2022年中考数学专题讲座探究操作性问题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载中考数学专题讲座探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论， 有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例 1】 （江苏镇江 ) 探索研究如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，连结AQ交x轴于H，直线P

2、H交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由【思路点拨】（2）证RAHPQH；设214Pmm，证AP=PQ;（3）求直线PR的解析式与抛物线方程214yx组成联立方程组，讨论方程组解的情况。x l Q C P A O B H R y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习好资料欢迎下载【例 2】 （福建南平）（ 1）如图 1，图 2，图 3，在ABC中，分别以ABAC，为边， 向A

3、BC外作正三角形，正四边形，正五边形，BECD，相交于点O如图 1，求证：ABEADC；探究：如图1，BOC；如图 2，BOC；如图 3，BOC（2）如图 4，已知：ABAD，是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；ACAE，是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BECD，的延长相交于点O猜想：如图4，BOC（用含n的式子表示） ；根据图4 证明你的猜想【 思 路 点 拨 】（ 2 ） 由 正n边 形 的 内 角 定 理 ， 证ABEADC。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习好资料欢迎下载【例 3】

4、 （内江市）在 一平 直河岸l同 侧有AB，两 个 村庄 ，AB，到l的 距离分别是3km 和2km ，kmABa(1)a现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d，且1(km)dPBBA（其中BPl于点P） ；图 13-2 是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d，且2(km)dPAPB（其中点A与点A关于l对称，A B与l交于点P） 观察计算（ 1）在方案一中，1dkm（用含a的式子表示）；（ 2）在方案二中，组长小宇为了计算2d的长，作了如图13-3 所示的辅助线，请你按小宇

5、同学的思路计算，2dkm（用含a的式子表示）探索归纳（ 1）当4a时，比较大小：12_dd（填“”、 “”或“” ） ；当6a时，比较大小：12_dd（填“”、 “”或“” ） ；（ 2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当1a时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【思路点拨 】参考方法指导解答探索归纳（ 2） 。A B P l l A B P AC 图 13-1 图 13-2 l A B P AC 图 13-3 K 方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：2()()mnmn mn，0mn，22()mn与()mn的符号相同

6、当220mn时，0mn，即mn；当220mn时，0mn，即mn；当220mn时，0mn，即mn；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习好资料欢迎下载【例 4】 （浙江宁波）如图 1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2 开”纸、“ 4 开”纸、 “ 8 开”纸、“ 16 开”纸已知标准纸的短边长为a（1）如图 2，把这张标准纸对开得到的“16 开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折

7、痕AF则:AD AB的值是，ADAB，的长分别是，（ 2） “2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值（ 3）如图 3，由 8个大小相等的小正方形构成“L”型图案， 它的四个顶点EFGH， ，分别在“ 16 开”纸的边ABBCCDDA，上，求DG的长（ 4）已知梯形MNPQ中，MNPQ，90M，2MNMQPQ，且四个顶点MNPQ， ，都在“ 4 开”纸的边上，请直接写出2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积【 思路点拨 】 （3）证HDGGCF,FBEGCF，设DGx，建立关于x的方程解之；（4）参考图3 分二类情

8、形讨论。A B C D B C A D E G H F F E B4 开2 开8 开16开图 1 图 2 图 3 （第 26 题）a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习好资料欢迎下载【学力训练】1、 （山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪

9、去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由2、 （山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中90ACBDEC，45A，30D， 斜边6cmAB，7cmDC把三角板DCE绕点C顺时针旋转15得到D1CE1（如图乙） 这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F（ 1）求1OFE的度数；（ 2）求线段AD1的长；（ 3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30得D2CE2，这时点

10、B在D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由（甲）A C E D B B （乙）A E1C D1O F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习好资料欢迎下载3、 （江苏盐城）如图甲，在 ABC 中， ACB 为锐角点D 为射线 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF 解答下列问题：（1）如果 AB=AC ， BAC=90o当点 D 在线段 BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论

11、是否仍然成立，为什么？（ 2）如果 AB AC ， BAC 90o，点 D 在线段 BC 上运动试探究：当 ABC 满足一个什么条件时，CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若 AC4 2，BC=3，在（ 2）的条件下，设正方形ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段CP 长的最大值4、 （07 丽水市 ）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且ABOC，BCOC，AB=4，BC=6，OC=8正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上， 且它的面积等于直角梯形ABCO面积将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，

12、设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S（ 1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；（ 2）操作与求解：正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S0）的变化情况是；A逐渐增大 B逐渐减少 C先增大后减少D先减少后增大当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；（ 3）探究与归纳：ABCDEF第 28 题图图甲图乙FEDCBAFEDCBA图丙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习好资料欢迎下载设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式探究操作性问题【典型例题】【例

13、1】 （江苏镇江 ) （1）由题可知1AOCQ90AOHQCH，AHOQHC，AOHQCHOHCH，即H为AQ的中点（2）由（ 1）可知AHQH，AHRQHP，ARPQ，RAHPQH，RAHPQHARPQ，又ARPQ，四边形APQR为平行四边形设214Pmm，PQy轴，则(1)Q m，则2114PQm过P作PGy轴，垂足为G，在RtAPG中，22222222111111444APAGPGmmmmPQ平行四边形APQR为菱形（3）设直线PR为ykxb，由OHCH，得22mH，214P mm，代入得：A yxB C O D E F （备用图）A xB C 精选学习资料 - - - - - - -

