2022年用待定系数法确定二次函数表达式 .pdf

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1、5.3 用待定系数法确定二次函数表达式一选择题（共6 小题）1已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（）Am=1 Bm=3 C m1 Dm12 在二次函数 y=x22x3中， 当 0 x3 时， y 的最大值和最小值分别是 （）A0，4 B0，3 C3，4 D0，03 如果抛物线 y=x26x+c2 的顶点到 x轴的距离是 3， 那么 c 的值等于（）A8 B14 C 8 或 14 D8 或144已知二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc0； b24ac=0； a2； 4a2b+c0

2、 其中正确结论的个数是 （）A1 B2 C 3 D45 已知抛物线 y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若 y0， 则 x的取值范围是（）A1x4 B1x3 C x1 或 x4 Dx1 或 x36如图，坐标平面上，二次函数y=x2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，其顶点为D，且 k0若 ABC与ABD的面积比为 1：4，则 k 值为何？（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页A1 BC D二填空题（共7 小题）7抛物线 y=a（x+1） （x3） （a0）的对称轴是直线8抛物线的图

3、象如图，则它的函数表达式是当 x时，y09形状与抛物线y=2x23x+1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，5）的抛物线的关系式为10如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=x2+2 重合，且顶点坐标为（ 4，2） ，则它的解析式为11 若二次函数 y=x2+2x+m的图象与 x轴没有公共点，则m 的取值范围是12若二次函数 y=2x24x1 的图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，则+的值为13如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC ，则下列结论： abc0；acb+1=0；OA?OB=

4、 其中正确结论的序号是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页三解答题（共7 小题）14已知二次函数 y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点 P的坐标15已知抛物线 y=（xm）2（xm） ，其中 m 是常数（1）求证：不论 m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个

5、单位长度后， 得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点16如图，二次函数的图象与x 轴交于 A（3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C （0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）请直接写出 D 点的坐标（2）求二次函数的解析式（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页17 如图， 一次函数 y=x与 x 轴交点 A 恰好是二次函数与x 的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x=1，并与 y 轴的交点为（ 0

6、，1） （1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C 点，连接 BC ，求三角形ABC的面积18如图，已知抛物线y=x2+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 B的坐标为（ 3，0）（1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标（2）点 P是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC的值最小时，求点P 的坐标19如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页（2） 点 C是该二次

7、函数图象上A， B 两点之间的一动点， 横坐标为 x （2x6） ，写出四边形 OACB的面积 S关于点 C的横坐标 x的函数表达式，并求 S的最大值20如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点 P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 SPAB=8，并求出此时 P点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页5.3 用待定系数法确定二次函数表达式参考答案与试题解析一选择题（

8、共6 小题）1已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（）Am=1 Bm=3 C m1 Dm1【解答】 解：抛物线的对称轴为直线x=，当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大，由图象可知：1，解得 m1故选 D2 在二次函数 y=x22x3中， 当 0 x3 时， y 的最大值和最小值分别是 （）A0，4 B0，3 C3，4 D0，0【解答】 解：抛物线的对称轴是x=1，则当 x=1时，y=123=4，是最小值；当 x=3时，y=963=0是最大值故选 A3 如果抛物线 y=x26x+c2 的顶点到 x轴的距离是 3， 那么 c

9、的值等于（）A8 B14 C 8 或 14 D8 或14【解答】 解：根据题意=3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页解得 c=8或 14故选 C4已知二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc0； b24ac=0； a2； 4a2b+c0 其中正确结论的个数是 （）A1 B2 C 3 D4【解答】 解：抛物线开口向上，a0，对称轴在 y 轴左边，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c+22，c0，abc0，结论不正确；二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图

10、象与 x 轴只有一个交点，=0，即 b24a（c+2）=0，b24ac=8a0，结论不正确；对称轴 x=1，b=2a，b24ac=8a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页4a24ac=8a，a=c+2，c0，a2，结论正确；对称轴是 x=1，而且 x=0时，y2，x=2 时，y2，4a2b+c+22，4a2b+c0结论正确综上，可得正确结论的个数是2 个：故选： B5 已知抛物线 y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若 y0， 则 x的取值范围是（）A1x4 B1x3 C x1 或 x4 Dx1 或 x3【解答】

