 的坐标只能是（ 3， 3）而坐标为（ 3， 3）的点不在抛物线上，故不存在这样

19、的点E，使OEAF为正方形练习 2.解： （1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式为2(3)4ya x3211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEB1O2lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载543211 2 3 D5 5 4 3 2 1 ACEMBC1O2l1lxy又点(10)A ，在抛物线2(3)4ya x上，2(13)40a，解得1a抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265m

20、m，4OD，22654mm，即2652mm当2652mm时，解得36m当2652mm时，解得32m当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时，P POD，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM112122EBBM，3EM，4OE点M的坐标为(43)，但是，当4x时，246451624533y不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形练习 3. 解 （1）点( 4 0)A，点( 2 0)B

21、，点(0 8)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D，(2 0)C，(08)F，设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc，所以所求抛物线的解析式是268yxx（2）由（ 1）可计算得点( 31)(31)MN，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是平行四边形所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82 )(12 )4

22、148Stttt因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t（3）781444St，（04t）所以74t时，S有最大值814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形由（ 2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形所以ODON所以2222ODONOHNH所以22420tt解之得126262tt，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t点评 本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二、 二次函

23、数与四边形的面积例 1. 解： （1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx= -=；令 x=0，得 y=-4， A、B、C 三点的坐标分别是A(2， 0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P 过点 (1，-52)，(-3，52-)可知，抛物线 P的对称轴方程为x=-1，又抛物线 P 过 (2，0)、(-2， -4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为A(2， 0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，ADDGAOOC=，而 AO=2 ，OC=4，AD=2-

24、m ，故 DG=4-2m ，又BEEFBOOC=，EF=DG ，得 BE=4-2m ， DE=3m ，DEFGs=DG DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) . 注：也可通过解RtBOC 及 RtAOC，或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)， m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)， F(-2， -2)，E(-2，0)，设直线 DF 的解析式为y=kx+b ，易知， k=23，b=-23，2233yx=-，又可求得抛物线P的解析式为：2142yxx=+-，精选

25、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载令2233x -=2142xx+-，可求出3611x. 设射线 DF 与抛物线P 相交于点N，则 N 的横坐标为1613-，过 N 作 x 轴的垂线交x 轴于 H，有FNHEDFDE=161233-=5619-+，点 M 不在抛物线P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时k 的取值范围是k5619-+且 k0. 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：(2)ADDGAOOC=，而 AD=1 ，AO=2 ，OC=4，则 DG=2，又FGCPABOC=，

26、而 AB=6 ，CP=2，OC=4，则 FG=3，DEFGs=DG FG=6. 练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1 分A，B，C 三点与 M， N， H 分别关于点O 中心对称，A（0，4）， B（6，4）， C（8， 0） 3 分（写错一个点的坐标扣1 分）（2）设过 A，B，C 三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0， 4），则抛物线关系式为 4 分将 B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得则 sinFEGsinCAB分解得 6 分所求抛物线关系式为： 7 分（3） OA=4，OC=8， AF=4 m， OE=8 m 8 分精选学习资料 - - - - - -

27、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载OA（AB+OC）AF AGOE OFCE OA（ 04） 10 分 当时， S的取最小值又 0m4，不存在m 值，使 S的取得最小值 12 分（4）当时， GB=GF，当时， BE=BG14 分练习 3.解 （1）当01x时，2APx，AQx，212yAQ APx，即2yx（2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43x（3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，即32yx作OEAB，E为垂足

28、当423x时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即32yx90180POQ或180270POQ（4）如图所示：练习 4.解 (1) 设 l2的解析式为y=ax2+bx+c(a 0) ，l1与 x 轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与 l1关于 x 轴对称，l2过 A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，420,420,4.abcabcc a=-1,b=0,c=4，即 l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m，n)为 l1：y=x2-4 上

29、任意一点，则n= m2-4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形，点A、C 关于原点O 对称，321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载 B、D 关于原点O 对称， 点 D 的坐标为D(-m,-n) . 由(*) 式可知，-n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点 D 的坐标满足y= -x2+4， 点 D 在 l2上 . (3) ABCD能为矩形 . 过点 B 作 BH x 轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2-4 上，可设点B 的坐标为(x0，x02-4)，则 OH=| x0

30、|，BH=| x02-4| . 易知，当且仅当BO= AO=2 时， ABCD为矩形 . 在 Rt OBH 中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0， x0= 2(舍去 )、 x0= 3 . 所以，当点B 坐标为 B(3 ，-1)或 B(-3 ，-1)时， ABCD为矩形，此时，点 D 的坐标分别是D(-3 ，1)、 D( 3 ，1). 因此，符合条件的矩形有且只有2 个，即矩形ABCD 和矩形 AB CD .设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然， AOE AHB，EOAO= BHAH，1223EO. EO=4-23 . 由该图形的对称性

31、知矩形ABCD 与矩形 AB CD 重合部分是菱形，其面积为S=2S ACE=212AC EO =2 12 4 (4-23 )=16 - 83 . 三、二次函数与四边形的动态探究例 1.解：(1)由已知 PB 平分 APD，PE 平分 OPF，且 PD、 PF 重合，则 BPE=90 OPE APB=90 又 APB ABP=90 ， OPE=PBARtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyx y=2114(4)333xxxx(0 x4)且当 x=2 时， y 有最大值13(2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=

