2022年九年级数学-第二十七章-相似三角形-难题易错题 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载1如图所示，已知AB EF CD，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求EF2如图， ?ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF= 3如图所示在ABC 中， BAC=120 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D求证：4如图所示， ?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：5一条直线截 ABC 的边 BC、 CA、AB （或它们的延长线）于点D、E、 F求证：精选学习资料 - - - -

2、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载6 如图所示 P为ABC 内一点，过 P 点作线段DE， FG， HI 分别平行于AB， BC 和 CA， 且 DE=FG=HI=d ， AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d7 如图所示 梯形 ABCD 中， AD BC， BD ， AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交AB， CD 于 E， F， 且 EFBC AD=12厘米， BC=20 厘米求EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页优秀学习

3、资料欢迎下载8已知： P为 ?ABCD 边 BC 上任意一点，DP 交 AB 的延长线于Q 点，求证：9如图所示，梯形ABCD 中， AD BC，MN BC，且 MN 与对角线BD 交于 O若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN 10P 为ABC 内一点，过P 点作 DE，FG，IH 分别平行于AB，BC，CA （如图所示） 求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载11如图所示在梯形ABCD 中， AB CD，AB CD一条直线交BA 延长线于 E，交 DC 延长线于 J，交 AD 于F

4、，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ ，求 DC：AB12已知 P 为ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D， E，F求证： （1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如图所示在 ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， AE 平分 BAC ，BDAE 的延长线于D，且交 AM 延长线于 F求证： EF AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载14如图所示 P，Q 分别是正方形ABCD 的边 AB，

5、BC 上的点，且BP=BQ，BH PC 于 H求证： QHDH 15已知 M 是 Rt ABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在 AB 、AC 上，且 PMQM求证： PQ2=PB2+QC216如图所示在 ABC 中， ACB=90 ，CDAB 于 D，AE 平分 CAB ，CF 平分 BCD求证： EF BC17如图所示在 ABC 内有一点P，满足 APB= BPC=CPA若 2 B=A+ C，求证： PB2=PA?PC（提示：设法证明 PAB PBC ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下

6、载18已知：如图， ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证： CEAD 19如图所示， ABC 中， M、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线，连接AM 、 AN ，分别交BE 于 F、G，求 BF：FG：GE 的值20.在 ABC 中， A B C=124求证：提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b 为边且与a、c所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

7、第 6 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2 小题）1如图所示，已知AB EF CD，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求EF考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 计算题分析：由于 BC 是ABC 与 DBC 的公共边，且AB EFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF解答：解：在 ABC 中，因为EFAB，所以 EF：AB=CF ：CB ，同样，在 DBC 中有 EF： CD=BF ：CB ， + 得 EF：AB+EF ：CD=CF： CB+BF ：CB=1 设 EF=x 厘米，又已知AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入

8、得x：6+x：9=1，解得 x=故 EF=厘米点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算2如图， ?ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF=考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ： 计算题分析：首先作辅助线： 取 AB 的中点 M，连接 OM， 由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得： EFB EOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF 的值解答：解：取 AB 的中点 M，连接 OM，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC

9、，OB=OD ， OMAD BC，OM=AD=c， EFB EOM ， AB=a，AD=c ，BE=b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载 ME=MB+BE=AB+BE=a+b， BF=故答案为：点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17 小题）3如图所示在ABC 中， BAC=120 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D求证：考点 ： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题 ： 证明题分析：过 D

10、 引 DEAB ，交 AC 于 E，因为 AD 平分 BAC （=120 ） ，所以 BAD= EAD=60 若引 DEAB ，交 AC 于 E，则 ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD ，利用 CED CAB ，可实现求证的目标解答：证明：过 D 引 DEAB ，交 AC 于 E AD 是 BAC 的平分线， BAC=120 ， BAD= CAD=60 又 BAD= EDA=60 ，所以 ADE 是正三角形， EA=ED=AD 由于 DEAB，所以 CED CAB ，=1由 ， 得=1，从而+=点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定

11、，考查了角平分线的性质，本题中求证 CED CAB 是解题的关键4如图所示， ?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ： 证明题分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“ 集中 ” 到一个三角形中来求证解答：证明：延长CB 与 EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB 在 EIH 中，由

12、于 DFIH，= IH=AB ，=，从而，=1+在 OED 与OBH 中， DOE=BOH， OED= OHB，OD=OB ， OED OBH （AAS ） 从而 DE=BH=AI ，=1由 ， 得=2点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB 与 EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB 这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题5一条直线截 ABC 的边 BC、 CA、AB （或它们的延长线）于点D、E、 F求证：考点 ： 三角形的面积专题 ： 证明题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

13、 - - - - - -第 9 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载分析：连接 BE、 AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证明：如图，连接BE、AD ， BDE 与DCE 等高，=， DCE 与ADE 等高，=， ADF 与BDF 等高，=， AEF 与BEF 等高，=，=，?=?=1点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比6 如图所示 P为ABC 内一点，过 P 点作线段DE， FG， HI 分别平行于AB， BC 和 CA， 且 DE=FG=HI=d ， AB=510 ，BC=450，C

