2022年二轮专题复习浙江专用数学科WORD版材料专题七数学思想方法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 1 讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查. 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 . 2.函数与方程的思想在解题中的应用

2、(1)函数与不等式的相互转化，对于函数yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式f(x)0， 借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 . (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 . 3.数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明

3、形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页学习必备欢迎下载念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、 合理用参， 建立关系， 由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合. 热点一函数与方程思想的应用微题型 1不等式问题中的函数 (方

4、程)法【例 11】 (1)f(x)ax33x1 对于 x1，1，总有 f(x)0 成立，则 a_. (2)设 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 当 x0 时， f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0的解集是 _. 解析(1)若 x0，则不论 a 取何值， f(x)0 显然成立；当 x0 即 x(0，1时，f(x)ax33x10 可化为a3x21x3.设 g(x)3x21x3，则 g(x)3（12x）x4，所以 g(x)在区间 0，12上单调递增，在区间12，1 上单调递减，因此 g(x)maxg124，从而 a4.当 x0 即

5、 x1， 0)时，f(x)ax33x10 可化为 a3x21x3， 设 g(x)3x21x3，且 g(x)在区间 1，0)上单调递增，因此 g(x)ming(1)4，从而 a4，综上 a4.(2)设 F(x)f(x)g(x)，由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得 F(x)f(x) g(x)f(x)g(x)F(x)， 即 F(x)在 R 上为奇函数 .又当 x0 时，F (x)f(x) g(x)f(x)g(x)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页学习必备欢迎下载所以 x0 时，F(x)为

6、增函数 .因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0 时，F(x)也是增函数 .因为 F(3)f(3)g(3)0F(3). 所以，由图可知 F(x)0 的解集是 (，3)(0，3).答案(1)4(2)(， 3)(0，3) 探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数 f(x)0 或 f(x)0 恒成立，一般可转化为 f(x)min0 或 f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解 . 微题型 2数列问题的函数 (方程)法【例 12】 已知数列 an满足 a13，an1anp 3n(nN*，p

7、为常数 )，a1，a26，a3成等差数列 . (1)求 p 的值及数列 an的通项公式；(2)设数列bn满足 bnn2an，证明： bn49. (1)解由 a13，an1anp 3n，得 a233p，a3a29p312p. 因为 a1，a26，a3成等差数列，所以 a1a32(a26)，即 3312p2(33p6)，得 p2，依题意知， an1an23n. 当 n2 时，a2a1231，a3a2232，anan123n1. 将以上式子相加得ana12(3132 3n1)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页学习必备欢

8、迎下载所以 ana123（ 13n1）133n3，所以 an3n(n2).又 a13 符合上式，故 an3n. (2)证明因为 an3n，所以 bnn23n. 所以 bn1bn（n1）23n1n23n2n22n13n1(nN*)，若2n22n10，则 n132，即当 n2 时，有 bn1bn，又因为 b113，b249，故 bn49. 探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an1an，anan1，an1an，anan1求解.(3)数列中前 n 项和

9、的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an0(an0)成立时最大的 n 值即可求解 . 微题型 3解析几何问题的方程 (函数)法【例 13】 设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于E、F 两点. (1)若ED6DF，求 k 的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值 . 解(1)依题意得椭圆的方程为x24y21，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0).如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1x2，且 x1，x2满足方程 (14k2)x24，故

10、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页学习必备欢迎下载x2x1214k2.由ED6DF知 x0 x16(x2x0)，得 x017(6x2x1)57x210714k2；由 D 在 AB 上知 x02kx02，得 x0212k.所以212k107 14k2，化简得 24k225k60，解得 k23或 k38. (2)根据点到直线的距离公式和式知，点E，F 到 AB 的距离分别为h1|x12kx12|52（12k14k2）5（14k2），h2|x22kx22|52（12k14k2）5（14k2）. 又|AB|22125，所以

11、四边形 AEBF 的面积为S12|AB|(h1h2) 1254（12k）5（14k2）2（12k）14k2214k24k14k22 2，当 4k21(k0)，即当 k12时，上式取等号 . 所以 S的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 探究提高解析几何中的最值是高考的热点， 在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页学习必备欢迎下载目标量表示为一个 (或者多个 )变量的函数，然后借助于函数最值

