2022年中考函数与几何综合压轴题 .pdf

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1、矩形FEBCA平行四边形FEBCAEFABC等腰梯形AFEBCyx54321-3-2-112345AEFGBDC专题复习：中考函数与几何综合压轴题唯一性、存在性的开放性问题（方法与技能学习）一、教学目标（一）知识与技能目标1掌握根据图中几何信息求解二次函数的解析式；2掌握三角形、四边形的综合几何证明；3掌握利用全等变换进行拼图（二）过程与方法目标1经历比较不同数学问题的过程，逐步形成同中求异、异中求同的思维品质；2经历不同数学问题的思考方法渗透，逐步养成学生按“四六步骤”进行思考的思维习惯，提高学生思考问题的能力；3经历全等变换拼图的过程，渗透存在性问题中的拼图分类思想（三）情感、态度与价值观

2、目标1进一步培养学生严谨的科学态度：分类标准要统一，且不重复、不遗漏；推理中要言之有理落笔有据；2进一步培养学生不畏艰难，勇于探索的思想品质；3通过透视压轴题，让学生感受成功的可能，从而相信自已是最棒的；4以数学问题为载体，帮助学生形成解决问题的经验，体现数学的价值二、教学重点与难点重点：形成解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题的方法；难点：养成联想转化、试一试的习惯、分类拼图的不遗漏及相关计算的正确三、学生对象：中考优生四、教学过程（一）基础自查（压轴题分解点）具体活动：1师出示两个压轴问题的分解问题（为压轴题第一问和第三问服务），请同学们看屏幕，独立完成这两个问题，同时请两位学

3、生上黑板展示（大约3 分钟） ；问题 1 （ 05 北京市中考题改编，基础层次）如图，一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，移动AEF 可以拼出不同形状的四边形，请画草图示意所拼不同的特殊四边形，并标明相应的名称问题 2 （原函数压轴题1 问改编，基础层次）在矩形ABCD中， AB=4 ，BC=2 ，以 A为坐标原点， AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系 然后将矩形ABCD 绕点 A逆时针旋转， 使点 B落在y轴的 E 点上，则C和 D 点依次落在第二象限的F 点上和x轴的 G点上（如图） 求经过 B、E、G三点的二次函数解析式2公布答案；问题 1 答案：如下图所示：精选学习资料 - - -

4、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页问题 2 答案：4212xxy3反馈正确率及错误所在，以便详略得当的讲评公布答案，同桌同学交换批改，举手统计学生完成情况（二）考点梳理：从知识、方法、易错点三个维度思考具体活动：1结合自查中学生的错误或解答方法的不同，引出思考方法、解答思路、逐步形成数学思想方法；问题 1：估计个别同学拼不全分析为什么，引出思考方法（或者：问如何知道答案只有这三种呢？从面引出思考方法）思考方法：联想转化、试一试根据问题信息，联想拼图方法：平移、旋转、翻折；联想特殊四边形概念：所拼图形只有四条边，可以是平行四边形、矩形、正方形、

5、菱形、梯形从而将问题转化为：利用全等变换将相等边重合由于相等边不只一种情况，因此需按相等边重合分类讨论针对每类情况，拼图试一试即可得结论。解答思路：分类讨论、全等变换试一试（1）AF与 FB重合：将 AEF绕 F点顺时针旋转180，则得一个矩形（如图）；（2）AF与 BF重合：图形不变（如图）（3）AE与 CE重合：将 AEF绕 E点顺时针旋转180，则得平行四边形（如图）；（4）AE与 EC重合：将 AEF沿 AE翻转后，再沿EC平移，使AE与 EC重合，则得等腰梯形再继续将AEF翻转，使，则得等腰梯形（如图）；（5）EF与 EC重合：此类情形与（2） （3）相同；（6）EF与 BC由于不相