14、A=425 求 d考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题 ： 计算题分析：由 FGBC，HICA ，EDAB，易证四边形AIPE 、四边形 BDPF、四边形CGPH 均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得IHB AFG ABC ，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求+=2， 从而有+=2， 再把 DE=FG=HI=d ， AB=510 ， BC=450 ，CA=425 代入此式，解即可解答：解： FGBC，HI CA，EDAB，四边形AIPE 、四边形BDPF、四边形 CGPH 均是平行四边形， IHB AFG ABC ，=，=，+=，精选学习资料

15、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载又 DE=PE+PD=AI+FB ，AF=AI+FI ，BI=IF+FB ， DE+AF+BI=2 （AI+IF+FB ）=2AB ，+=2， DE=FG=HI=d ，AB=510 ， BC=450， CA=425 ，+=+=2，+=2，解得 d=306点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质7 如图所示 梯形 ABCD 中， AD BC， BD ， AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交AB， CD 于 E， F，

16、且 EFBC AD=12厘米， BC=20 厘米求EF考点 ： 平行线分线段成比例分析：由平行线的性质可得=，得出 OE 与 BC， OF 与 AD 的关系，进而即可求解EF 的长解答：解： AD BC，EFBC，=，又=，=， OE=BC=，OF=AD=， EF=OE+OF=15 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题8已知： P为 ?ABCD 边 BC 上任意一点，DP 交 AB 的延长线于Q 点，求证：考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：由于 AB=CD ，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可解答：证明：在平行四边形AB

17、CD 中，则 AD BC，ABCD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载=1点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握9如图所示，梯形ABCD 中， AD BC，MN BC，且 MN 与对角线BD 交于 O若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求MN 考点 ： 相似三角形的判定与性质；梯形专题 ： 计算题分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN 的长解答：解： MN BC，在 ABD 中，=，即 OM=，同理 ON=，

18、MN=OM+ON=点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握10P 为ABC 内一点，过P 点作 DE，FG，IH 分别平行于AB，BC，CA （如图所示） 求证：考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 证明题分析：（ 1）由平行线可得 PIF CAB ，得出对应线段成比例，即=，同理得出=，即可证明结论；（ 2）证明方法与（1）相同解答：证明：（1） DEAB ，IH AC ，FGBC，可得 PIF CAB ，=，同理=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载+=+=1（ 2）

19、仿（ 1）可得=，=，+=+=1点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论11如图所示在梯形ABCD 中， AB CD，AB CD一条直线交BA 延长线于 E，交 DC 延长线于 J，交 AD 于F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ ，求 DC：AB考点 ： 相似三角形的判定与性质；梯形专题 ： 计算题分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ ，可分别求出线段AB、CD 与 AE、CJ 的关系，进而可求解结论解答：解： ABCD，EF=FG=CH=HI=IJ ，=

20、，=，=， DJ=4AE ，又=，解得 AB=AE，又 AE=CJ， AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ， AB：CD=： 5=1：2点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握12已知 P 为ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D， E，F求证： （1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 证明题分析：（1） 第一问可由三角形的面积入

21、手，即 PBC+ PAC+ PAB= ABC ， 通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解（ 2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设 ，即 3AD PD，而 AD=AP+PD ，进而通过证明即可得出结论解答：解： （1）由面积概念得：SPBC+S PAC+SPAB=S ABC整理等式得：+=1，由面积概念得：=，=，=，即=同理得：=把式 、 、 、代入式 得：；（ 2）由，知，中至少有一个不大于，不妨设 即 3AD PD而 AD=AP+PD ， AP 2PD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页优

22、秀学习资料欢迎下载 2，即不小于 2，同理可证三式中至少有一个不大于2点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如图所示在 ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， AE 平分 BAC ，BDAE 的延长线于D，且交 AM 延长线于 F求证： EF AB考点 ： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质专题 ： 证明题分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEF MAB ，从而 EFAB 解答：证明：过 B 作 BGAC 交 AE 的延长线于G，交 AM 的延长线于H AE 是 BAC 的平分线

23、， BAE= CAE BGAC ， CAE= G， BAE= G， BA=BG 又 BD AG， ABG 是等腰三角形，ABF= HBF ， F 到 AB 与 BH 的距离相等， SABF：SHBF=AB ：BH ， SABF：SHBF=AF ：FH， AB：BH=AF ：FH又 M 是 BC 边的中点，且BHAC ，易知 ABHC 是平行四边形，从而BH=AC ， AB：AC=AF ：FH AE 是 ABC 中 BAC 的平分线， AB：AC=BE ：EC，AF：FH=BE ：EC，即（ AM+MF ） ： （AM MF ）=（ BM+ME ） ： （BM ME ）（这是因为ABHC 是平行

24、四边形，所以AM=MH及 BM=MC ） 由合分比定理，上式变为AM ：MB=FM ： ME在 MEF 与MAB 中， EMF= AMB ， MEF MAB ABM= FEM，所以 EF AB点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B 引 BGAC 交AE 的延长线于G，交 AM 的延长线于H和利用合分比定理14如图所示 P，Q 分别是正方形ABCD 的边 AB，BC 上的点，且BP=BQ，BH PC 于 H求证： QHDH 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页优秀学习资