12、的探求来使问题得以解决 . 热点二数形结合思想的应用微题型 1利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点【例 21】 (1)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_. (2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当 x0，1时，f(x)x3.又函数 g(x)|xcos(x)|， 则函数 h(x)g(x)f(x)在 12，32上的零点个数为 () A.5 B.6 C.7 D.8 解析(1)由 f(x)|2x2|b 有两个零点，可得|2x2|b 有两个不等的实根，从而可得函数 y|2x2|的图象与函数 yb 的图象有两个交点，如图所示.结合函数

13、的图象，可得0b2，故填 (0，2).(2)根据题意，函数 yf(x)是周期为 2 的偶函数且 0 x1 时，f(x)x3，则当 1x0 时，f(x)x3，且 g(x)|xcos( x)|，所以当 x0 时，f(x)g(x).当 x0 时，若 0 x12，则 x3xcos( x)，即 x2cos x.再根据函数性质画出12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5 个根.所以总共有 6 个. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页学习必备欢迎下载答案(1)(0，2)(2)B 探究提

14、高用图象法讨论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点 )的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 )，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点 )的个数 .微题型 2利用数形结合思想解不等式或求参数范围【例 22】 (1)若不等式9x2k(x2)2的解集为区间 a，b，且 ba2，则 k_. (2)若不等式 |x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是 _. 解析(1)如图，分别作出直线yk(x2)2与半圆y9x2.由题

15、意，知直线在半圆的上方，由ba2，可知 b3， a1， 所以直线 yk(x2)2过点(1，2 2)， 则 k2.(2)作出 y|x2a|和 y12xa1 的简图，依题意知应有2a22a，故 a12.答案(1) 2(2) ，12探究提高求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个 )函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 44 页学习必备欢迎下载微题型 3利用数形结合思想求最值【例 23

16、】 (1)已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点， PA、PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线， A、B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 _. (2)(2015 全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，A(0，6 6)，当APF 周长最小时，该三角形的面积为_. 解析(1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积 SRt PAC12|PA| |AC|12|PA|越来越大，从而 S四边形 P ACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中

17、间运动时，S四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置， 即 CP 垂直直线 l 时，S四边形 PACB应有唯一的最小值，此时 |PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|22 2.所以(S四边形 P ACB)min212|PA|AC|2 2. (2)设双曲线的左焦点为F1，连接 PF1，根据双曲线的定义可知 |PF|2|PF1|，则APF 的周长为 |PA|PF|AF|PA|2|PF1|AF|PA|PF1|AF|2，由于|AF|2 是定值，要使APF 的周长最小，则|PA|PF1|最小，即 P，A，F1三点共线，如图所示 .由于 A(0，6 6)，F1(3，0

18、)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页学习必备欢迎下载直线 AF1的方程为：x3y6 61，即 xy2 63，代入双曲线方程整理可得y26 6y960，解得 y2 6或 y8 6(舍去)，所以点 P 的纵坐标为 2 6.所以 S APFS AFF1S PFF11266 61262 612 6.答案(1)2 2(2)12 6 探究提高破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另

19、一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想. 2.借助有关函数的性质， 一是用来解决有关求值、 解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解 . 3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量. 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域

20、、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的. 5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页学习必备欢迎下载6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象. 一、选择题1.直线3xym0 与圆 x2y22x20 相切，则实数 m 等于() A.3或3 B.3或 3 3 C.3 3或3 D.3 3或 3

21、3 解析圆的方程 (x1)2y23，圆心(1，0)到直线的距离等于半径 ?| 3m|313? | 3m|2 3? m3或 m3 3. 答案C 2.已知函数 f(x)满足下面关系： f(x1)f(x1)；当 x1，1时，f(x)x2，则方程 f(x)lg x 解的个数是 () A.5 B.7 C.9 D.10 解析由题意可知， f(x)是以 2 为周期，值域为 0，1的函数 .又 f(x)lg x，则 x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数 .由图象可知共 9 个交点 .答案C 3.函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为 (

22、) A.(1，1) B.(1， ) C.(， 1) D.(， ) 解析f(x)2 转化为 f(x)20，构造函数 F(x)f(x)2x，得 F(x)在 R 上是增函数 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页学习必备欢迎下载又 F(1)f(1)2(1)4，f(x)2x4，即 F(x)4F(1)，所以 x1. 答案B 4.已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac) (bc)0，则|c|的最大值是 () A.2 B.22 C. 3 D.2 解析如图，设 OAa，OBb，OCc，则CAac，CBbc.