6、等，不可能重合，所以不考虑（说明：每种情形所作变换方法不唯一，只要能得到答案均可，简便方法最好）数学思想方法：分类讨论、全等变换问题 2：根据设解析式为一般式、顶点式、两点式的不同，引出思考方法思考方法：联想转化、试一试根据问题信息，联想解析式概念：)0(2acbxaxy、)(21xxxxay、abacabxay44)2(22，从而将问题转化为求待定系数的值要求待定系数的值，联想求值的经验，将问题转化为：建立方程为了使运算简便，根据题中信息选择最易解答的途经：设解析式为交点)(21xxxxay试一试）解答思路：（与解应用题类似，但又有不同）（1）设：解析式（三种，选择其中易算的一种）；（2）列

7、：方程组（根据图中信息，确定点的坐标，代坐标满足解析式）；（3）解：方程（组） ；（4）答： （可以写答，也可以写所以）数学思想方法：待定系数，数形结合，方程思想2结合以上讨论梳理并板书：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页知识：;.4;.3;.2;. 1求解析式拼图翻折三种全等变换旋转平移特殊四边形、方法：.:;:方程思想数形结合待定系数分类讨论全等变换思想方法试一试联相转化思考方法、易错点：分类标准不统一、遗漏；计算粗心或畏难（三）例题精析（压轴题分解点及新编压轴题）问题 3（中档， 06 中考命题自编证明题改编，

8、压轴题中的唯一性问题）已知：如图，矩形ABCD 中， E是 BC边上的点， AH DE于点 H，且 BE=EH 试探究AD=DE成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（分析并解答）变式 1：问题 3 的条件不变，探究变为：连接HC ，若 DH=HC ，则CosADH的值为21成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 . （说思路，解答作为作业）变式 2：问题 3 的条件不变，探究变为：若HDC 是等腰，则CosADH的值为21成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （作为作业）具体活动：1师：出示压轴题分解问题（中档）；2生：独立思考，寻找思路；3师：思考方法引导，板书方法联

9、想转化、试一试；4生：经历联想、转化、试一试的过程，从而找到解答思路，感受成功喜悦；5师：板书解答思路；6生：具体完成解答过程（独立完成，同桌相互检查，集体反馈）7变式训练： （变式 1 说思考方法及解答思路，变式2 作为作业）问题 3 分析：1思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试联想转化：根据题中问题信息，首先将探究AD=DE 是否成立，转化为求证：AD=DE 成立或不成立一般是根据成立联想转化，从而得出结论根据成立联想概念、性质判定、公式法则及解决相关问题的经验，从而将问题转化（1）联想概念，将问题转化为：通过计算来证明：求线段长，比较大小，得出结论；（2）联想性质判定，将问题转化

10、为：证一个三角形中，角等，从而所对的边等；或证两个三角形全等，从而对应边相等（还有吗？请说出）CDHABE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页yx21-112CQ0EDABF顺藤摸瓜、逆向追朔试一试：根据题中信息选择最愿意试的途径（证两个三角形全等，为什么？）师强调：当选择的第一途径试不通时，一定要另选途径2解答思路： 顺藤摸瓜、 逆向追朔试一试 （ （ 1）证ABE AHE ； （ 2）证AHD DCE ；（3）得结论）3解：成立证明如下：如图， （ 1）连结 AE 四边形ABCD 是矩形， AH DE ， B=AH

11、E=90. 又 BE=EH ，AE=AE ， ABE AHE AH=AB=DC AD BC ， ADH= DEC. 又 AHD= DCE=90， AHD DCE AD=DE 变式 1 分析：1思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试联想转化：根据问题，进行联想转化（1）联想定义，将问题转化为求某直角三角形中两条线段长之比，进一步转化为分别求两线段的长；（2）联想法则，已知特殊角度数可以直接求值，将问题转化为求ADH的度数根据求度数的经验， 需建立角度大小的方程根据直角三角形两锐角和为90可以建立方程 由于一个等式两未知数不能求解，因此问题进一步转化为探索CEH与HDC的数量关系）顺藤摸瓜、