11、 解：由图象知，抛物线与x 轴交于（ 1，0） ，对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（ 3，0） ，y0时，函数的图象位于x 轴的下方，且当 1x3 时函数图象位于x轴的下方，当 1x3 时，y0故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页6如图，坐标平面上，二次函数y=x2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，其顶点为D，且 k0若 ABC与ABD的面积比为 1：4，则 k 值为何？（）A1 BC D【解答】 解： y=x2+4xk=（x2）2+4k，顶点 D（2，4k

12、） ，C（0，k） ，OC=k ，ABC的面积 =AB?OC= AB?k，ABD的面积 =AB （4k） ，ABC与ABD的面积比为 1：4，k= （4k） ，解得： k=故选： D二填空题（共7 小题）7抛物线 y=a（x+1） （x3） （a0）的对称轴是直线x=1【解答】 解：y=a（x+1） （x3）=ax22ax3a由公式得，抛物线的对称轴为x=18抛物线的图象如图，则它的函数表达式是y=x24x+3当 x1，或 x3时，y0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页【解答】 解：观察可知抛物线的图象经过（1，0

13、） ， （3，0） ， （0，3） ，由“ 交点式 ” ，得抛物线解析式为y=a（x1） （x3） ，将（0，3）代入，3=a（01） （03） ，解得 a=1故函数表达式为 y=x24x+3由图可知当 x1，或 x3 时，y09形状与抛物线y=2x23x+1 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，5）的抛物线的关系式为y=2x25【解答】 解：形状与抛物线y=2x23x+1 的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为y=2（xh）2+k，将顶点坐标是（ 0，5）代入， y=2（x0）25，即 y=2x25抛物线的关系式为y=2x2510如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=x

14、2+2 重合，且顶点坐标为（ 4，2） ，则它的解析式为y=（x4）22【解答】 解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为y=a（xh）2+k；此抛物线经过平移后与抛物线y=x2+2 重合，a=；此抛物线的顶点坐标为（4，2） ，其解析式为： y=（x4）22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11若二次函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴没有公共点， 则 m 的取值范围是m1【解答】 解：二次函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴没有公共点，方程 x2+2x+m=0 没有实数根，判别式 =2241m0，

15、解得： m1；故答案为： m112若二次函数 y=2x24x1 的图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，则+的值为4【解答】 解：设 y=0，则 2x24x1=0，一元二次方程的解分别是点A 和点 B的横坐标，即 x1，x2，x1+x2=2，x1，?x2=，+=4，故答案为： 413如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC ，则下列结论： abc0；acb+1=0；OA?OB= 其中正确结论的序号是【解答】 解：观察函数图象，发现：开口向下 ? a0；与 y 轴交点在 y轴正半轴 ? c0；对称轴在

16、y 轴右侧 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页0；顶点在 x轴上方 ?0a0，c0，0，b0，abc0，成立；0，0，不成立；OA=OC ，xA=c，将点 A（c，0）代入 y=ax2+bx+c 中，得：ac2bc+c=0，即 acb+1=0，成立；OA=xA，OB=xB，xA?xB=，OA?OB= ，成立综上可知：成立故答案为：三解答题（共7 小题）14已知二次函数 y=x2+2x+m（1）如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0） ，与 y 轴交于点

17、 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点 P的坐标【解答】 解： （1）二次函数的图象与x 轴有两个交点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页=22+4m0m1；（2）二次函数的图象过点A（3，0） ，0=9+6+mm=3，二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，令 x=0，则 y=3，B（0，3） ，设直线 AB的解析式为： y=kx+b，解得：，直线 AB的解析式为： y=x+3，抛物线 y=x2+2x+3，的对称轴为： x=1，把 x=1代入 y=x+3 得 y=2，P（1，2） 15已知抛