23、由题意知 CA CB， O，A，C，B 四点共圆 .当OC 为圆的直径时， |c|最大，此时， |OC|2. 答案A 5.当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是 () A. 0，22B.22，1C.(1，2) D.(2，2) 解析利用指数函数和对数函数的性质及图象求解. 0 x12， 14x2， logax4x1， 0a1，排除答案 C，D；取 a12，x12，则有 4122，log12121，显然 4xlogax 不成立，排除答案A；故选 B.答案B 二、填空题6.(2015 全国卷改编 )已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM精选学习资料 -

24、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 44 页学习必备欢迎下载为等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 _. 解析如图，设双曲线 E 的方程为x2a2y2b21(a0， b0)， 则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M 作 MNx 轴于点 N(x1，0)， ABM 为等腰三角形，且 ABM120， |BM|AB|2a， MBN60， y1|MN|BM|sin MBN2asin 60 3a，x1|OB|BN|a2acos 60 2a.将点 M(x1，y1)的坐标代入x2a2y2b21，可得 a2b2

25、， ecaa2b2a22. 答案2 7.已知 e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b|2，b e11，b e21，则对于任意 x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为 _. 解析|b(xe1ye2)|2b2x2e21y2e222xb e12yb e22xye1 e24x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当 x1，y1 时，|b(xe1ye2)|2取得最小值 2，此时 |b(xe1ye2)|取得最小值2.答案2 8.设直线 l 与抛物线 y24x相交于 A，B 两点，与圆 C：(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线

26、l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是_. 解析设直线 l 的方程为 xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线 l 的方程代入抛物线方程y24x 并整理得 y24ty4m0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 44 页学习必备欢迎下载则 16t216m0，y1y24t，y1y24m，那么 x1x2(ty1m)(ty2m)4t22m，则线段 AB 的中点 M(2t2m，2t).由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，且 C(5，0).当 t0 时，有 kMC kAB1，即2t02t2m51t1，整理得 m32t

27、2，把 m32t2代入 16t216m0，可得 3t20，即 0t23.由于圆心 C 到直线 AB 的距离等于半径，即 d|5m|1t222t21t221t2r，所以 2r4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条 .当 t0 时，这样的直线l 恰有 2条，即 x5 r，所以 0r5.综上，可得若这样的直线恰有4 条，则 2r4.答案(2，4) 三、解答题9.已知数列 an 是一个等差数列，且a21，a55. (1)求an的通项 an；(2)求an前 n 项和 Sn的最大值 . 解(1)设an的公差为 d，由已知条件，a1d1，a14d5，解得 a13，d2. 所以 ana1(n1)d2n5

28、. (2)Snna1n（n1）2dn24n4(n2)2. 所以 n2 时，Sn取到最大值 4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 44 页学习必备欢迎下载10.椭圆 C 的中心为坐标原点O，焦点在 y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且AP3PB. (1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围 . 解(1)设椭圆 C 的方程为y2a2x2b21(ab0)，设 c0，c2a2b2，由题意，知2b2，ca22，所以 a1，bc22. 故椭圆 C

29、 的方程为 y2x2121.即 y22x21. (2)当直线 l 的斜率不存在时，由题意求得m12；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm(k0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，2x2y21，得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21) 4(k22m22)0，(*) x1x22kmk22，x1x2m21k22. 因为AP3 PB，所以 x13x2. 所以x1x22x2，x1x23x22.所以 3(x1x2)24x1x20. 所以 32kmk2224m21k220. 整理得 4k2m22m2k220，即 k