32、ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx(3)由(2)知 EPB=90 ，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点 (0， 1)将 PB 向上平移2 个单位则过点E(0， 1)，该直线为y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、 (5，6)满足条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载例 2.解：（ 1）解方程x210 x160 得 x12，x281分点 B 在

33、 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为（ 2， 0），点 C 的坐标为（ 0，8）又抛物线yax2bxc 的对称轴是直线x 2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0）4分（2）点 C（0， 8）在抛物线yax2bxc 的图象上c8，将 A（ 6，0）、 B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为yx2 x87分（3）依题意， AEm，则 BE 8m，OA6，OC8， AC10 EFAC BEF BAC即EFFG8mSSBCESBFE（8m） 8（8m）（ 8m）（8m）（ 88m）（8m）mm24m 10 分自变量 m 的取值范围是0m8 1

34、1分（4）存在理由： Sm24m（m4）28且0，当 m4 时， S有最大值， S最大值 8 12分m4，点 E 的坐标为（ 2， 0） BCE 为等腰三角形 14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载例 3 解: （1）相等理由是：因为四边形ABCD 、 EFGH 是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即：SS（2）AB3，BC4，AC5，设 AE x，则 EC5x，34(5

35、),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx，即21212(05)255Sxxx配方得：2125()3252Sx，所以当52x时，S有最大值 3 （3）当 AE AB3 或 AEBE52或 AE 3.6 时，ABE是等腰三角形练习 1 解：（ 1）点M1分（2）经过 t 秒时，NBt，2OMt则3CNt，42AMtBCA=MAQ=453QNCNt1PQt11(42 )(1)22AMQSAM PQtt22tt2219224Sttt02t 当12t时， S的值最大（3）存在设经过 t 秒时， NB=t，OM= 2t 则3CNt，42AMtBCA=MAQ=45若90AQM，则PQ是等腰 R

36、tMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线12PQAPMA11(42 )2tt12t点M的坐标为（ 1，0）若90QMA，此时QM与QP重合QMQPMA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载142tt1t点M的坐标为（ 2，0）练习 2.解：（ 1）()ecd，()cead，（2）分别过点ABCD， ， ，作x轴的垂线，垂足分别为1111ABCD，分别过AD，作1AEBB于E，1DFCC于点F在平行四边形ABCD中，CDBA，又11BBCC，180EBAABCBCFABCBCFFCDEBAFCD又90

37、BEACFD，BEACFDAFDFac，BECFdb设()C xy，由exac，得xeca由yfdb，得yfdb()C ecafdb，（3）mcea，ndfb或mace，nbdf（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得1( 27 )Pcc，要使1P在抛物线上，则有274(53)( 2 )ccccc，即20cc10c（舍去），21c此时1( 2 7)P，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32 )Pcc，同理可得1c，此时2(3 2)P，若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(2 )cc，同理可得1c，此时3(12)P，综上所述，当1c时，抛物线上存在点P，使得以GSHP， ，为

38、顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P，2(3 2)P，3(12)P，练习 3.解：由RtAOB RtCDA 得OD=2+1=3,CD=1 C 点坐标为 (3,1), 抛物线经过点C, 1= (3)2 a(3) 2，21a。抛物线的解析式为221212xxy. 在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形ABPQ 。过 P 作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证 PBE AQG BAO ，yC()A ab，()D ef，()B cd，EF1B1A1C1DOx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

39、总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载PEAG BO2，BEQGAO1， P 点坐标为（ 2,1）， Q 点坐标为（ 1,1）。由（ 1）抛物线221212xxy。当 x2 时， y1，当 x,1 时， y 1。P、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、 Q（1,1），使四边形ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、 Q，使四边形ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于Q， 过 B作 BPCA 交抛物线于P， 连 PQ， 设直线 CA 、 BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, A（ 1,0

40、）， C（ 3,1），CA 的解析式2121xy，同理 BP 的解析式为2121xy，解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为（ 1,1），同理得P点坐标为（ 2,1）。由勾股定理得AQ BPAB 5，而 BAQ 90 ，四边形ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、 Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、 Q，使四边形ABPQ 是正方形。如图，将线段CA 沿 CA 方向平移至AQ，C（ 3,1）的对应点是A（ 1,0）， A（ 1,0）的对应点是Q（1,1），再将线段AQ 沿 AB 方向平移至BP，同理可得

41、P（2,1） BAC 90 ，AB AC 四边形 ABPQ 是正方形。经验证P（2,1）、 Q（1,1）两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立，证明如下：连EF，过 F 作 FMBG 交 AB 的延长线于M，则 AMF ABG ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载AGBGAFMF。由知 ABC 是等腰直角三角形， 1 245 。AFAE， AEF 145 。 EAF90 ，EF 是 O 的直径。 EBF90 。FMBG， MFB EBF90 ， M 245 ，BFMF ，AGBGAFBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页