18、物线 y=（xm）2（xm） ，其中 m 是常数（1）求证：不论 m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后， 得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点【解答】 （1）证明： y=（xm）2（xm）=x2（2m+1）x+m2+m，=（2m+1）24（m2+m）=10，不论 m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）解： x=，m=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页抛物线解析式为y=x25x+6；设抛

19、物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后， 得到的抛物线与 x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x25x+6+k，抛物线 y=x25x+6+k 与 x 轴只有一个公共点，=524（6+k）=0，k= ，即把该抛物线沿 y 轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点16如图，二次函数的图象与x 轴交于 A（3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于点 C （0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）请直接写出 D 点的坐标（2）求二次函数的解析式（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围【解答】解： （1）

20、如图，二次函数的图象与x 轴交于 A（3，0）和 B （1，0）两点，对称轴是 x=1又点 C（0，3） ，点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，D（2，3） ；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a0，a、b、c 常数） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=x22x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是 x2 或 x117 如图， 一次函数 y=x与 x 轴交点 A 恰好是二次函数与x 的其中一个交点，已知二次函数图象的对称轴为x

21、=1，并与 y 轴的交点为（ 0，1） （1）求二次函数的解析式；（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C 点，连接 BC ，求三角形ABC的面积【解答】 解： （1）由已知可得 y=x与 x 轴交点 A 的坐标为（，0）二次函数过（ 0，1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页二次函数图象的对称轴为x=1，且过 A（，0）故解得二次函数的解析式为：；（2）由（ 1）知函数过 A（，0） ，当 y=0时，解得，故 B（，0）由解得，故 C（，）18如图，已知抛物线y=x2

22、+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 B的坐标为（ 3，0）（1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标（2）点 P是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC的值最小时，求点P 的坐标【解答】 解：（1） 把点 B的坐标为 （3， 0） 代入抛物线 y=x2+mx+3 得： 0=32+3m+3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页解得： m=2，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为：（1，4） （2）连接 BC交抛物线对称轴l 于点 P，则此时 PA +PC的值最小，设直线 B

23、C的解析式为： y=kx+b，点 C（0，3） ，点 B（3，0） ，解得：，直线 BC的解析式为： y=x+3，当 x=1时，y=1+3=2，当 PA+PC的值最小时，点 P的坐标为：（1，2） 19如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0） （1）求 a，b 的值；（2） 点 C是该二次函数图象上A， B 两点之间的一动点， 横坐标为 x （2x6） ，写出四边形 OACB的面积 S关于点 C的横坐标 x的函数表达式，并求 S的最大值【解答】 解： （1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 y=ax2+bx，精选学习资料 - - - - - - - -

24、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页得，解得：；（2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为D（2，0） ，连接 CD、CB ，过 C作 CE AD，CF x 轴，垂足分别为 E，F，SOAD=OD?AD= 24=4；SACD=AD?CE= 4（x2）=2x4；SBCD=BD?CF= 4（x2+3x）=x2+6x，则 S=SOAD+SACD+SBCD=4+2x4x2+6x=x2+8x，S关于 x 的函数表达式为S= x2+8x（2x6） ，S= x2+8x=（x4）2+16，当 x=4时，四边形 OACB的面积 S有最大值，最大值为1620如图，抛物线 y=x

25、2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点 P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 SPAB=8，并求出此时 P点的坐标【解答】解： （1）抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页方程 x2+bx+c=0的两根为 x=1 或 x=3，1+3=b，13=c，b=2，c=3，二次函数解析式是y=x22x3（2）y=x22x3=（x1）24，抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（ 1，4） （3）设 P的纵坐标为 | yP| ，SPAB=8，AB?| yP| =8，AB=3 +1=4，| yP| =4，yP=4，把 yP=4 代入解析式得， 4=x22x3，解得， x=12，把 yP=4 代入解析式得， 4=x22x3，解得， x=1，点 P在该抛物线上滑动到（ 1+2，4）或（12，4）或（1，4）时，满足 SPAB=8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页