30、2(4m21)(2m22)0. 当 m214时，上式不成立；当m214时，k222m24m21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44 页学习必备欢迎下载由(*) 式，得 k22m22，又 k0，所以 k222m24m210. 解得 1m12或12m1. 综上，所求 m 的取值范围为1，1212，1 . 11.设函数 f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它们在 x1 处的切线互相平行 . (1)求 b 的值；(2)若函数 F(x)f（x），x0，g（x），x0，且方程 F(x)a2有且仅有四个解

31、，求实数 a 的取值范围 . 解函数 g(x)bx2ln x 的定义域为 (0， )，(1)f(x)3ax23a? f(1)0，g(x)2bx1x? g(1)2b1，依题意得 2b10，所以 b12. (2)x(0，1)时，g(x)x1x0，即 g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，)时，g(x)x1x0，即 g(x)在(1，)上单调递增，所以当 x1 时，g(x)取得极小值 g(1)12；当 a0 时，方程 F(x)a2不可能有四个解；当 a0，x(， 1)时，f(x)0，即 f(x)在(， 1)上单调递减， x(1，0)时，f(x)0，即 f(x)在(1，0)上单调递增，所以当 x1 时

32、，f(x)取得极小值 f(1)2a，又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象可以看出 F(x)a2不可能有四个解. 当 a0，x(， 1)时，f(x)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页学习必备欢迎下载即 f(x)在(， 1)上单调递增，x(1，0)时，f(x)0，即 f(x)在(1，0)上单调递减，所以当 x1 时，f(x)取得极大值 f(1)2a. 又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图 (2)所求，从图(2)看出，若方程 F(x)a2有四个解，则12a22a，得22a2，l 所以，实

33、数 a 的取值范围是22，2 . 第 2 讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等 . (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列 an的前 n 项和公式等 . (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性

34、、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 44 页学习必备欢迎下载(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的

35、思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式 )与空间形式 (图形)关系，通过互相变换获得转化途径 . (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题 . (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算

36、方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集 U 及补集 ?UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则. 热点一分类讨论思想的应用微题型 1由性质、定理、公式的限制引起的分类【例 11】 (1)设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 2Sn3n3，求数列 an的通项 an_. (2)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x0 时，1a1，这时 f(1a

37、)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由 f(1a)f(1a)得 2a13a，解得 a32，不合题意，舍去；当 a1，1a1 的解集 . 解(1)f(x)x4，x1，3x2，132，yf(x)的图象如图所示.(2)由 f(x)的表达式及图象，当f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5，故 f(x)1 的解集为 x|1x3；f(x)1 的解集为 x|x5 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 44 页学习必备欢迎下载所以|f(x)|1 的解集为 x|x13或1x5 . 考

38、点 整 合1.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)? af(x)0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.绝对值三角不等式|a|b|a b|a|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式. 3.基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立 . 定理 2：如果 a，b 为正数，则ab2ab，当且仅当 ab 时，等

39、号成立 . 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc33abc，当且仅当 abc时，等号成立. 定理 4：(一般形式的算术 几何平均不等式 )如果 a1、a2、an为 n 个正数，则a1a2annna1a2an，当且仅当 a1a2an时，等号成立 . 4.柯西不等式(1)设 a，b，c，d 为实数，则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立 . (2)若 ai，bi(iN*)为实数，则 (21niia)（21niib)2（1niiia b）2，当且仅当bi0(i1，2， n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2， n)时，等号成立 . (3)柯西不等

40、式的向量形式：设 ，为平面上的两个向量，则| | | |，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 44 页学习必备欢迎下载热点一绝对值不等式的解法微题型 1绝对值不等式的解法【例 11】 (2015全国卷)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 . 解(1)当 a1 时，f(x)1 化为 |x1|2|x1|10. 当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当

41、1x0，解得23x0，解得 1x1 的解集为 x23x2 . (2)由题设可得， f(x)x12a，xa.所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a13，0 ，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC 的面积为23(a1)2.由题设得23(a1)26，故 a2.所以 a 的取值范围为 (2， ). 探究提高(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点； 划区间、去绝对值号； 分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种精选学习资料

