2022年二次函数复习提纲 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次函数复习提纲（2012.11.15）一、知识网络简单二次函数)0(2aaxy图像（抛物线）开口a0，开口向上a0, 开口向下顶点（0,0）对称轴y 轴(或直线 x=0) 性质最值a0，y最小值=0 a0，y最大值=0 增减性a0 x0（对称轴右侧），递增x0（对称轴左侧），递减a0 x0（对称轴右侧），递减x0（对称轴左侧），递增) 0(2acbxaxy图像（抛物线）开口a0，开口向上a0，开口向下顶点（ab2，abac442）对称轴直线 x=ab2性质最值a0，y最小值=abac442a0，y最大值=abac442增减性a0 xab2（对称轴右边），递增xab2（对称轴左

2、边），递减a0 xab2（对称轴右边），递减xab2（对称轴左边），递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页精品资料欢迎下载二、二次函数的概念：1、形如)0(2acbacbxaxy是常数，、的函数，叫做二次函数。其中_是自变量， _，_，_，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。2、二次函数须同时满足两个条件：自变量最高次数为2；二次项系数不为 0。例题 1、当 m为何值时，12)4(422xxmymm是关于 x 的二次函数？例题 2、下列各式中， y 是 x 的二次函数的个数为（）5222xxy；285x

3、xy；212)34)(23(xxxy；cbxaxy2；xmxy2；)0( 12bbbxy为常数，。A、3 B、4 C、5 D、6 三、抛物线khxay2)(与2axy的关系（图像的平移）1、二者的形状（开口大小）_，位置 _，khxay2)(是由2axy通过平移得来的，平移后的顶点坐标为_。2、抛物线)0(2aaxy个单位平移时向当个单位平移时向当hhhh_0_02)(hxay的图像个单位平移时向当个单位平移时向当kkkk_0_0khxay2)(的图像。例题 1、抛物线3)2(5 .02xy可以由抛物线 _ 先向 _平移 2 个单位，再向下平移 _个单位得到。例题 2、抛物线2xy向左平移 1

4、 个单位，然后再向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为 _ 。例题 3、将二次函数22312xxy化为khxay2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页精品资料欢迎下载四、抛物线)0(2acbxaxy与 a、b、c、的关系a、b、c 的代数式作用说明a 1.a 的正负决定抛物线开口方向和增减性； 2. a 决定抛物线开口大小，a 越大，开口越小a0 开口向上a0开口向下c确定抛物线与 y 轴交点的位置，交点坐标（ 0，c）c0 交点在 x 轴上方C=0 交点在原点c0

5、 交点在 x 轴下方ab2-决定对称轴位置，对称轴为直线abx2a、b 同号对称轴在 y 轴左侧b=0 对称轴为 y 轴a、b 异号对称轴在 y 轴右侧acb42决定抛物线与 x 轴交点个数042acb抛物线与 x 轴有 2 个交点042acb抛物线与 x 轴有 1 个交点042acb抛物线与 x 轴有无交点），（abacab442-2决定顶点位置顶点纵坐标abac442就是二次函数的最大值或最小值)0()0(21，xx抛物线与 x 轴交点坐标aacbbx24221，abxx21acxx21。所以)(212xxxxacbxaxyaacb42抛物线与 x 轴两交点间的距离精选学习资料 - - -

6、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页精品资料欢迎下载例题 1、在同一直角坐标系中，函数baxy2与)0(abbaxy的图象大致如图（）例题 2、 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下图。则下列 5 个代数式：ac，abc，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab，a-b+c，acb42，4a+b中，其值大于 0的个数为（）A、2 B、3 C、4 D、5 例题 3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A hmB knCknD00hk，例 题4 、 二 次 函 数2ya xb xc的 图 象 如 图 所

7、示 ， 则 一 次 函 数24yb xba c与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为 （）11 O x y yyyyxxxxOOOOABCD例题 2 图例题 3 图y x O y x O BCy x O Ay x O D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载五、抛物线的增减性要判断二次函数图像的增减性， 须弄清两个问题：a 的正负；在对称轴的左则还是右侧。1、当 a0时,在对称轴直线abx2左侧（或说abx2） ，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（abx2） ，y 随 x的增大而增大。2、