12、逆向追朔试一试：根据题中信息选择最愿意试的途径（求ADH的度数，为什么？）2解答思路：设、列（探索等量关系）、解、答（与自查2 类似，但有所不同） 3解：成立证明如下：AHD DCE ，HD=EC=HC. CEH= CHE ，HDC= HCD. CEH=2 HDC 在 RtDCE中， HEC=60 ADH=60所以CosADH2160Cos小结：这种形式的问题叫唯一性开放性问题问题 4： （压轴题，较难，09 自编，第2 问是唯一性、第3 问是存在性问题）如图，在梯形ABCD 中， ABDC，90BCD，且1AB，2BC， tan2ADCE是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDCFBC ，DEB

13、F现以 DC所在直线为x轴，过点A的直线为y轴建立如图所示的坐标系CDHABECDHABE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页yx21-112CQ0EDABF（1）点Q三等分线段OA，且32AQ，一条抛物线经过D、Q、C三点，求这条抛物线的解析式；（2）图中ECF是等腰直角三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（3）作 ADO的中位线MN ，并将 AMN进行平移、旋转、翻折（无任何限制），使它与四边形MNOD拼成特殊四边形 （1）抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于M、N、O、D四点的顶点若存在，请求出

14、P点坐标；若不存在，请说明理由具体活动：1请学生独立尝试思考，并展示思考方法；2比较问题4 与问题 1、 2、3 的联系与区别；3请学生说数学思想方法：（1）问：待定系数、数形结合、方程思想；（2）问：联想转化、试一试；（3）问：分类讨论、全等变换4请学生说解答思路：（1）设、列（探索等量关系）、解、答；（2）联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试（全等：边等；等量加等量）；（3）分类讨论，全等变换试一试，分情况求解与判断是否在抛物线上（与前面问题不同） 同时师揭示：第三3问这样的问题是分类讨论的存在性问题，与以前动点的分类讨论有区别5学生独立完成解答过程（一位学生上黑板展示）解： （1）在梯形A

15、BCD 中， ABDC， BCD=90， ABC=90又 AOC=90，四边形AOCB 为矩形 OC=AB=1 ，AO=BC=2 点 C(1,0) ，点 A(0,2) 在 RtADO 中， tan ADO=AODO=2， DO=1 ，点 D(-1 ，0) 设过 D、Q 、 C三点的抛物线的解析式为(1)(1)ya xx由已知，得点Q （0，43) 当0 x时，34y34a24433yx（2）解：ECF是等腰直角三角形证明如下：EDCFBC ，DEBF，又 DC=BC=2 ， CED CFB CE=CF ， DCE= BCF ECF= DCB=90ECF是等腰直角三角形精选学习资料 - - -

16、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页yx21-11yx21-11图1P1M0DANP1M0DAN00CCyx211yx211图3M0ANM0AP3P3yx211yx211图2P2M0ANP2M0AN（3）答：存在如图 1，将AMN绕点M逆时针旋转180，得到1MDP，此时， 四边形DONP1为正方形NP1=OD=1 ，点 P1（-1 ，1） 当1x时，441033y1，所以，点P1不在抛物线24433yx上；如图2，将AMN绕点N顺时针旋转180，得到2NOP，此时四边形2MDOP为平行四边形MN=P2N=12OD=12，ON=12OA=1 ，

17、 P2（12，1） 当21x时，2414( )1323y，所以点P2(12,1) 在抛物线24433yx上；（3）如图 3，将AMN沿y轴翻折再平移得到3NOP, 此时，四边形MDP3N为等腰梯形点3P(12,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页当21x时，2414( )1323y0所以点 P3不在抛物线24433yx上. 综上所述， 在抛物线24433yx上，存在一个点 （12，1） ，使得AMN经过平移、翻折、旋转变化后，与四边形MDON 构成特殊的四边形（四）考点再梳理1知识、技能、方法、易错点再梳理知识：

18、.5;,.4;.3;.2;.1计算三角形与四边形证明与判断点是否在抛物线上求解析式拼图翻折旋转平移特殊四边形、技能：思考问题的步骤、解答唯一性、存在性问题的步骤、小问间独立思考与综合思考相结合。方法：、；、方程思想数形结合待定系数分类讨论全等变换思想方法选择试题联相转化思考方法 :易错点：分类标准不统一、遗漏；计算粗心或畏难2揭示课题副标题：新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题唯一性、存在性的开放性问题本课重点：形成解答新编函数与几何综合的唯一性、存在性开放性问题；难点：养成联想转化、试一试的习惯、分类拼图的不遗漏及相关计算的正确（五）变式精练问题 5 （容易题，强化拼图）下列矩形中，