14、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习好资料欢迎下载2021.4mkbkmbm，221.4mkbm，直线PR为2124myxm设直线PR与抛物线的公共点为214xx，代入直线PR关系式得：22110424mxxm，21()04xm，解得xm得公共点为214mm，所以直线PH与抛物线214yx只有一个公共点P【例 2】 （福建南平）（1） 证法一：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE且60BADCAEBADBACCAEBAC，即DACBAEABEADC120，90，72（2）360n证法一： 依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，

15、AEAC，(2)180nBADCAEnBADDAECAEDAE，即BAEDACABEADCABEADC，180ADCODA，180ABOODA 13 分360ABOODADABBOC，180BOCDAB(2)180360180180nBOCDABnn【例 3】 （内江市）观察计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习好资料欢迎下载（1）2a；（2）224a探索归纳（1）；（2）2222212(2)(24)420ddaaa当4200a，即5a时，22120dd，120dd12dd；当4200a，即5a时，22120d

16、d，120dd12dd；当4200a，即5a时，22120dd，120dd12dd综上可知：当5a时，选方案二；当5a时，选方案一或方案二；当15a（缺1a不扣分）时，选方案一【例 4】 （浙江宁波）（1）21244aa，（ 2）相等，比值为2（3）设DGx，在矩形ABCD中，90BCD，90HGF，90DHGCGFDGH，HDGGCF，12DGHGCFGF，22CFDGx同理BEFCFGEFFG，F B EG C F，14BFCGaxCFBFBC，12244xaxa，解得214xa即214DGa（4）2316a，22718 28a【学力训练】1、 （山东聊城） （1）设正方形的边长为xcm，

17、则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习好资料欢迎下载(102 )(82 )48xx即2980 xx解得18x（不合题意，舍去） ，21x剪去的正方形的边长为1cm（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3 分）（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：2(102 )2(82 )yx xx x即2836yxx改写为2981842yx当2.25x时，40.5y最大即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2（3）有侧面积最大的情

18、况设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2若按图 1 所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：1022(82 )22xyx xx即213169666yx当136x时，1696y最大若按图 2 所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：822(102 )22xyx xx即2798633yx当73x时，983y最大比较以上两种剪折方法可以看出，按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习好资料欢迎下载去的正方形的边长为73cm 时，折成的有盖长方体盒子的

19、侧面积最大，最大面积为983cm22、 （山东枣庄）（1）如图所示，315，190E，1275又45B，114575120OFEB（2）1120OFE，D1FO=601130CD E，490又ACBC，6AB，3OAOB90ACB，116322COAB又17CD，11734ODCDOC在1RtAD O中，222211345ADOAOD（3）点B在22D CE内部理由如下：设BC（或延长线）交22D E于点 P，则2153045PCE在2RtPCE中，27 222CPCE，723 22CB，即CBCP，点B在22D CE内部3、 （江苏盐城） （1） CF 与 BD 位置关系是垂 直、数量关系是

20、相等；当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF 得AD=AF ， DAF=90o BAC=90o， DAF= BAC ， DAB= FAC，又 AB=AC ， DAB FAC ， CF=BD 图丁GABCDEF5 4 1 2 3 OFB1ECA1D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习好资料欢迎下载ACF= ABD BAC=90o， AB=AC ， ABC=45o， ACF=45o， BCF= ACB+ ACF= 90o即CFBD （2）画图正确当 BCA=45o 时， CF BD（如图丁）理

21、由是：过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G， AC=AG 可证： GAD CAF ACF= AGD=45oBCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD （3）当具备 BCA=45o 时，过点 A 作 AQBC 交 BC 的延长线于点Q， （如图戊） DE 与 CF 交于点 P 时，此时点D 位于线段CQ 上， BCA=45o，可求出AQ= CQ=4 设 CD=x ，DQ=4 x，容易说明 AQD DCP，CPCDDQAQ，44CPxx，221(2)144xCPxx0 x3 当 x=2 时， CP 有最大值1 4、 （07 丽水市 ） （ 1）ODEF1S=(48)6362ABCOS，设

22、正方形的边长为x，236x，6x或6x（舍去）（2）C1(36)264332S（3）当 0 x4 时，重叠部分为三角形，如图可得OMOOAN，64MOx，MO=32x2133224Sx xx当 4x6 时，重叠部分为直角梯形，如图1(4)66122Sxxx图戊PQABCDEFA B C O xyD E F OM N （如图）A B C O xyD E F O（如图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习好资料欢迎下载当 6x8 时，重叠部分为五边形，如图可得，3(6)2MDx，4AFx113(4)6(6)(6)222Sxxxx =2315394xx当 8x10 时，重叠部分为五边形，如图231539(8)64AFO DMBFO CSSSxxx =23994xx当 10 x14 时，重叠部分为矩形，如图6(8)6684SxxO xA B C O yD E F O（如图）A O xB C yD E F OM （如图）A B C O xyD E F OM （如图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页