25、料欢迎下载考点 ： 相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质专题 ： 证明题分析：要证 QHDH，只要证明BHQ= CHD由于 PBC 是直角三角形，且BH PC，熟知 PBH= PCB，从而 HBQ= HCD，因而 BHQ 与DHC 相似解答：证明：在 RtPBC 中， BH PC， PBC=PHB=90 ， PBH= PCB显然， Rt PBCRtBHC，=，由已知， BP=BQ ，BC=DC ，=，= ABC= BCD=90 ， PBH=PCB， HBQ= HCD在 HBQ 与HCD 中，=， HBQ= HCD ， HBQ HCD ， BHQ= DHC， BHQ+ QHC=

26、DHC+ QHC又 BHQ+ QHC=90 ， QHD= QHC+DHC=90 ，即 DH HQ点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法15已知 M 是 Rt ABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在 AB 、AC 上，且 PMQM求证： PQ2=PB2+QC2考点 ： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理专题 ： 证明题分析：以 M 点为中心， MCQ 顺时针旋转180 至MBN ，根据旋转的旋转可得MCQ 与MBN 全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC ，MN=MQ ，全等三角形对应角相等可得，MBN= C，再连接PN，可以证

27、明 PM 垂直平分 NQ，所以 PN=PQ，然后证明 PBN 为直角三角形，根据勾股定理即可证明解答：证明：如图，以M 点为中心， MCQ 顺时针旋转180 至MBN ， MCQ MBN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载 BN=QC ， MN=MQ ， MBN= C，连接 PN， PM QM， PM 垂直平分NQ， PN=PQ， ABC 是直角三角形，BC 是斜边， ABC+ C=90 ， ABC+ MBN=90 ，即 PBN 是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2， PQ

28、2=PB2+QC2点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键16如图所示在 ABC 中， ACB=90 ，CDAB 于 D，AE 平分 CAB ，CF 平分 BCD求证： EF BC考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行线的判定专题 ： 证明题分析：由题中条件可得AC=AF ，即 ACF 是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出ECF=EFC，结论得证解答：证明： ACB=90 ，CDAB ， CAD= BCD，又 AE 平分 CAB ， CF 平分 BCD， BCF= CAE ， B= AC

29、D ， B+ECF=B+BCF，即 ACF= AFC ，又 AE 平分 CAB ， AC=AF ， CE=EF，即 ECF= EFC， EFC= BCF，即 EFBC点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握17如图所示在 ABC 内有一点P，满足 APB= BPC=CPA若 2 B=A+ C，求证： PB2=PA?PC（提示：设法证明 PAB PBC ）考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：用 APB= APC=120 ， CBP=BAP 两个对应角相等证明 PAB PBC，根据相似比可证到结论解答：证明： APB=120 ， ABP+ BAP=60

30、 ，又 ABC=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载 ABP+ CBP=60 ， CBP=BAP，又 APB= APC=120 ， ABP BCP，=， BP2=PA?PC点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论18已知：如图， ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证： CEAD 考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 证明题分析：

31、过 B 作 BC 的垂线交CE 的延长线于点F，从而可推出ACBF，根据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定 ACE BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF ，进而得到CD=BF ，再利用 HL 判定 ACD CBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论解答：证明：过 B 作 BC 的垂线交 CE 的延长线于点F， （1 分） FBC= ACB=90 ACBF ACE BFE （3 分） AC=2BF （4 分） AC=BC ， CD=BF （5 分）在 ACD 和CBF 中， ACD CBF （6 分） 1=2 2+3=1+3=90 4=9

32、0 CEAD （ 7分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用19 （巧解妙解）如图所示，ABC 中， M、N 是边 BC 的三等分点，BE 是 AC 边上的中线，连接AM 、AN ，分别交 BE 于 F、G，求 BF：FG：GE 的值考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 应用题分析：作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b 与 c之间的关系，即可得出其比值解答：

33、解：如答图所示作已知图形的中心对称图形，以E 为对称中心令BF=a，FG=b，GE=c M CAM ，NCAN a： （2b+2c）=BM ：MC=1 ：2 a=b+c，而（ a+b） ：2c=BN ：NC=2：1 a+b=4c，所以 a= c，b=c BF：FG：GE=5： 3：2点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法20.在 ABC 中， A B C=124求证提示：要证明如将原等式变为，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA 及 AB AC 这 4 条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC 中，已含上述

34、4 条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC 相似，期望能解决问题证 延长 AB至 D，使 BD=AC( 此时， AD=AB AC)，又延长 BC至 E，使 AE=AC ，连结 ED下面证明，ADE ABC 设 A=， B=2 ， C=4 ，则 : A+B+C=7=180由作图知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180 -4 3，所以 CAE=180 -3-3=7-6=从而EAB=2 EBA ，AE BE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载AE=AC ，AE=BD ， BE=BD ， BDE是等腰三角形，D BED CAB ，ABC DAE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页