42、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 44 页学习必备欢迎下载较好的方法 . 【训练 11】 (2016 全国卷)已知函数 f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围 . 解(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2. 解不等式 |2x2|26 得1x3. 因此 f(x)6 的解集为 x|1x3. (2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价

43、于 |1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解 . 当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2. 所以 a 的取值范围是 2， ). 微题型 2含有绝对值不等式的恒成立问题【例 12】 (2016衡水大联考 )设函数 f(x)|x1|，g(x)2|xa|，aR. (1)若 a2，求不等式 f(x)g(x)x3 的解集；(2)若对?m1，?x0R，f(x)g(x)m2m4m1成立，求 a 的取值范围 . 解(1)若 a2，f(x)g(x)|x1|2|x2| x3，x1，3x5，1x2，x3，x2.当 x1 时，若 f(x)g(x)x3，则 x3x3，故 x1；当 1x2 时，若 f(x)

44、g(x)x3，则 3x5x3，即 x1，这与 1x2 矛盾；当 x2 时，若 f(x)g(x)x3，则x3x3，即 x3，故 x3. 综上所述，不等式f(x)g(x)x3 的解集为 x|x1 或 x3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 44 页学习必备欢迎下载(2)因为m2m4m1（m1）23（m1）6m1m16m132 63(m1)，当且仅当 m16m1，即 m61 时等号成立 . 原命题等价于 ?x0R，f(x)g(x)2 63 成立，即 f(x)g(x)min2 63. 设 h(x)f(x)g(x)|x1|2|x

45、a|；当 a1 时，h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|3x2a1，xa，x2a1，ax1，3x2a1，x1.h(x)minh(a)|a1|1a. 由 1a2 63，解得 a22 6. 所以， 22 6a1；当 a1 时，h(x)3|x1|. h(x)min02 63 显然成立；当 a1 时，h(x)f(x)g(x)|x1|2|xa|3x2a1，x1，x2a1，1xa，3x2a1，xa.h(x)minh(a)|a1|a1. 由 a12 63，解得 a2 64. 所以， 1a2 64. 综上所述， a 的取值范围为 22 6，42 6. 探究提高解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其

46、转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值. 【训练 12】 已知函数 f(x)|xa|. (1)若不等式 f(x)3 的解集为 x|1x5，求实数 a 的值；(2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)由 f(x)3 得|xa|3，解得 a3xa3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 44 页学习必备欢迎下载又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1x5 ，所以a31，a35，解得 a2. (2)法一当 a2 时，f(x)|x2|，设 g(x

47、)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|2x1，x2.所以当 x5；当3x2时，g(x)5；当 x2 时，g(x)5.综上可得， g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为 (， 5. 法二当 a2 时，f(x)|x2|. 设 g(x)f(x)f(x5)，于是 g(x)|x2|x3|. 由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当 3x2 时等号成立 )，得 g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为 (， 5. 热点二不等式的证明【

48、例 2】 (2015全国卷)设 a、b、c、d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则abcd；(2)abcd是|ab|cd|的充要条件 . 证明(1)因为(ab)2ab2 ab，(cd)2cd2 cd，由题设 abcd，abcd 得( ab)2( cd)2. 因此abcd. (2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 44 页学习必备欢迎下载即(ab)24ab(cd)24cd. 因为 abcd，所以 abcd. 由(1)得abcd. 若abcd，则( ab)2( c

49、d)2，即 ab2 abcd2 cd. 因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab|cd|. 综上，abcd是|ab|cd|的充要条件 . 探究提高证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等 . 【训练 2】 (1)已知 a，b 都是正数，且 ab，求证： a3b3a2bab2；(2)已知 a，b，c 都是正数，求证：a2b2b2c2c2a2abcabc. 证明(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2，因为 a ，b 都是正数，所以 ab0，又因为 ab，所以 (ab)20，于是 (ab)(

50、ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以 a3b3a2bab2. (2)因为 b2c22bc，a20，所以 a2(b2c2)2a2bc.同理 b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而 a2b2b2c2c2a2abc(abc). 由 a，b，c 都是正数，得 abc0，因此a2b2b2c2c2a2abcabc. 1.证明绝对值不等式主要有三种方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 44 页学习必备欢迎下载(1)利用绝对值的定义