2022年中考压轴题之三角形的存在性问题【因动点产生的相似三角形问题】精品解析 .pdf
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1、学习必备欢迎下载中考压轴题之三角形的存在性问题【因动点产生的相似三角形问题】精品解析【例 1】 (20XX年上海市中考第24 题)如图 1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M 的抛物线y ax2bx(a0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AO BO2, AOB120(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结 OM,求 AOM 的大小;(3)如果点C在 x 轴上,且 ABC与 AOM 相似,求点C 的坐标图 1 思路点拨1第( 2)题把求 AOM 的大小,转化为求BOM 的大小2因为 BOM ABO30,因此点C在点 B 的右侧时,恰好有ABC AOM3根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨
2、论ABC与 AOM 相似满分解答(1)如图 2,过点 A 作 AH y 轴,垂足为H在 RtAOH中, AO2, AOH30,所以 AH1,OH3所以 A( 1, 3)因为抛物线与x 轴交于 O、 B(2,0)两点,设 yax(x2), 代入点 A( 1,3), 可得33a图2 所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx(2)由2232333(1)3333yxxx,得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以 BOM30所以 AOM150(3)由 A( 1, 3)、B(2,0)、M3(1,)3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、- - - - - -第 1 页,共 16 页学习必备欢迎下载得3tan3ABO,2 3AB,2 33OM所以 ABO 30,3OAOM因此当点C在点 B右侧时, ABC AOM150ABC与 AOM 相似,存在两种情况:如图 3,当3BAOABCOM时,2 3233BABC此时 C(4,0)如图 4,当3BCOABAOM时,33236BCBA此时 C(8,0)图 3 图 4 考点伸展在本题情境下,如果ABC与 BOM 相似,求点C的坐标如图 5,因为 BOM 是 30底角的等腰三角形,ABO30,因此 ABC也是底角为30的等腰三角形, AB AC,根据对称性,点C的坐标为 (4,0)图 5
4、 【例 2】(20XX年苏州市中考第29 题)如图 1,已知抛物线211(1)444byxbx( b 是实数且b2)与 x 轴的正半轴分别交于点A、B(点A 位于点 B是左侧),与 y 轴的正半轴交于点C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页学习必备欢迎下载(1)点 B 的坐标为 _,点 C 的坐标为 _(用含 b 的代数式表示) ;(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且 PBC是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步
5、探索在第一象限内是否存在点Q,使得 QCO 、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由图 1 思路点拨1第( 2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点 P到两坐标轴的距离相等2联结 OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b 的式子表示3第( 3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答(1)B的坐标为 (b, 0),点 C的坐标为 (0, 4b)(2)如图 2,过点 P作 PD x轴, PE y 轴,垂足分
6、别为D、E,那么 PDB PEC 因此 PDPE 设点 P的坐标为 (x, x)如图 3,联结 OP所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx2b解得165x所以点P的坐标为 (16 16,55)图 2 图 3 (3)由2111(1)(1)()4444byxbxxxb,得 A(1, 0),OA1如图 4,以 OA、OC为邻边构造矩形OAQC ,那么 OQC QOA当BAQAQAOA,即2QABA OA时, BQA QOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q 为(1,23 )如图 5,以 OC为直径的圆与直线x1 交于点 Q,那么 OQC 90。精选学习资
7、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页学习必备欢迎下载因此 OCQ QOA当BAQAQAOA时, BQA QOA此时 OQB90所以 C、Q、B三点共线因此BOQACOOA,即14bQAb解得4QA此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展第( 3)题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而QOA 与 QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样,先根据QOA 与 QOC相似把点Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置如图中,圆与直线x1 的另一个交点会不会
8、是符合题意的点Q 呢?如果符合题意的话,那么点B 的位置距离点A 很近,这与OB4OC矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页学习必备欢迎下载【例 3】 (20XX年黄冈市中考模拟第25 题)如图 1,已知抛物线的方程C1:1(2)()yxxmm(m0)与 x 轴交于点B、C,与 y 轴交于点E,且点 B 在点 C的左侧(1)若抛物线C1 过点 M(2, 2),求实数m 的值;(2)在( 1)的条件下,求BCE的面积;(3)在( 1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得 BH EH最小,求出点H 的坐标;(4)
9、在第四象限内,抛物线C1 上是否存在点F,使得以点B、C、 F为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由图 1 思路点拨1第( 3)题是典型的“牛喝水”问题,当H 落在线段EC上时, BHEH 最小2第( 4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作 CBF EBC 45,或者作BF/ EC 再用含 m 的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m 的方程满分解答(1)将 M(2, 2)代入1(2)()yxxmm,得124(2)mm解得 m 4(2)当 m4 时,2111(2)(4)2442yxxxx所以 C(4, 0),E (0, 2)所以 SBC
10、E116 2622BC OE(3)如图 2,抛物线的对称轴是直线x 1,当 H 落在线段EC上时, BHEH最小设对称轴与x 轴的交点为P,那么HPEOCPCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页学习必备欢迎下载因此234HP解得32HP所以点H 的坐标为3(1, )2(4)如图3,过点 B作 EC的平行线交抛物线于F,过点 F作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC ,所以当CEBCCBBF,即2BCCE BF时, BCE FBC 设点 F的坐标为1( ,(2)()xxxmm,由FFEOBFCO,得1(2)()2
11、2xxmmxm解得 xm2所以 F(m2, 0)由COBFCEBF,得244mmBFm所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF,得222(4)4(2)4mmmmm整理,得0 16此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4,作 CBF 45交抛物线于F,过点 F作 FF x 轴于 F ,由于 EBC CBF ,所以BEBCBCBF,即2BCBE BF时, BCE BFC 在 RtBFF 中,由 FF BF,得1(2)()2xxmxm解得 x2m所以 F(2,0)m所以 BF2m2,2(22)BFm由2BCBE BF,得2(2)2 22(22)mm解得22 2m综合、,符合题意的m 为22 2考
12、点伸展第( 4)题也可以这样求BF的长:在求得点F、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页学习必备欢迎下载【例 4】 (20XX年义乌市中考第24 题)如图 1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;(2)将图 1 中梯形 OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B
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