19、按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_（请填图形下面的代号）答案：问题 6 （自编压轴题，巩固提高）（有时间说思路，没有时间就作为作业）如图，ABC中，2BC，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点， 连结DH与BE相交于点G以点 H为原点， BC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系（1）一条抛物线经过D、 B 、C三点，求这条抛物线的解析式；（2）线段BG与 CE之间存在数量关系BG2CE吗？若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（3）将 DHC进行平移、旋转、翻折（次数不限），使它与四边形 BDH拼成特殊四边形

20、（ 1）抛物线上是否存在点P，使它成为所拼特殊四边形异于B、H、D 三点的顶点若存在，请yx1-11CHGEABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页求出 P点坐标；若不存在，请说明理由具体活动：请生说解答思路（具体过程作为作业）解： （1） CD AB ， BDC=90 H是 BC的中点，112DHBHCHBCB（ 1，0） ，C（1，0） 又 ABC=45 ， BCD=90 ABC=45 ABC= BCD ， BD=CD 点 D在 y 轴上 D（ 0，1） 依题意可设过D、B、C三点的抛物线的解析式为)1)1(xx

21、ayy=a(x 1)(x 1) ，则 1=a(0 1)(0 1) 解之，得a=1抛物线的解析式为12xy（2）答：线段BG与 CE之间存在数量关系2BGCE证明：连结CG H是 BC的中点， DH BC， CG=BG GCB= GBC 又 ABC=45 ， BE平分 ABC ， GCB= GBC=22.5 CGE= GCB GBC=45 BE AC ，2sinsin45CECECGCECGE2BGCE（3）不存在符合条件的点P理由如下：将 DHC 平移、旋转、翻折（次数不限）后的三角形与BDH能拼成特殊四边形，拼成的特殊四边形除D、 H、C三点外的第四个顶点的坐标只能是（1，1）或（ 1，1）

22、或（ 1， 1） 经检验，点（ 1，1） ， （ 1，1） ， （ 1， 1）均不在（ 1）中抛物线y=x21 上，故不存在符合条件的点P（六）目标达成小结1知识与技能方面：进一步学到什么？还有什么疑点？2过程与方法方面：思维习惯及方法有什么新的收获？3情感、态度与价值观方面：有什么新收获？（七）作业1中档题：完成问题3 变式 2、3：2 压轴题：完成精练2， 并看结果与例2 有什么不同3中档题：如图，已知ABC 是等边三角形，延长AB于点 D，过点 D作 DG BC，交 AC的延长线于G 延长BC于点 E，使 CE=BD ，连接 AE （1）求证： ABE ACD ；（2）过点 E作 EFD

23、C ，交 DG于点 F，求SinAFE ？五、板书设计：yx1-11GEAHBDCFEGCABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页中考函数与几何综合压轴题专题透视新编唯一性、存在性的开放性问题黑板左边：一、自查问题 1拼图：思路是分类讨论、全等变换试一试；问题 2求解析式：设、列（建立等量关系）、解、答二、梳理三、知识、方法、易错点六：小结1知识与技能方面：进一步学到什么？还有什么疑点？2过程与方法方面：思维习惯及方法有什么新的收获？3情感、态度与价值观方面：有什么新收获？黑板右边：四、精讲问题 3 思考方法：联想转化、顺藤摸瓜、逆向追朔试一试解答思路：证 ABE AHE ；证 AHD DCE ；得结论变式 1 解答思路：设、列（探索等量关系）、解、答问题 4 解答思路：（1）与自查2 相同；（2）与例 1 第一问相同；（3）分类拼图、求解判断五、精练练 1 解答思路：与自查1 类似；练 2 解答思路：与例2同该题与例2 不同的是抛物线上不存在符合条件的点七：作业 1完成精练2 的解答过程；2完成改编几何证明题1 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页