8、当 a0时,在对称轴直线abx2左侧（或说abx2） ，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（abx2） ，y 随 x的增大而减小。例如， 对于抛物线23xy， a0 ， 其开口向下， 对称轴为 y 轴 （也可以说直线x=0） 。所以该抛物线的增减性是：在y 轴左侧，y 随 x 递增；在 y 轴右侧，y 随 x 递减。例题 1、已知a1，点（a1，1y） 、 （a，2y） （a1，3y）都在函数2xy的图象上，则（）A、1y2y3y B 、1y3y2y C 、3y2y1y D 、2y1y3y六、求二次函数的解析式1 、 二 次 函 数 的 表 达 式 ： 一 般 式 _； 顶 点 式_ ；交

9、点式：设抛物线与 x 轴交于点 A），（01x、B)0(2，x则抛物线的解析式为 _ 。2、抛物线解析式的求法：已知抛物线上的三点，可用一般式_ 求解；若已知顶点或对称轴、 最大（小）值，可设顶点式 _ 求解；若已知抛物线与 x 轴的两个交点，可设交点式 _ 求解。求二次 函数 解析 式应 根据所 给的 条件 ，灵 活选择 函数 关系 式， 应用_ 求出未知系数。例题 1、 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=3，最小值为 2， ， 且过（0， 1） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载求

10、此函数的解析式。（顶点式）例题 2、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（1，0） 、点 B（3，0）和点 C（0，3） ，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点。（1）二次函数的解析式为。（2）当自变量x_时，两函数的函数值都随x增大而增大；（3）当自变量x_ 时，一次函数值大于二次函数值；（4）当自变量x_ 时，两函数的函数值的积小于0。例题 3、已知抛物线cbxaxy2经过三点 A（2，6） ，B（1，2） ，C（0，1） ，求它的解析式。例题 4、已知二次函数的图象经过原点及点（12，14） ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为。例

11、题 5、如图，抛物线的对称轴是直线1x, 它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。点A、C的坐标分别是（ -1,0 ） ， （0,1.5 ） 。 （1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求ABP面积的最大值。七、二次函数与一元二次方程的关系二次函数)0(2acbxaxy的图像与x 轴的交点有三种情况：有两个交1 1 3 3 x y O A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载点、有一个交点、没有交点。如果抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点，则交点的横坐标

12、是就是方程_ 的根。应用：当图像与 x 轴有交点时，令 y=0，解方程 _ 就可求出抛物线与 x 轴交点的坐标 _ 。acb42方程02cbxax的根的情况抛物线cbxaxy2与 x 轴的交点情况0两个不相等的实数根两个交点00八、抛物线cbxaxy2与不等式02cbxax（02cbxax）的解集的关系1、若抛物线)0(2acbxaxy与 x 轴交于)0()0(21，、，xx两点)(21xx，则不等式02cbxax的解集为 _ ，不等式02cbxax的解集为_ ；2、若抛物线)0(2acbxaxy与 x 轴交于)0()0(21，、，xx两点)(21xx，则不等式02cbxax的解集为 _ ，不

13、等式02cbxax的解集为_ ；例题 1、二次函数）（02acbxaxy的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）写出方程02cbxax的两个根；（2）写出不等式02cbxax的解集；（3）写出不等式02cbxax的解集；（4）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范围。九、二次函数在实际中的应用二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之y x O 3 x=1图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值问题

14、。例题 1、如图 13，二次函数)0(2pqpxxy的图象与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C（0，-1） ，ABC 的面积为45。（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。例题 2、某商品的进价为每件40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65 元） 设每件商品的售价上涨x元（x为正整数

15、），每个月的销售利润为y 元（1）求 y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？例题 1、某公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载的图象上。该图象从左至右，依次是线段OA 、曲线 AB和曲线 BC ，其中曲线 AB为 抛物 线的 一部 分， 点 A 为 该抛 物线 的 顶 点 ， 曲 线 BC 为 另一 抛物 线252051230yxx的一部分，且点 A，B，C的横坐标分别为 4，10，12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第 x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间 x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前 12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页